Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

На рис. 26 показан пример представления определяющего параметра в виде случайной функции. При выходе <р(0 за допустимые пределы а и b происходит отказ.

Если функция стационарна, а одномерный закон нормаль­ ный, удается вывести простую формулу 1 для средней часто­ ты отказов со.

В дальнейшем считаем, что среднее значение функции равно нулю. Это предположение упрощает формулы, но не влияет на общность рассуждений, так как всегда реальную функцию и пределы а и b можно изменить на постоянную ве­ личину и вести расчеты для новой функции.

Рис. 25

Найдем вероятность того, что за время dt вблизи t функ­ ция <p(t) превысит предел а. Это равносильно тому, что в мо­ мент t функция была меньше или равна а, но к моменту t + dt превышала а:

Лс?(г?+ М) > а].

Так какф(^) непрерывна, можем записать

9 (t + M) = <P(t) + - ^ - d t = < ? {t) + v (t) dt.

Искомую вероятность теперь можно выразить так:

Pi \a — v (t) d t < y (t) < а ] .

В последнем выражении все переменные относятся к одному и тому же моменту времени; поэтому от исследования случай­ ной функции молено перейти к исследованию системы случай­ ных величин ф(t) и v(t) при фиксированном времени.

Введем плотность распределения /(ф, v) системы случай­ ных величин ф(/), v(t). Нас интересует вероятность попада-

1 В общем случае такие задачи решаются в теории выбросов — раз­ деле теории случайных функций.

46

а

If ( ‘? , v ) d < ? = f ( a , v ) v { t ) d t .

а—и (О dt

Поэтому

Аналогично рассуждая, получим вероятность того, что за dt вблизи t произойдет отказ за счет ухода функции за предел Ы

о

P 2= — dt j f ( b , v) v (t)dv.

00

При выводе формулы следует учесть, что для такого отказа необходима отрицательная величина v(t).

С другой стороны, вероятность отказа за время dt может быть выражена через среднюю частоту отказов со:

Q = <odt.

Очевидно, что Q = Pi + Po, и окончательно

Конкретизируем последнюю формулу в предположении,, что случайный процесс стационарен и одномерный закон распределения нормален. Предполагается также известной корре­ ляционная функция.

В теории случайных функций доказывается, что в этих условиях случайный процесс v(t), полученный дифференциро­ ванием ср(0, будет стационарным с нормальным одномерным, законом

причем дисперсию можно найти по корреляционной функции

a,V 2

47

Тогда

Обозначим через А первый интеграл и вычислим его, для

•чего умножим и разделим это выражение на о»:2 .

Теперь интеграл берется заменой переменной

Окончательно после подстановки пределов

аз

А — •ехр -

2а~

Аналогичным приемом находим и второй интеграл, н частота отказов выражается простой формулой

Применить полученную формулу можно по-разному. Вопервых, она годится для анализа надежности работающего устройства. Величины дисперсий определяются эксперимен­ тально, а частота отказов рассчитывается. Результаты полу­ чаются быстрее и достовернее, чем при непосредственном под­ счете числа сбоев. В частности, формула пригодна для доказа­ тельства практической невозможности сбоя при имеющемся

..характере случайного процесса.

Во-вторых, формулу можно использовать для расчета на­ дежности проектируемых устройств. В этом случае необходи­ мые величины дисперсий находят на основании математиче-

-48

ского описания случайных процессов x'i(^), x2(t), xn(t) изменения внутренних параметров устройства и зависимости

? = ? ( * ! , * 2 . • Х п ) -

В расчетах используют спектральное представление случай­ ных функций.

В любом случае требуются экспериментальные данные о случайных процессах в устройстве или его элементах. Недо­ статок таких данных ограничивает применение описанного ме­ тода расчета надежности при перемежающихся отказах.

Г Л А В А 3

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ УСТРОЙСТВ

§ 16. Потоки отказов и восстановлений

До сих пор мы изучали надежность невосстанавливаемых устройств, эксплуатация которых прекращается после первого отказа. Однако в технике широко применяются и восстанав­ ливаемые устройства, диаграмма работы которых показана на рис. 27. По ходу эксплуатации здесь чередуются отказы и вос­ становления.

Как известно, отказ есть случайное событие и время рабо­ ты до отказа есть случайная величина. Время восстановления (ремонта) в большинстве случаев также является случайной величиной, так как причины отказов различны и на их выясне­ ние и устранение уходит неодинаковое время.

Таким образом, при эксплуатации восстанавливаемых устройств имеют место два потока случайных событий — по­ ток отказов и поток восстановлений. Математическое описа­ ние этих потоков и будет наиболее полной характеристикой надежности восстанавливаемых устройств.

Из теории вероятностей известно, что основной характери­ стикой потока является его интенсивность X (t), определяемая как математическое ожидание числа событий в единицу вре­ мени:

Ч О = Нш

где m(t + ДО, m{t) — число событий соответственно за время t + At и t.

В практических расчетах часто имеют дело с так называемым простейшим или стационарным пуассоновским потоком. Он обладает тремя свойствами.

1. Свойство стационарности. Поток называется стационар­ ным, если вероятность попадания того или иного числа собы­ тий на участок времени At зависит только от величины уча­ стка, но не зависит от момента времени t. Для стационарного потока справедливо

X (£) = X = const.

2. Свойство отсутствия последействия. Поток событий на­ зывается потоком без последействия, если для любых неперекрывающнхся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. При отсутствии последействия картина протекания случайного процесса на данном участке времени не зависит от предыстории.

3. Свойство ординарности. Поток называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок At двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с веро­ ятностью попадания одного события.

При простейшем потоке вероятность возникновения /е со­ бытий за время t выражается формулой

о {4\_ (Х/)*ехр(-Х<) fti •

Положив в этой формуле /е = 0, получим вероятность невозникновения события за время t, т. е. закон распределения вре­ мени до первого события и между событиями:

Р 0 (*) = е х р (— Щ.

Таким образом, при простейшем потоке событий время между событиями подчиняется экспоненциальному закону.

Простейший поток отказов имеет место в аппаратуре, про­ шедшей приработку, не подверженной старению, работающей в неизменных условиях и не содержащей резервированных узлов и элементов.

50

В ряде практических случаев потоки отказов отличаются от простейшего.

При нарушении свойства стационарности возникает неста­ ционарный пуассоновский поток. Здесь интенсивность потока не является постоянной для различных моментов времени.

Вероятность появления ровно k отказов за время от t0 до ^о + Л выражается формулой

О

При нестационарном пуассоновском потоке закон распре­ деления времени до первого отказа и между отказами не яв­ ляется экспоненциальным. Он зависит от вида функции X(t) и, в частности, может быть законом Релея, Вейбулла и др.

-н-х----X— О X------)Н К > * — Х-Х---- О-ч*- t

Рис. 28

Нестационарный пуассоновский поток отказов характерен для аппаратуры, находящейся в периоде приработки или ста­ рения или же работающей при изменяющихся внешних усло­ виях. Он может также возникнуть в устройствах, элементы которых работают неодновременно, и в определенных типах резервированных систем.

Встречаются на практике также потоки отказов, отличаю­ щиеся от простейшего наличием последействия (зависимостью протекания процесса на данном участке времени от предысто­ рии). Характерны такие потоки отказов для резервиро­ ванных систем, поскольку здесь вероятность отказа в данный момент зависит от того, сколько подсистем уже отказало ранее.

Примером является система, состоящая из одной основной и одной, двух и т. д. резервных подсистем (число резервных подсистем обозначается через /г). При отказе основной под­ системы на ее место подключается резервная, при отказе по­ следней резервной подсистемы возникает отказ всей системы. Если предположить, что поток отказов подсистем простейший, с интенсивностью X, а время восстановления мало, то диа­ грамма работы устройства отражается рис. 28; крестиками и кружочками отмечены отказы подсистем, соответственно не приводящие и приводящие к отказу всей системы.

Поток отказов системы (кружочки на рис. 28) отличается от простейшего и носит название потока Эрланга. Плотность

распределения времени между отказами здесь выражается формулой

/ ( 0 = Ц ^ е х р ( - « ) .

Нетрудно показать, что при к = 0 поток Эрланга совпадает с простейшим.

Свойством ординарности потоки отказов, как правило, об­ ладают.

Потоки восстановлений в большинстве практических слу­ чаев считаются простейшими; вопрос о справедливости такого предположения для тех пли иных видов аппаратуры изучен недостаточно.

§ 17. Количественные характеристики надежности восстанавливаемых устройств

Количественные характеристики надежности восстанавли­ ваемых устройств представляют собой различные формы ма­ тематического описания потоков отказов и восстановлений, имеющих место в этих устройствах. До некоторой степени по­ ток характеризуется законом распределения времени между событиями. Поэтому ранее введенные характеристики Q{1), P(t), a(i), X{t), T годятся и для восстанавливаемых устройств. Они характеризуют надежность этих устройств на участках времени от очередного восстановления до очередного отказа.

При простейшем потоке отказов указанные характеристики одинаковы для различных участков времени от восстановле­ ния до отказа. Опасность отказа и интенсивность потока отка­ зов численно равны и обозначаются одинаково через X.

Для потока восстановлений можно принять количествен­ ные характеристики, аналогичные Q(t), P(t), a(t), X{t), T.

Помимо указанных существуют количественные характери­ стики специально для восстанавливаемых устройств. Такими

характеристиками являются: средняя наработка на отказ tv,

Средняя наработка на отказ — это среднее значение вре­ мени работы между отказами. При простейшем потоке отка­

зов tp = Т.

Среднее время восстановления — это среднее значение вре­ мени вынужденного простоя, вызванного отысканием и устра­ нением неисправности. При простейшем потоке восстановле­

ний tp = Тв.

Понятие средней частоты отказов удобно ввести, исходя из эксперимента по ее определению. Средняя частота отка-

52