Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.08.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Укорочение бесконечно малого слоя столбика

Adz = ^dz--

Е*

Е* J

{ дх2 ду2 J

dz.

Е*

 

Полное укорочение столбика имеет вид:

Я

Я г

r(x,

у)

С J d2w0

d2w0

 

АЯ = J Adz

dz dz,

 

Е* J V д# '

' ду2

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

г z

 

 

 

r(x,

у) H ,

Go Г

Г

j а»ш„^ d g

 

 

 

Е*

Е* J

J V дх2

ду2

 

 

 

 

О Lo

 

 

 

Это укорочение должно быть равно перемещению (прогибу) срединной плоскости пластины:

 

я

 

т{х, у)-.

г(х, у) H . Go С

dz.

 

+ Е* , .) V d*2

ôr/2

 

LO

 

Отсюда получаем давление пластины на основание или соответ­ ственно вертикальную (нормальную) реакцию на подошву плас­ тины

 

 

 

 

я г z

dz. (1.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О Lo

 

На основе (1.19)

получаем:

 

 

 

а 2 ю 0

_

d2w

f(vH—vz) .

 

 

дх2

~

дх2

' f (ѵН) '

 

 

ä2w0

 

d2w

f(vH-vz)

 

Теперь

ду2

 

dy2

f(vH)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я г

z

 

 

 

 

 

 

dz.

 

 

 

0 Lo

 

Окончательно

 

 

 

 

 

,

s

 

 

fd2w . d2w\

(1.26)

 

 

 

 

 

12

где:

 

С!= £ *: Я ;

 

(1.27)

Я

г

z

 

 

Co=GoC

СП*-*)

d z

(1.28)

- Я J

.

/(ѵЯ)

 

 

 

0 LO

Если для иллюстрации теоретического получения коэффициента постели с 2 в качестве первого приближения положить f (ѵЯ — —vz) = H — z, то

я г

z

G0 Я

с, = - Я

К ' Н И dz dz ••

Lo При f(yH~vz) = ( Я — z ) 2

с2 = Go Я

Кроме вертикальной реакции, нормальной к подошве пластины, будут приложены еще касательные реакции, равные по закону парности касательным напряжениям по верху столбика (рис. 11):

- = о

х - G —

Часто этими касательными напряжениями пренебрегают.

13

Обратим внимание на то, что в наших рассуждениях слой упру­

гого основания

принимался с

постоянным

модулем

упругости

Е0 по глубине,

а

его перемещения до0 (х, у

z) — следующими

выражению (1.19),

причем лишь

для простоты

было принято, что

f (ѵН — vz) = H — z. Разумеется, возможны

и иные

допущения

относительно модуля упругости основания и относительно переме­

щений,

которые не нарушат приведенные логические построения,

а лишь

их осложнят.

Отметим, что учет касательных напряжений в основании по этой модели наделяет его распределительными свойствами, какими обла­ дает основание по второй модели. Следовательно, основание дефор­ мируется и за пределами пластины.

Третью модель упругого основания можно считать обобщением первой модели путем введения второго коэффициента постели с2 . Таким образом, первая модель является частным случаем треть­

ей, если

в третьей

модели

положить

с а =

0.

Особо

заметим,

что на

свободном

крае

пластины, благодаря

резкому изменению угла наклона касательной к деформированному основанию, возникает сосредоточенно-полосовая реакция R (рис. 12), вносящая, как увидим далее, вполне ощутимые осложнения в расчет пластин.

Иная трактовка связи между коэффициентами постели и меха­ ническими характеристиками материала слоя основания с примене­ нием других функций f(vH — vz) дана в работе [5], где можно полу­ чить и более подробные сведения по этому вопросу.

Поскольку при установлении связей между коэффициентами постели и механическими характеристиками основания принимают­ ся некоторые допущения, то получаемые числовые значения коэф­ фициентов постели должны контролироваться опытом.

Г л а в а 2

РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

§ 4. Цилиндрический изгиб пластины

Рассмотрим прямоугольную, весьма длинную по оси у пластину со свободными краями, перпендикулярными этой оси, при любых закреплениях остальных двух сторон, ей параллельных (рис. 13). Нагрузку на пластину будем принимать не зависящей от координаты у. При таких условиях прогибы пластины также не будут зависеть от координаты у и срединная плоскость в деформи­ рованном состоянии будет представлять собой цилиндрическую по­ верхность. Поэтому такой изгиб и называется цилиндрическим.

14

При большой длине пластины по оси у можно положить гу = 0.

Тогда по (1.10) -дтд- =

0, а

dx2 -

 

 

ö(/2

" d*2

 

 

Напряжения ах и

по (1.12),

(1.13)

будут:

 

 

Ez

d^w

 

(2.1)

 

1 — [X2 dx2

 

 

 

 

 

Ez •

d'lw

 

(2.2)

 

öl 1

•Т7 =

Рах-

 

1 — a2

dx-

 

 

Обозначим через Мх изгибающий момент на площадке с нор­ малью, параллельной оси х, приходящийся на единицу длины пластины по оси у (размерность момента в кгс-смісм) (рис. 14).

йMy

Рис. 13

Рис. 14

Зависимость между изгибающим моментом Мх и напряжениями стж при нейтральном слое посередине высоты пластины будет

 

ft/2

Mxdy=

^ СГ;,. dz Л/z.

 

- Л / 2

С учетом (2.1) она получит вид

 

 

 

d*w

Л/!2

s-

 

Eh*

 

^

 

Е

С л

dz

 

= — ^ 4 - ^

j "

г2

12(1 — ц 2

)

 

х ~

1—р,а

"dxa

J "

"

 

Окончательно

 

 

—ft/2

 

 

 

 

 

 

d2t£)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— —D—

кгс-см/см,

 

 

 

 

*

dx2

 

 

 

d*w

dx2

. •

 

(2.3)

v

'

15

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = Eh?\

12(1— ц2 ) = £ / : ( 1 — ц2 ) кгс-см2/см.

(2.4)

 

Введенная

величина

D

называется

цилиндрической

жест­

 

костью пластины при

изгибе.

 

 

 

 

 

 

Уравнение (2.3) подобно дифференциальному уравнению упру­

 

гой линии балок. Поскольку D >

 

EJ, то прогибы пластины

будут

 

меньше прогибов балки-полоски

единичной

ширины, выделен­

 

ной из пластины плоскостями, перпендикулярными оси у.

 

 

Для исключения из уравнения (2.3) неизвестного изгибающего

 

момента дифференцируем по х дважды:

 

 

 

 

 

—-f=

 

— D — = q (х) + r {х).

 

 

 

 

 

dx2

 

 

dx*

 

 

 

 

 

 

Для пластины на упругом основании

с двумя коэффициентами

постели с учетом (1.26)

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

^

+

^ Ш _ ^ . ^ = _ 1 1 £ ) .

 

(2.5)

 

 

dx*

D

D

 

dx1

D

 

 

 

Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению бал­

ки на упругом основании с двумя коэффициентами постели.

 

 

Из выражений (2.1)

и

(2.3)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

с

Это значит, что напряжения ах

 

в пластине будут одинаковыми

напряжениями в

балке-полоске,

выделенной

из пластины. Но

в

пластине есть

еще

напряжения

(2.2):

 

 

 

 

 

 

 

 

оу

=

цвх.

 

 

 

§ 5. Чистый изгиб пластины

Чистым изгибом пластины в окрестности данной точки срединной плоскости называется деформация, вызываемая изгибаю­ щими моментами в сечениях, перпендикулярных осям х и у (рис. 14), когда в этих сечениях нет других заменяющих (внутрен­ них) усилий. В этом случае, согласно (1.12), (1.13), будем иметь:

Мх

Обозначим

далее через:

 

 

 

 

 

— изгибающий момент на площадке, где нормаль

параллельна

оси

X, приходящийся на

единицу длины

пластины

по оси у , в

кгссм/см; Мѵ

— изгибающий

момент на

площадке,

где нормаль

параллельна оси у , приходящийся

на единицу длины пластины по

оси X, в кгс-см/см.

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

можем

записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

Il

 

А.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

Л4..ау=

{

ovdzduz

=

[

( —

- f - u —

\dzdy;

 

 

 

h_

 

Ji_

 

 

 

 

 

 

• Mvdx

=

\

audzdxz=

I

 

^ - t ^

+

p^dzdx.

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

Окончательно

с учетом (2.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 ' 8 )

* . + «

,

—

+

(2.10)

Выражениями (2.8) — (2.10) устанавливается связь между изги­ бающими моментами и прогибами пластины.

§ 6. Кручение пластины

Чистым кручением пластины в окрестности данной точки срединной плоскости называется деформация, вызываемая крутя­ щими моментами в сечениях, перпендикулярных осям х и у (рис. 15), когда в этих сечениях нет других заменяющих (внутренних) сил.

Касательные напряжения по (1.14)

Ez

d2w

I

( 2 Л 1 )

= - — • — •

14- (X

дхду

 

 

Обозначим здесь:

іпх — крутящий момент на площадке с нормалью, параллельной оси X, приходящийся на единицу длины, в кгс-см/см; ту—крутя­ щий момент на площадке с нормалью, параллельной оси у , прихо­

дящийся на единицу

длины, в кгс-см/см. В соответствии с этим

можем записать

_

 

foc. пуЗличкаяТГ

©кблиотока СССР

ЭКЗЕМПЛЯР

Смотрите также файлы