Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

зов — это отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу образцов, поставленных на испытание, при условии, что вышедшие из строя образцы заменяются исправ­ ными:

Ап (О »(*) = MN -

Эта формула аналогична выведенной ранее в гл. 1 для часто­ ты отказов a(t); различие между ними — в указанном усло­ вии замены отказавших образцов.

Установим зависимость между средней частотой отказов и другими известными характеристиками надежности.

Число отказавших в единицу времени образцов можно оп­ ределить как

An(t) = An, (t) + An2{t),

где An,(t) — количество отказавших образцов из числа перво­ начально поставленных на испытание; An2(t) — количество от­ казавших образцов из числа поставленных на замену по ходу эксперимента.

В соответствии с формулами § 5

[w (%) NАт]а (t — т)Дt образцов. В последнем выражении пред­ полагается, что образцы начинают терять надежность только после включения в работу, т. е. началом отсчета времени для них принимается момент т.

Для определения Дn2(t) необходимо просуммировать по­ лученное выражение по всем возможным промежуткам вре­ мени от 0 до t:

t

An-, (t ) = NAt J w(t) a ( t — x) rfx.

о

Теперь

i

An (t) — a (t) NAt + NAt f <o (x) a (t — x) rfx b

и окончательно

t

to (t ) = a (t) + I ш(x) a {t — x) di. b

Пользуясь этой формулой для конкретного закона распре­ деления времени между отказами, можно связать соД) и a(t);

53

последняя величина уже достаточно просто связывается с дру­ гими известными количественными характеристиками.

Аналитическое решение полученного интегрального урав­ нения не всегда возможно и, во всяком случае, связано с вы­ числительными трудностями. Для некоторых законов распре­ деления времени приходится решать это уравнение прибли­ женно. Поэтому мы приведем только результаты исследования полученного уравнения, выраженные графически (рис. 29). Здесь: 1 — экспоненциальный закон; 2 — закон Релея; 3 —

нормальный закон.

Графики построены для различных законов распре­ деления времени до отказа. Параметры законов выбра­ ны таким образом, что средняя наработка на отказ Т во всех случаях одинакова.

Непосредственно из рис.

I29 следуют такие выводы.

1.При любом законе

распределения времени до отказа средняя частота от­ казов a ( t ) с увеличением времени стремится к пределу, рав­

ному 1/Т.

2. При экспоненциальном законе распределения времени до отказа, т. е. при простейшем потоке, средняя частота отка­ зов постоянна и по величине равна опасности отказа к и ин­ тенсивности потока к.

Средняя частота отказов со(^) как характеристика надеж­ ности восстанавливаемых устройств хороша тем, что позво­ ляет оценить необходимую частоту профилактических работ и объем запасных частей. Однако она не учитывает параметры потока восстановлений и поэтому применяется в первую оче­ редь для устройств, время восстановления которых пренебре­ жимо мало.

В случае если время восстановления существенно, в каче­ стве количественной характеристики надежности используют коэффициент готовности.

§ 18. Коэффициент готовности

Коэффициент готовности — это вероятность того, что вос­ станавливаемое устройство будет работоспособно в любой произвольно выбранный момент времени в стационарном про­ цессе функционирования. Установим связь коэффициента го­ товности с другими количественными характеристиками на­ дежности на примере устройства с простейшими потоками от-

54

казов и восстановлений соответственно с интенсивностями к и р. Вычислим вероятность работоспособного состояния в мо­ мент времени t + At:

P ( t + A t ) = P (t) Л (At) + Q (t) P, (At),

Я, (At) = 1 — exp (— рД£) оё рД£

(переход к приближенным формулам оправдан ввиду малости At). Кроме того, как известно, Q(t) = 1— P(t). Поэтому можем записать

P ( t + A t ) = P ( t ) ( \ — Ш ) + [1 — Я(*)]рД*.

Разделив обе части равенства на At, получим

= - (X4- к.) я (t) + р.

Устремив At к нулю и перейдя к пределу, получим дифферен­ циальное уравнение

Я' (t) = — (X + р) Я (t) -f р.

Решим это уравнение в предположении, что при t = 0 устрой­ ство исправно, т. е. P(t) |(=0 = 1:

р (Ч = т т т + т т г ехР 1 - ( ^ + 1*)Ц

Из последнего выражения следует, что в стационарном ре­ жиме (при t —>- 0 0 ) вероятность застать устройство в рабочем состоянии

Р (*) = х + Г- ■

Таким образом, по определению коэффициента готовности

55

Поэтому

Я (^ = /гг + (1 — k T) exp [— (^ + i1 ) *].

График функции P{t) приведен на рис. 30 (кривая 1). Здесь же для сравнения показана вероятность безотказной работы устройства без восстановления при той же опасности отказов (кривая 2 ) . Таким образом, при простейших потоках отказов и восстановлений вероятность работоспособного со­ стояния устройства представляет собой монотонно убываю­ щую функцию времени, которая при t-*- оо стремится к пре­ дельному значению, равному коэффициенту готовности.

Учитывая, что %= 1/Г и ц = 1 /Гв, значение коэффициента' готовности можно записать в следующем виде:

/гг

?*+ Д

Дополнительные исследования показывают, что последнее вы­ ражение справедливо для лю­ бых стационарных потоков от­ казов и восстановлений в нере­ зервированных устройствах.

Рис. 30 Экспериментальная оценка коэффициента готовности мо­ жет быть получена по результатам эксплуатации устройства в-

течение определенного календарного срока из соотношения

k * =

+ А)

за данный календарный срок при условии, что за данный ка­ лендарный срок имело место k отказов и восстановлений.

§ 19. Модель состояний системы

На практике встречаются системы, состоящие из ряда под­ систем, каждая из которых имеет свои интенсивности потока отказов и восстановлений. Возможно, что при отказе некото­ рых подсистем их функции берут на себя другие подсистемы. Таким образом, для системы в целом существует целый ряд возможных состояний в смысле надежности.

56

В этих условиях составление уравнений, описывающих: вероятности пребывания системы в том или ином состоянии, становится сложной задачей. Для формализации ее решения весьма полезной оказывается модель состояний системы. Иногда ее называют также моделью гибели и размножения.

Модель представляет собой граф, вершины которого соот­ ветствуют возможным состояниям системы (рис. 31). Верши­ ны нумеруют или прямо обозначают на схеме вероятности Р\, Р2 ... пт. д. пребывания системы в соответствующем со­ стоянии. Стрелки, исходящие из данной вершины, указывают возможные переходы из данного состояния в другие; стрелки, входящие в данную вершину, указывают возможные переходы из других состояний в данное. На той же схеме обозначаютинтенсивности потока переходов.

По модели состояний формальным путем составляют диф­ ференциальные уравнения для вероятностей состояний:

i=i

где A,j — интенсивности потоков переходов, связанных с дан­ ным состоянием; /е — количество переходов в t-e состояние и. из него; Px(t) — вероятность состояния, из которого соверша­ ется переход.

Если стрелка перехода направлена из £-й вершины графа,

5Т

главе для анализа надежности резервированных систем с вос­ становлением.

Г Л А В А 4

РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

§ 20. Виды резервирования

Резервирование — это такой прием повышения надежности, когда используется избыточное оборудование, аналогичное основному.

Степень избыточности оборудования характеризуется крат­ ностью резервирования т, которая вычисляется по формуле

стем), необходимое для функционирования устройства.

Рис. 33

Различают резервирование с целой кратностью, когда h —1

58