Файл: Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf

отказали, вторая резервная не отказала и т. д.

Выдвинутые гипотезы являются событиями несовместными. Поэтому вероятность безотказной работы резервированной си­ стемы находится как сумма вероятностей гипотез. При т = 1

В последней формуле a0(xo)dxo есть вероятность отказа основ­ ной подсистемы за время dx0 вблизи т0; P\{t— т0) — вероят­ ность безотказной работы первой резервной подсистемы за время i — т0. Так как основная система может отказать в лю­ бой момент т0 от 0 до t, то вероятность P(Hi) находится как интеграл. С учетом экспоненциального закона

P c (t) = e x p ( - ) i ) + j'Xexp (— Хт0) exp [— X(t — т0)] dx =

О

= e x p ( - W ) ( l + M ) .

При т = 2

р л ъ = р { н а) + р { н , ) + р т -

Закономерность построения формул с возрастанием т оче­ видна:

т

Рс (0 == ехр ( — Щ

/=»0

71

Таким образом, в рассмотренном примере имеет место гаммараспределение времени безотказной работы с параметром k = т + 1.

Выигрыш в надежности можно анализировать с помощью рис. 17.

Ненагруженный характер резерва дает дополнительный выигрыш в надежности. В частности, среднее время безотказ­ ной работы возрастает в (т + 1) раз, т. е. гораздо сильнее, чем при нагруженном резерве.

§ 26. Резервирование с восстановлением

Рассмотрим особенности этого резервирования на при­ мере общего резервирования с кратностью, равной единице (дублирование) (рис. 46). Полагаем, что резерв включен по-

стоянно, но имеющиеся в системе идеальные переключатели мгновенно отключают отказавшую и подключают восстанов- -леннуго подсистему. Потоки отказов и восстановлений каждой подсистемы считаем простейшими с интенсивностями Я, и р.

Составим модель состояний системы (рис. 47). Возможны три состояния: нулевое (ни одна из подсистем не отказала) — вероятность Po(t); первое (одна из подсистем отказала) — вероятность Pi (t) ; второе (две подсистемы отказали) — веро­ ятность Р2(0-

Переходы из нулевого состояния в первое и из второго в первое происходят с интенсивностями соответственно 2К и 2р, потому что в нулевом состоянии работают, а во втором вос­ станавливаются сразу две подсистемы.

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

P0'(t) = -2 \ P 0{t) + rPi(t);

Pi' (t) = 2ХР0 (t) - (X + ix) Р х(t) + 2рР, (0;

Рг (*) = - 2 ц Р , ( 0 + */>,(*)•

Кроме того, нужно учесть условие нормировки

75

Для оценки выигрыша в надежности найдем отношение

К1+ Р

Его зависимость от р показана на рис. 48. График позво­ ляет сделать важные выводы.

При р = Овыигрыша в надежности не получается. Однако коэффициент р = Х/ц близок к нулю либо при низкой интен­ сивности потока отказов (X = 0), либо при высокой интенсив­ ности потока восстановлений (ц->-оо). И в том, и в другом случае коэффициент готовности высок и без резервиро­ вания.

Зато при возрастании р, когда коэффициент готовности снижается, резервирование дает выигрыш надежности.

Выигрыш в коэффициенте готовности делает целесообраз­ ным резервирование систем длительного действия. Это каче­ ственно новый вывод, не характерный для рассмотренных ранее резервированных систем.

Теперь исследуем систему в предположении, что перерывы в ее работе не допускаются. Как только система приходит во второе состояние, ее использование по назначению прекра­ щается. Поэтому на рис. 47 нужно исключить переход из второго состояния в первое (второе состояние погло­ щающее) .

Критерием надежности в этом случае будет вероятность ■безотказной работы.

Перепишем уравнения, учитывая изменение в модели:

Р ' (*) = - 2 ь р 0(о + нЛ ( О ;

PS {t) = 2-kP0{ t ) - { \ + V.)Pl {t)\

77

Решаем систему уравнений операторным методом, поль­ зуясь изображениями по Хевисайду:

sP0 - sP0 (0) = - 2АР0 -f ;

sPl — sP[ (0) — 2АРо — O'-г V-) Р\\

sP3- sP2(0) = XPj,

где Р0, Р и Л — изображения соответствующих вероятностей. Так как мы считаем, что в начальный момент система на­

ходилась в нулевом состоянии, то

Л > ( 0 ) = 1 ; Л (0) = Р 2(0) = 0.

Учитывая это обстоятельство, из второго уравнения нахо­ дим

р2ХР0

1s + X+ м- ‘

Идалее из первого уравнения

Затем определяем

Т5 _________2Xs____

s- Т (ЗХ —}—jx) •S’ —f- 2Х2

Окончательно находим изображение интересующей нас веро­ ятности:

Р с — Ро~\~ Р\ — P q+ Р \;

~р __ s (s + ЗХ + |х) ^

сS 2 - H3 X р.) S+ 2X2-

Для нахождения оригинала выполним ряд преобразований: полученного выражения.

Найдем корни алгебраического уравнения:

s2 -j- (ЗА -j- р>) s 2А2 = 0;

Si,2 = - 0,5 [(ЗА + [,)±Т/А2 + 6Х|х + ^ ] 1

Введем обозначение

Учитывая, что

k\ ~Т к3 — ЗА -f |х,

78

получим

Эту дробь представим в виде суммы двух дробей

Для определения А я В составим уравнение

A (s -j- kr,) -f- В (s -f- k^) = s -j- /?t -f- k-2 ,

или

s (Д -f- В ) -f- A k2 -f- Вк^ =

= s -(- -j- lio,

откуда

( A + B = l ;

\ Ak2 ~1~ Bk^ = : ki -l- &2-

Окончательно

Рис. 49

Изображение интересующей нас вероятности теперь мож­ но записать в виде

79