ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.08.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
Условие Миі = 0 по (4.59) |
|
определит |
|
|
wc — 2wi-^Wg |
, wd — |
2wj-\-wb |
||
4 |
|
|
' r i |
4 |
Отсюда получаем wd =—wb |
[см. (4.91)]. |
|||
Последнее условие Vyi |
= |
0 по (4.67) |
будет: |
|
2%l |
( — o»m + 2a;0 — 2wa + wk) + |
|||
1 |
|
|
|
|
2\x л-у [(wa—2wa |
|
+ wf) + ( — wh + 2wc — wg)] = 0. |
||
После упрощений будем |
иметь |
|
||
wm = |
|
0. |
(4.92) |
Пример. Для изотропной пластины 8 X 8 ж, нагруженной рав номерной нагрузкой q, требуется найти в некоторых точках про гибы, изгибающие моменты, поперечные силы и реакции.
1. Пластина шарнирно опертая. Разбиваем пластину на 16 квад ратов с кх = Ху = 2 м (рис. 67). Разметка точек проведена с учетом симметрии задачи.
Уравнение прогибов в конечных разностях для изотропной
пластины по (4.56) |
будет: |
|
|
|
|
20wt — 8 (wa |
+ wb + wc + wd) + 2 (w„ + wf + w8 |
+ wh) + |
|||
+ (wk + wl + wm + wn) = — |
^ . |
(4.93) |
|||
Применяем условия (4.66), (4.67). |
|
|
|
||
Записываем уравнение (4.93) для точек |
/—3: |
|
|||
20 wl—8{w2 |
+ w2 + w2 + w2) + 2{w3 + w3 |
+ w3-\-w3) + |
|||
|
|
+ (0 + 0 + 0 + 0 ) = |
|
|
|
20w2—8(0 |
+ w3 + W l + w3) + 2(0 + 0 + w2 + w2) + |
||||
|
+ ( - ш 2 + 0 + ш2 + 0) = ^ 1 ; |
|
|||
20w3—8 |
(0 + 0 + w2 + w2) + 2 (0 + 0 + 0 + |
+ |
|||
|
|
|
q2* |
|
|
|
|
|
|
D |
|
или: |
|
|
|
|
|
|
|
20шз — 32о)2 + 8w3 = |
; |
|
|
J45
|
|
|
|
— 8wt + 24ш„ — 1 боі, = — |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
2Wl |
— 16o»g-f 20ю8 |
•- |
1 G q |
• |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
||
Эти уравнения |
|
могут |
быть приведены к каноническому виду |
||||||||||||
|
|
|
|
20t%—32да, 4- 8и»3 = - ^ - ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
— 32w1 + 96wi |
— 64а»з= |
|
D |
• |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 4 < ? |
|
|
|
|
|
|
|
8ШІ—64iw2 4- 80ш3 |
= |
64<7 |
|
|
|||||||
Решая |
уравнения, |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
66? |
|
|
48<7 |
|
|
|
35<7 |
|
|||
|
|
О У І = |
— — ; |
w9 = —— : ш„ = —— |
|
||||||||||
|
|
|
|
4D |
|
2 |
4D |
|
|
3 |
|
4D |
|
||
При p. = 0,3 |
D |
|
F h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наибольший прогиб в центре пластины |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
66?-10,92- = = 1 8 0 |
1 8 |
|
£ |
А з |
|
|
||||
По табл. |
1 |
|
|
|
4£А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0,0443? • 84 |
, О |
І ,г |
|
г-, g |
|
|||||
|
|
|
01)! = — |
Eh3 |
- |
= |
181,45(7 :£Уг3. |
|
|||||||
Совпадение |
даже |
|
|
|
редкой |
сетке |
|
хорошее. |
|
||||||
при такой |
|
|
|||||||||||||
Изгибающие моменты |
Мхі |
по (4.58) |
|
|
|
|
|
||||||||
Мхі |
|
|
£ |
[(te»d-2Œ;j + |
юь )4-0,3 (да 0 - 2а/ г + а»в)}. |
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В центре |
пластины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ЛГх 1 = |
4 (1 + 0 . 3 Ж - 2 Ш ! 4- ша ) = |
|
|||||||||||
|
= |
__ L3D С J Ë ! L _ 2 |
Ж . + = 2 , 9 2 5 ( 7 - |
|
|||||||||||
|
|
|
4 i |
4D |
|
4D |
|
4D |
|
/ |
|
|
|||
По табл. |
1 Мх1 |
|
= 0,0479 |
q-82 = 3,066 <7 (совпадение |
хорошее). |
||||||||||
Поперечные |
силы |
по (4.61): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Qxi |
= —^-[(-wn |
|
+ 2wd-2wb |
|
+ wl) + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(w8—2wb |
+ w}) + {— wh |
+ 2wd—we)\. |
(4,94) |
146
Для / = 4
Qxi = |
тг К— Wx + 2 О У 3 H • 2o/a — ші) - | - ( — o/a + 2 О У 2 — w 3 ) + |
|
16 |
|
+ |
|
(—ау3 |
+ 2да 2 — ОУ 3 )1= |
lb |
|
2шх + 8ш2 —4ш3 ]. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
данные, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
D |
Г |
Q 66g |
|
j g |
48g |
4 |
35g |
= |
- |
1,75g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4D |
|
|
4D |
|
40 |
|
|
|
|
По табл. |
1 |
Q |
X |
I — 0,338 |
q-8 |
= |
2,704 g. |
|
|
|
|
|
||||
В поперечной силе получились большие расхождения и равно |
||||||||||||||||
весия между нагрузкой и поперечными силами нет. Аналогично |
||||||||||||||||
вычислены: |
|
Q X |
2 — — 9q |
: 8; |
Q X 3 |
= — 7q |
: 8. |
|
|
|||||||
Полагая по линии |
3 — |
2 |
— |
3 |
эпюру Q X между точками линейной |
|||||||||||
получаем |
их |
равнодействующую: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
М т ' + т ' ) 2 - 4 |
|
' - |
|
|
|
|
|||||
Условие равновесия вырезанной части пластины |
3 |
— |
3 — 3 |
— 3 4 RQ |
||||||||||||
—16 |
q = |
4-4q—16<7з=0 |
удовлетворено. |
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично по (4.60) и (4.61) вычислены сосредоточенные |
реак |
|||||||||||||||
ции |
в угловых точках 3 и приведенные |
поперечные |
силы: |
|
n |
184,8g . |
у |
194,4g. |
у |
= |
|
|
128 |
' |
X Z |
128 ' |
|
х 3 |
154g
128
PI в этом случае условие равновесия 4 R + |
16 g — 4 /?у = О удов |
||
летворено. |
|
|
|
2. |
Пластина защемленная. |
Принимая допущения в виде (468), |
|
(4,69), |
получим по (4.93) уравнения прогибов: |
||
|
20 wx — 32 w2 |
+ 8 w3 = |
16 q : D; |
|
— 32 w1+ 104 |
w2 — 64 w3 |
= 64 q : D; |
8 Wx — 64 w2 + 96 w3 = 64 q : D. Решая уравнения, получим:
656 |
q |
440 |
q |
|
298 |
q |
89 |
D |
89 |
D |
3 |
89 |
D |
Прогиб посередине пластины
wx = 7,37 -J.
Приведем это выражение к формулам справочника [15, стр. 621]:
7 і 3 7 - £ - = а - ^4 |
D |
= а . |
8 '4 |
1 ( ? |
|
D |
10 |
|
10 |
D |
147
Отсюда а = 17,98. По справочнику, а — 13 (расхождение большое). Изгибающий момент при ц = 0,15
Мхі |
= |
[(w2—2wx |
- f w2) + 0,15 (wa—2wj_ + w2)] = |
|||
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
=4 —0,575D(ta;2 —шО, |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
M , x = 0,575D( Ä — |
^ |
= 1,40g. |
||
|
|
* |
V 89D |
89D У |
||
Приводим |
Мх1 |
к форме |
справочника |
|
||
|
|
|
4 |
* 1 0 3 |
F |
103 |
Отсюда ß = 21,9. По таблице справочника ß = 18 (приближение посредственное).
Изгибающий момент в заделке
Mxi = |
-^-2w2=~2,47q, |
4
приведем его к форме справочника
_2 > 47<7 = ß |
- ^ |
= ß<7-^-. |
|
4 |
1 |
103 |
103 |
Отсюда ß = — 38,7. По справочнику ß = — 51 (расхождение большое). По-видимому, принятая сетка для защемленной пластины редка. Подсчитанные для этой пластины значения при \і — 0,15:
п |
_ |
1744 |
. Л |
_ |
1104?. |
, , |
_ |
2111,2 |
g . |
_ |
||
Ѵ ж 2 |
— |
J424 |
Ч> ^ж з — |
j |
• |
v xi |
— |
2 424 |
> |
v хЗ — |
||
|
1294,4 q |
n |
1152,2 q |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
1424 |
; R ——1424 |
удовлетворяют равновесию вырезанной |
||||||||
части пластины 3—3—5—3. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Получим |
п р и б л и ж е н н о |
|
поперечные силы |
в заделке: |
||||||||
|
|
|
|
Q*4 = Q « - 2<7 = |
- |
4592g : 1424; |
|
|||||
|
|
|
|
Qx5 — Qx3 — 2q = |
- |
3952g : 1424. |
|
|||||
Приближенное |
условие |
равновесия |
|
|
|
|||||||
|
|
|
V |
1424 |
1424 |
1424 |
J |
|
|
7 |
|
|
Многочисленные справочные материалы по расчету прямоуголь ных плит методом сеток приведены в работе [4].
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Б |
е з у X о в |
Н. |
И. |
Основы |
теории |
упругости, пластичности и |
пол |
|||||
зучести. |
«Высшая |
школа», |
1966. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Б |
е й е р К. |
Статика железобетонных |
сооружений. Макйз, |
1928. |
||||||||
3. |
В а р в а к |
|
П. |
М. |
Развитие |
и приложение метода сеток к расчету |
|||||||
пластинок, ч. 1, 1949, ч. 2, |
1952, АН |
УССР. |
|
|
|
|
|
||||||
4. |
В а р а а к |
|
П. |
М. |
Таблицы |
для |
расчета прямоугольных |
плит. |
|||||
Киев, |
АН УССР, |
1959. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
В л а с о в |
В. 3. и Л е о н т ь е в |
H . |
Н. |
Балки, |
плиты и |
оболочки |
||||||
на упругом основании. Физматгиз, |
1960. |
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Г о р б у н о в - П о с а д о в |
М. И. Балки |
и плиты |
на упругом |
осно |
||||||||
вании. |
Стройиздат, |
|
1949. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Ж |
е м о ч к и и |
Б . |
Н. Теория упругости. Госстройиздат, |
1957. |
|
|||||||
8. |
К и с е л е в |
В. |
А. Метод начальных параметров при расчете круглых |
пластинок с осесимметричной нагрузкой. В сб. ((Исследования по теории
сооружений», № 6. |
Стройиздат, 1954. |
|
|
9. К и с е л е в |
В. А. |
Расчет прямоугольных ортотропных |
пластин на |
упругом основании |
с двумя |
характеристиками на статическую и |
вибрацион |
ную нагрузку. В кн. «Теория оболочек и пластин». Труды 4-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин в 1962 г. Изд. АН Арм. ССР, 1964.
10. К и с е л е в В. А. Расчет прямоугольных ортотропных пластин на упругом основании с двумя характеристиками на статическую и вибра ционную нагрузку. В кн. ((Строительная механика». Стройиздат, 1966 (юби лейный сборник, посвященный 80-летию И. М. Рабиновича).
11. К и с е л е в а И. В. Колебания ортотропной прямоугольной плас тинки с сосредоточенной массой, опертой по двум противоположным сторо нам с произвольным опиранием других сторон. В сб. «Исследования по теории
сооружений», № 10. Стройиздат, |
1961. |
|
|
12. К и с е л е в а И. |
В. |
Колебания ортотропной |
прямоугольной |
пластинки с сосредоточенной |
массой на упругом основании |
с двумя коэффи |
циентами постели. В сб. «Исследования по теории сооружений», № 13. Строй издат, 1964.
13.Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. ОГИЗ . Гостехиздат, 1947.
14.H и к и ф о р о в С. Н. Теория упругости и пластичности. Гос стройиздат, 1955.
15.Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). Стройиздат,
1960.
16. |
Т и м о ш е н к о |
С. |
П. |
и |
В о й н о в с к и й - К р и г е р С. |
||||
Пластинки |
и оболочки. |
Физматгиз, |
1963. |
|
|
|
|||
17. |
Т и м о ш е н к о |
С. |
П. Теория |
упругости. ОНТИ, |
1937. |
||||
18. |
Ф и |
л о и е н к о : Б о р о д и ч |
M . |
М. Теория |
упругости. Физмат |
||||
гиз, 1959. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Ш и |
м а й с к и й |
Ю. |
А. |
Изгиб |
пластин. |
ОНТИ, |
1934. |
149