ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
В. Л . К и с е л е в ,
засл. деят. науки и техники РСФСР, д-р техн. наук, проф.
Р А С Ч Е Т П Л А С Т И Н
М О С К В А
С Т Р О Й И З Д А Т
1 973
УДК 624.073.1.044 : 539.3
В. А. Киселев. Расчет пластин. М., Стройиздат, 1973. 151 er
Вкниге излагаются принципы расчета прямоугольных
изотропных и ортотропных пластин на _у.пр,ухом_0£Ш}вании с двумя коэффициентами постели. Дл я прямоугольных плит, "шарнйрно" опертых по двум противоположным сторонам при любых закреплениях двух других сторон, применен метод начальных параметров в разработке автора. Приведены и некоторые приближенные методы. Даны примеры.
Книга предназначена для научных и инженерно-тех нических работников научно-исследовательских и проект ных организаций.
Табл. 5, ил. 89, список лит.: 19 назв.
©Стройиздат, 1973 г.
к0325—204 87—73 047(01)—73
Г л а в а 1
ВВЕДЕНИЕ § 1. Предпосылки приближенного расчета пластин
Оболочкой называется тело, заключенное между поверх ностями, образованными концами отрезка постоянной или перемен ной длины, перпендикулярного к некоторой гладкой направляю щей поверхности, при движении по ней середины отрезка, длина которого мала по сравнению с направляющей поверхностью (рис. 1).
Поверхности, очерчиваемые концами перпендикуляра, назы ваются поверхностями оболочки. Направляющая поверхность на зывается срединной поверхностью оболочки, а отрезок перпенди куляра — ее толщиной.
Таким образом, оболочкой называется тело, заключенное между двумя гладкими поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела, что и составляет обычное (не совсем точное) определение оболочки.
Если отрезок перпендикуляра постоянной длины, то оболочка
будет постоянной толщины, а если |
переменной — то |
и оболочка |
|
будет переменной толщины. |
|
|
|
Если направляющая |
(срединная) |
поверхность есть |
плоскость, |
то оболочка называется |
пластиной |
(рис. 2). |
|
Направляющая |
Направляющая |
поверхность |
плоскость |
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Иногда пластину определяют как цилиндрическое или приз матическое тело, у которого один размер (толщина) мал по срав нению с двумя другими.
Пластины, как и оболочки, бывают постоянной и переменной толщины.
Пластина представляет собой тело, являющееся по существу предметом исследования науки, именуемой теорией упругости. Однако точный расчет пластины методами этой науки весьма сложен.
3
Поэтому здесь будет изложен обычно применяемый практически приближенный метод расчета пластин, работающих на изгиб, у которых отношение толщины пластины к наименьшему ее размеру
в плане не более Ѵ8 — Ѵ1 0 , с малыми перемещениями |
при |
изгибе |
|
срединной плоскости по перпендикулярному к |
ней |
направлению |
|
(с малыми] прогибами), составляющими лишь |
некоторую |
малую |
|
долю толщины пластины. |
|
|
|
Расчет основан на следующих допущениях. |
|
|
|
1. Точки пластины, лежащие до деформации на перпендику ляре (на нормали) к срединной плоскости, остаются и после де формации изгиба-на перпендикуляре (на нормали) к срединной изогнутой поверхности (гипотеза Кирхгофа — Лява).
Эта основная гипотеза в теории пластин по своему существу аналогична гипотезе плоских сечений, основной гипотезе сопротив
ления материалов в теории бруса. |
|
|
2. Срединная плоскость |
пластины, изгибаемой силами, толь |
|
ко перпендикулярными к ней, не деформируется в своей |
плоскости |
|
и является нейтральным |
слоем. |
оси х Й у |
Из этого допущения следует, что если координатные |
||
расположить в срединной плоскости, а ось z перпендикулярно Ш, |
и если усилия в срединной плоскости отсутствуют, то на срединной
плоскости гх = е у |
= уху = |
0. |
Это допущение |
перестает |
быть допущением и оправдывается |
полностью в тех случаях, когда срединная плоскость пластины после деформации представляет собой развертывающуюся поверх ность, как, например, это имеет место при цилиндрическом из гибе (см. § 4).
3. Слои пластины, параллельные срединной плоскости, не надав ливают друг на друга, т. е. игнорируются напряжения ст2, которые принимаются равными нулю.
При а2 = 0 имеем:
зависимость деформаций от напряжений: e» = -y(of«— Ѵ**у):
Уху — — ^ Xxy >
обратная зависимость |
напряжений |
от |
деформаций: |
^ |
= 7^-1(8* + ^ |
) ; |
(1-1) |
|
1 —(X2 |
|
|
о „ = ~Г—1— г i r (е„ + іхеж ); |
(1.2) |
4
*ху-°Ѵхѵ |
2 ( 1 + | х ) |
У х Г |
(1.3) |
|
Эта гипотеза также аналогична гипотезе сопротивления материа лов о иенадавливании волокон бруса при изгибе.
4. Перемещения точек, лежащих на срединной плоскости пла стины, считаются возможными только по перпендикулярному к ней направлению, т. е. по малости пренебрегаются перемещения точек в самой срединной плоскости. И эта гипотеза аналогична гипотезе
сопротивления |
материалов |
при |
изучении упругой линии бруса |
|||
при изгибе. |
|
|
|
|
|
|
• • • " |
< ( |
г— до |
аерормаци |
|
||
|
|
|
\ |
Срединная |
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ |
плоскость |
|
|
< / |
(ко |
/ |
после |
де- |
-Д. |
|
|
формации |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
~âd |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3 |
|
Рис. 4 |
Все гипотезы (и особенно первая) позволяют, как увидим далее, выразить перемещения различных точек, деформации и напряжения пластины через перемещения соответствующих точек срединной плоскости, т. е. точек, лежащих на общем с ними перпендикуляре к этой плоскости. Так, например, если координатные оси х и у по местить в срединной плоскости, которую условно будем считать горизонтальной, а ось z направить вертикально вниз, перемещение точки k {х, у, z) (рис. 3) можно записать так:
1) перемещение по направлению оси х при малых значениях угла ер
Ü = - Z |
* ? ; |
(1.4)* |
|
|
|
дх |
|
2) перемещение по направлению |
оси у |
|
|
|
|
dw |
/1 г\ |
v = — z—, |
(1.5) |
||
где w — вертикальное перемещение |
ду |
|
|
точки основания перпендику |
|||
ляра на срединной плоскости, на |
котором лежит точка |
k. |
* Минус взят потому, что при положительных значениях dw и z точка k будет приближаться к началу координат (см. рис. 3).
5
§ 2. Зависимости между деформациями, напряжениями и перемещениями
Рассмотрим бесконечно малый элемент в плоскости, параллельной срединной, начальное положение которого до де формации — а, Ъ, си d, а после деформации — аг, blt c t H d x (рис. 4).
|
В деформированном состоянии угловые точки бесконечно малого |
||||||
элемента |
имеют перемещения: |
|
|
||||
|
1) точка |
а |
с координатами х и у по |
оси х имеет перемещение |
|||
и, |
а по оси у |
— перемещение ѵ; |
|
|
|||
|
2) |
точка |
Ь с координатами х + |
dx, у имеет перемещение по оси |
|||
X |
и + ^ |
dx, |
а по оси у — ѵ + |
dx; |
|
||
|
3) |
точка |
с |
координатами х, у |
+ dy |
имеет перемещение по оси |
|
* |
и + |
^ |
ш/ и по оси у — V + ^ |
ог/. |
|
Учитывая, что углы а и ß малы, можем записать относительные удлинения сторон бесконечно малого элемента в таком виде:
Д dx _ |
и |
, — |
dx) |
и |
ди |
V |
дх |
) |
_ |
||
dx |
|
dx |
|
|
дх |
|
|
дѵ |
|
|
|
Д dy _ |
\ |
ду |
J |
_ |
до |
dy |
|
dy |
|
ду |
(1.6)
(1-7)
гжт/ |
:CC + ß = ^ |
^ |
і |
+ |
Л |
™ |
і |
" = * |
і + І 1 . |
(1.8) |
|
dy |
|
|
|
dx |
|
ду |
дх |
|
|
Теперь при помощи зависимостей (1.4), (1.5) можем легко выра |
||||||||||
зить деформации в точке k |
(х, у, z) через вертикальное перемещение |
|||||||||
w (х, у) соответствующей |
ей точки |
k 0 (х, |
у, |
0) иа срединной |
пло |
|||||
скости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
/ л m |
|
|
|
e œ = - Z — ; |
|
|
|
(1.9) |
|||
|
|
|
е « = - 2 ^ ; |
|
|
|
( 1 Л 0 ) |
|||
|
|
у |
|
|
2 |
z ^ L . |
|
(1.11) |
||
|
|
Г |
х у |
|
|
дхду |
|
|
|
|
Относительные |
удлинения |
е ж |
и е,, положительны |
при растяже |
нии, а угол сдвига у х у положителен при уменьшении прямого угла сторон элемента, выходящих из угловой точки и одновременно совпадающих с положительным (или отрицательным) направлением
координатных осей. Так, например, стороны ab и ас, выходящие
из угла а (см. рис. 4), совпадают с положительными |
направлениями |
|||||||
координатных осей х и у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжения |
через перемещения до (х, |
у), |
согласно (1.1) — (1.3), |
|||||
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й ^ / Л , |
Л Л |
|
( 1 1 2 ) |
|||
|
V |
— Г |
777 + ^ ^ 7 |
|
! |
( 1 Л З ) |
||
|
|
1—|і |
2 |
Vö(/2 |
дх* J |
|
|
|
|
X = - G |
z ^ |
= |
— Ü - |
. - ^ - . |
(1.14) |
||
§ 3. |
Понятие о сплошных основаниях пластин |
Сплошным основанием пластин чаще всего является грунт или какое-либо сплошное тело, на которое опирается пла стина (рис. 5).
В зависимости от того, что представляет собой основание, являет ся ли оно упругим или пластичным, а также в зависимости от разви вающихся в нем напряжений различают основания упругие, упругопластичные и пластичные.
Упругими основаниями называют упругие тела с развивающи мися напряжениями от нагрузки только в пределах упругости.
Упруго-пластичными основаниями называют упругие тела с на пряжениями от нагрузки, выходящими в некоторых местах за пре делы упругости.
Пластичными основаниями считают тела, в основном пластич ные, в которых упругими деформациями можно пренебрегать.
Во время деформации пластины соприкасающиеся точки ее подош вы и основания получают одинаковые перемещения, если, разумеется, нет отрыва и сдвига подошвы пластины относительно основания, что и принимается далее.
Условие контактности пластины и сплошного основания обычно для простоты расчета записывается только по равенству вертикаль
ных перемещений срединной плоскости и основания: |
|
w (х, у) = до0 (х, у), |
(1.15) |
где до (х, у) — поверхность вертикальных перемещений срединной плоскости, до0 (х, у) — поверхность вертикальных перемещений основания, прилегающего к подошве пластины.
Сплошное основание для расчета пластин заменяется гипоте тическим основанием, наделенным главными свойствами заменяе мого реального основания, которое иногда принято называть моделью основания. Рассмотрим некоторые модели упругого ос нования.