Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.08.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

дит к нулю горизонтально. При т = 1 она исходит из нуля не горизонтально. Найденный экстремум в точке M = ln(l + m) является максимумом, так как известно, что частота и опас­ ность отказа суть величины положительные.

Найдем значение исследуемой функции в точке макси­ мума:

Г_£с(£!_1

_ / т

1 ) ( 1 _

exp [— In (1 + / д )]]"' X

1. ^ J макс

 

 

 

X ехр [— 1п(1 +/н)] =

(/я+1)(1

(т ^ Т т Г ^

ч)

Теперь можно построить графики функции при различных кратностях резервирования (рис. 38, а). Для сравнения здесь

приведена также кривая при

т =

0

(нерезервированная си­

стема) .

что ac {t)

— Qc'(t), строим семейство кри­

Далее, учитывая,

вых вероятностей отказа. При Xt — 0 и Xt-*-oo

кривые

идут

горизонтально, так

как здесь частота

отказов

равна

нулю.

Наиболее резкий подъем кривой

Qc {Xt)

находится против,

точек Xt = In (1 + m), где частота отказов имеет максимум.

Кривые вероятностей отказа показаны на рис.

38, б.

Здесь,

же имеются кривые вероятностей безотказной

работы,

полу­

ченные вычитанием Qc (Xt) из единицы.

 

 

 

 

Для построения графиков

опасности

отказа

определим,

значение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

К (0 _

(т + 1) [1 — exp (—

 

exp (—Xfl

 

 

^

1 — [1 — exp (— Kt)]m l 1

 

 

 

63;

в точке kt = 0. Получим kc (t)/k = 0. Далее найдем предел исследуемой функции при kt-x-oo. Имеем

lim

= (т

+ 1) (1 - ОГО =

_0_

х

1

— ( !- 0 ) " !+1

0

Неопределенность удается раскрыть по правилу Лопиталя. Окончательно получим

Таким образом, при любой кратности резервирования кри­ вые опасности отказа выходят из нуля и стремятся к еди­ нице. На начальном участке графики опасности отказа почти

совпадают с графиками

частоты

отказов, потому что kc(t) =

= a c (t)IPc (t) ,

при

Рс ( 0 ~

1. Вид кривых kc {t)/k пока­

зан на рис. 38,

в.

 

 

Наконец, на рис. 38, г показана зависимость среднего вре­ мени безотказной работы резервированной системы от крат­ ности резервирования. Точки кривой рассчитывают непосред­ ственно по формуле

т

/=»0

Теперь можно анализировать выигрыш в надежности ре­ зервированной системы по сравнению с нерезервированной.

1. Выигрыш в надежности имеет место по всем количест­ венным характеристикам во всем диапазоне времени, причем выигрыш возрастает с увеличением кратности резервирова­ ния.

2. Величина выигрыша е надежности зависит от количест­ венной характеристики и от времени работы системы. Напри­ мер, при kt = 0,4 выигрыш по вероятности отказа

Qz М (при т =

0) =

о о

Qc 9't) (при т =

1)

’ ’

а выигрыш по вероятности безотказной работы

Рс (0

(при т = 1)

. „

Р с [t]

(при т = 0 )

 

Для других моментов времени соотношение выигрышей изме­ нится.

3. Значительный выигрыш в надежности по вероятности отказа получается в области малых kt. Выигрыш по вероят­ ности безотказной работы во всем диапазоне времени умерен­ ный. Выигрыш по среднему времени безотказной работы не-

64

велик даже при высоких кратностях резервирования. Так, при т = 10 имеем выигрыш всего в 3 раза.

4. Выигрыш в надежности по вероятности отказа больше для хороших устройств, т. е. имеющих малую величину опас­ ности отказа. В самом деле, если время работы системы задано, то, принимая меньшие К, мы смещаемся на гра­ фиках влево по оси 7U и имеем больший выигрыш в надеж­ ности.

Таким образом, рассмотренный вид резервирования целе­ сообразно применять с целью снижения вероятности отказа для систем кратковременного действия и сравнительно на­ дежных даже без резервирования (с малой опасностью от- л<аза).

П

Рис. 39

Последний вывод показывает ограниченные возможности применения рассмотренного способа резервирования: хорошие устройства редко нуждаются в дальнейшем повышении надеж­ ности, а ненадежное устройство с помощью резервирования существенно не улучшится.

Приведенный пример полезен в том смысле, что он иллюст­ рирует общий порядок исследования резервированных устройств. Как мы видели, этот порядок предусматривает сле­ дующие действия:

1) составление схемы соединения элементов (подсистем) в ■смысле надежности;

2)вычисление количественных характеристик надежности

вобщем виде;

3)исследование количественных характеристик и построе­ ние графиков;

4)оценка выигрыша в надежности.

Применим указанный порядок для исследования еще одного примера—-поэлементного резервирования с целой кратностью т, с постоянно включенным резервом, с экспонен­ циальным законом надежности элементов при количестве эле­ ментов в устройстве, равном п.

Схема соединения для этого примера показана на рис. 39.

5

65

Рассматривая схему как последовательное соединение уча­ стков, можем записать

P c ( t ) =

П P l y ( t ) ,

 

f - 1

где P c ( t ) — вероятность

безотказной работы резервирован­

ного устройства; P i y (t) — то же для участка.

Далее, рассматривая схему участка как параллельное сое­

динение элементов, имеем

 

P , y ( t )

= 1 - n Q , y ( * ) ,

 

j - О

где Q ij(t)— вероятность отказа j-го элемента i-го участка. Считая элементы одинаковыми по надежности и учитывая

экспоненциальный закон, получим

Pc= { l - [ l - e x p ( - W ) r +1}".

Далее, используя известные зависимости, можно получить формулы для остальных количественных характеристик и при­ ступить к построению графиков.

Исследование выигрыша в надежности в этом примере сложнее, чем в предыдущем, потому что выигрыш зависит от 4 параметров т, Я, п, t. Тем не менее удается показать, что здесь в основном справедливы выводы, сделанные для первогопримера. Анализ формул также показывает, что при прочих равных условиях поэлементное резервирование дает больший выигрыш в надежности, о чем уже упоминалось при класси­ фикации видов резервирования.

§ 22. Особенности резервирования замещением

Особенности резервирования замещением связаны с нали­ чием переключателей. Последние не являются идеально на­ дежными элементами, что нужно учитывать в расчетах.

Сделать это сравнительно просто в случае, когда схема резервированной системы задана. Опасность отказа переклю­ чателя Яп следует суммировать с Я — характеристикой соот­ ветствующего участка и переходить к расчету схемы типа из­ ображенной на рис. 37 или 39.

На практике конструктор часто имеет некоторую свободу в выборе способа резервирования, т. е. может охватить резер­ вом всю систему или несколько ее частей. В последнем случае за счет приближения к поэлементному резервированию полу­ чается большой выигрыш в надежности, однако он может быть снижен большим количеством переключателей. Возни-

66

кает задача оптимального выбора количества участков резер­ вирования п. Рассмотрим методику этого выбора.

Предположим, что время работы системы известно. Ему соответствуют определенные вероятности отказа системы и ее частей, которые мы обозначим, опуская индекс времени, сле­ дующим образом: Q, <7 * — вероятность отказа нерезервирован­ ной системы и ее :-го участка; Р, pi — вероятность безотказ­ ной работы нерезервированной системы и ее г'-го участка; <7 п — вероятность отказа переключателя.

Рис. 40

Величины Q и qm а также кратность резервирования т яв­ ляются исходными данными для расчета, оптимальную вели­ чину п необходимо найти.

Схемы нерезервированной и резервированной систем пока­ заны на рис. 40, где также обозначены соответствующие веро­ ятности отказа. Часть системы, обведенная на схеме пунктиром, называется узлом. Для простоты расчета полагаем, что участ­ ки системы одинаковы по надежности: щ = q% — .. . = q n = q-

По схеме рис. 40, а найдем вероятность отказа участка си­ стемы. Имеем

Q = i — П л = 1— П О - ?,-) = 1 -( \ - д ) п,

t=i

1=1

откуда

? = 1 - ( 1 - Q ) \

По схеме рис. 40, б для узла

9 у з л = 1 - 0 - < ? п ) 0 - < 7 ) = 1 - ( 1 - < 7 п ) П - 1 + 0

- Q ) “ . =

1

 

= 1 - 0 - < 7 п ) 0 - Q ) T ;

 

5*

67

для участка

 

 

 

 

т+1

 

= I

П <7узл — [

 

Ру = 1 ~ Ь

(1 —

(1 — Q)"

 

 

/'=о

 

 

 

И, наконец,

вероятность

отказа

всей резервированной си­

стемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т -\ \ \ п

Q c = I - Р с =

I —

П / 7 У , =

1 - 1

l - ( l - ? n) ( l - Q ) "

 

 

Z=1

 

 

 

Предположим, что вероятность отказа сравнительно мала.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

( 1 - Q

) " ~ 1

— ~ г ,

 

и далее выражение в квадратных скобках преобразуем так:

1 - 0 - ? а ( | - - 2 - ) = 1 - | + » . + -2 — • * £ = ? » + 4

(величиной здесь пренебрегаем как произведением ма­

лых). Теперь выражение в фигурных скобках разложим по степеням я по формуле (1 — х )п^ 1 — ял:(х<^1):

Qc =

- i - i + ^ + i H 1 -

Q T/n+l

Для нахождения оптимальный величины я берем производ­ ную

dQc

{qn + -^-)m'rl - к

(т + 1)

( я п Л - ~ )

_ 0 _ .

dn

я-' ’

 

 

 

-^^- = 0 при следующих условиях:

1) <7п+— = 0. что не имеет физического смысла, так как

вероятности — величины положительные;

2) q n + т г = { т + I)

откуда

Qm

яопт

Нетрудно доказать, что найденное значение яопт соответ­ ствует именно минимуму вероятности отказа системы.

68

Неизбежные на практике небольшие отступления от оптимума не приведут к существенному увеличению вероят­ ности отказа из-за пологого характера кривой Qc = f{n) вблизи оптимума.

§23. Особенности резервирования

сдробной кратностью

Резервирование с дробной кратностью — это такое резер­ вирование, когда число элементов (подсистем) h, необходи­ мых для функционирования устройства или системы, больше единицы. Кратность резервирования, вычисляемая по общей

,

 

I — h

, оказыва­

 

 

формуле т =

 

h

 

- 0 \

и

ется

дробью.

 

Эту

дробь

 

 

не следует сокращать,

так

 

как в

смысле

 

количествен­

 

ных

характеристик

надеж­

 

 

ности

резервирование,

на­

 

 

пример, с кратностью

1/2

не эквивалентно случаю

2/4

Рис. 41

или 3/6.

Примером резервирования с дробной кратностью могут служить генераторы на электростанции, определенное количе­ ство которых необходимо для покрытия нагрузки, а остальные образуют резерв. Другой пример из области измерительной техники рассмотрен в конце настоящего параграфа.

Для вычисления характеристик надежности при резерви­ ровании с дробной кратностью рассмотрим рис. 41. Исследу­ ется система общего резервирования с постоянно включенным резервом.

Приведенная модель не является параллельным соедине­ нием в том смысле, как это трактуется во введении. В самом деле, мы назвали параллельным такое соединение, когда ра­ ботоспособность системы сохраняется при наличии хотя бы одной исправной подсистемы. Здесь же следует иметь не менее h исправных подсистем, что вносит особенность в рас­ чет надежности — необходимость применения формулы пол­ ной вероятности.

Зададимся целью найти вероятность безотказной работы резервированной системы, для чего выдвинем ряд гипотез о том, каким образом система может оказаться в работоспо­ собном состоянии к моменту времени t.

Гипотеза Н0 состоит в том, что к этому моменту ни одна из подсистем не отказала. Вероятности этой гипотезы Р (Н 0) = р1, где р — вероятность безотказной работы подсистемы за

69

Смотрите также файлы