Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

Привлечение прогибов законтурных точек есть по существу воображаемое продолжение пластины за ее пределы.

На основе изложенного (рис. 59) получаем:

1. Если край пластины шарнирно оперт или заделан, то прогибы пластины wt заведомо равны нулю и при записи уравне­ ний (4.56) для внутренних точек, лежащих на ближайшей к опертому краю параллельной прямой сетки, потребуются точки вне контура и тоже на одной линии, параллельной опертому контуру (светлые кружки).

то прогиб на нем неизвестен, и для написания уравнения (4.56) необходима еще одна законтурная точка сетки на пересечении бли­ жайших линий, параллельных свободным краям пластины (точка а).

4. Для определения реакций Ѵ Х І И Л И ѴУІ на опорах необходимы законтурные точки во втором ряду, параллельном опертому краю пластины (темные кружки).

5. Для определения реакций в закрепленных углах пластины необходимы точки сетки на пересечениях линий первых рядов за­ контурных точек (точки b), а при закреплениях угла с двух сторон— еще точки в первых рядах законтурной сетки на линиях продол­ жения опор (точки с).

Итак, для полного расчета пластины законтурная сетка должна состоять из двух рядов с каждой стороны и четырех точек на пере­

мещений в некоторых законтурных точках, записывают какиелибо дополнительные уравнения, связывающие эту точку с из­ вестными, на основе некоторых логических построений, как, на­ пример, или применением выражения (4.56), или путем экстрапо­ ляции. В последнем случае обычно применяют ряд Тейлора, выра­ женный или через центральные, или через односторонние разности.

136

Рассмотрим в качестве объекта рассуждений шарнирную опору, перпендикулярную оси х (рис; 60, а). Линию сетки k — m совмес­ тим с опорой. Прогибы:

Рис. 60

Для обращения изгибающих моментов Мх в нуль продолжим мысленно пластину за шарнирную опору и найдем перемещения заопорной части, удовлетворяющие поставленному условию. Бу­ дем считать опору осью симметрии. Изгибающие моменты Мх как симметричные внутренние усилия обратятся в нуль, если перемеще­ ния воображаемой заопорной части пластины будут кососимметричны относительно опоры. Поэтому законтурные точки сетки должны иметь перемещения:

137

Учитывая, что wa = isùt = wc = 0, получим wd - f % = 0. При этих условиях уравнение (4.56) будет тоже удовлетворено, если на опоре qt = 0. В иных случаях оно не удовлетворяется.^ тогда при вычислении поперечных сил и реакций на опорах следует

ожидать больших погрешностей.

Приближенно поперечная сила на опоре может быть определена как поперечная сила в ближайшей внутриконтурной точке, с добав­

2. Углы наклона касательной к упругой поверхности пластины по линии, перпендикулярной заделке, равны нулю, т. е.

- * L = 0.

дх

Обращаем мысленно заделку в шарнирную опору и продолжаем за нее пластину. Учитывая, что угол наклона касательной, т. е.

есть величина кососимметричная, которая обратится в нуль

при симметричных перемещениях заопорной части пластины отно­ сительно опоры, то:

При таких допущениях поперечная сила в сечении над опорой как кососимметричная внутренняя сила будет равна нулю. Приб­ лиженно поперечная сила на опоре может быть определена через поперечную силу ближайшей внутриконтурной точки с добавлением нагрузки между точкой и опорой, как это сказано выше.

Кроме допущений (4.69), в литературе [2, 3] перемещения пер­ вого ряда законтурных точек определяют по формуле (рис. 60)

wb = 3wd~wn,

а для второго ряда (для определения поперечных сил) [13] — и з уравнения (4.56), записываемого для контурных точек с перемеще­ ниями, равными нулю.

3.Свободный край (рис. 60, fl)

1.Изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной

пренебрегать для простоты расчета сосредоточенно-полосовой реак-

138

цией упругого основания по свободному краю пластины, должна

Ч" ц

По (4.59) и (4.62):

1 • (—rom + 2wa—2wa - f + y

+ -ГГ [(Wa - 2®a + Wf) + ( — Щг + 2WC~WS)] = 0 . (4.73)

4.Свободный угол (рис. 61)

Вуравнение (4.56), записанное для угла, кроме угловой

точки wt входят еще перемещения 12 точек (рис. 61). Из них переме­ щения точек k, a, f, b и I входят в основные уравнения типа (4.56),

записанные для каждой из них. Перемещения точек е и g войдут в дополнительные уравнения граничных условий, записанных для точек а и b краев пластины. Остаются пока без уравнений (неопре­ деленными) перемещения пяти точек: n, d, h, с и т. Для свободного угла можно записать пять граничных условий:

139

+ Wj)—(wh—2wd +

+ we)} = 0; (4.77)

1

140