Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

^ Е ^ Е ,

(1)

i

EjEk = 0 {}ФЩ.

(2)

Р ( Л ) = 2 Р(Л|Я,)Р(Я,).

(3)

Р(Л) = Р(АЕ)

= Р ( А 2 £ , ) =

Р ( 2 Л £ , ) =

2 Р (АЕ/)

и представить P ^ i : , )

(t = 1, 2,...) по формуле

(1)

преды­

дущего параграфа.

§

11. Формула

Бейеса

Пусть Л, Ei,

Ei,...

имеют тот

же смысл,

что

в § 10.

статистическом

эксперименте

непременно

сопровождается

одним

и только

одним из событий Е( (i =

1, 2,...). Если из­

вестны

абсолютные вероятности Р(£",-) ( / = 1 , 2 , . . . ) и услов­

ные вероятности Р ( Л | £ г )

( / = 1, 2, ... ),

то формула (1)

ся данным исходомЕ,.

Гипотеза, гпгтптпипл п том пи пГАТТ*"^

2 - 1 4 3

I яаучво-т*хн«;*

^

1 библиотек"

* - ^

1 Р (А) — Р ( B ) | < Р [ {А + В) -

АВ] = Р (АВ + АВ) = Р (А8) + Р (АВ).

4. Имеется буквенный замок, состоящий из пяти секторов, на каждом

из которых нанесены цифры 0,

1, 2, 3, 4, 5. Какова

вероятность,

набрав

наугад пятизначное число, открыть замок?

О т в е т :

б-5 « 1,3- 1(Н.

5. Какова вероятность, выбрав наугад три карты из полной колоды,

получить тройку, семерку и туз?

О т в е т :

4 3 / G g 5 « 2,9-10-3.

Указание. Масть

извлеченных

карт не

имеет

значения,

поэтому среди

сочетаний из 52 карт по 3 заданная

ком­

бинация

встретится

64

{ = 43 )

раза.

6. Из полной колоды наугад вынимаются одна за другой три карты.

Какова вероятность того, что в первый раз будет извлечена тройка, во

второй раз — семерка, в третий

раз — туз?

О т в е т :

43

/ 52-51 -50 « 4,8-10-4. Указание. Воспользоваться теоремой

умножения.

N

m =

7k

7. В

партии

из

изделий

содержатся

бракованных. При

этом

k изделий

имеют

брак a,

k изделий — брак

b, k

изделий — брак

с,

k

изделий — брак а

и b, k

изделий — брак b

и с, k

изделий — брак с и а,

k

изделий — брак а, Ь и с. Являются ли попарно независимыми события А,

В а С, состоящие в том, что наугад выбранное изделие из числа m

бра­

кованных имеет

соответственно

брак

а,

Ь или с?

О т в е т : нет.

пг =

k

8. В

партии

изделий

содержатся

4/г

бракованных. При этом

изделий

имеют

брак a,

k

изделий — брак

b,

k

изделий — брак с, k

изде­

лий — брак а, 6 и с. События А, В, С состоят

в том, что наугад выбран­

ное изделие из числа ш бракованных имеет соответственно брак а, Ь, с.

Независимы ли А, В, С попарно? Являются ли А, В, С

взаимно незави­

симыми?

О т в е т : А,

В,

С попарно независимы,

но не взаимно независимы.

9. По некоторой цели производится п выстрелов,

причем вероятность

попадания при

каждом выстреле равна р и

результаты

отдельных

вы­

стрелов взаимно независимы. Вычислить вероятность р\ хотя бы одного

попадания.

О т в е т :

рх

= 1 — (1 —р) п -

Указание.

Если А^ (k =

1 , . . . , re)—попа­

дание

при k-м

выстреле,

то pi

= 1 — Р(Л, А2...

А,,) =

1 — П Р (А^)

(в

_

_

А

силу

независимости

Ai,...,A„).

п

10. ( З а д а ч а

о п о в т о р е н и и

и с п ы т а н и й.)

Производятся

независимых испытаний, в каждом из которых некоторый исход А имеет

вероятность

р. Вычислить

вероятность

p n

k

того, что

исход А будет

иметь

место

ровно

в k

испытаниях.

*

'—

О т в е т :

РП k =

C j p f t g n _ f t

(q =

1 — р).

Указание.

Независимость

'

.18

'

"

'

торяется

множитель А и п — k раз — множитель А. Вероятность каждого

В в силу

предположения есть

pkq"-k,

a D есть сумма попарно несовмест­

ных слагаемых вида В, число

которых равно С* •

П. Шар, на который нанесена

сетка

географических координат,

бро­

шен на плоскость. Считая, что вероятность

попадания точки касания

в об­

ласть

G на поверхности шара

зависит лишь от площади G, найти вероят­

ность

того, что точка касания

окажется между в1,1 и 6'3' (0 < 6J < fig < 90°)

северной

широты.

ления

в

приемник

двух сигналов. Если первый сигнал

поступает

в мо­

мент

t,

то приемник

«перерабатывает»

его в течение

т

секунд и

регист­

рирует второй сигнал, поступающий в момент s, лишь

в том случае, ког­

да « >

t -f- т. Какова

вероятность

того, что приемник

зарегистрирует оба

сигнала?

f

т

V

О т в е т :

I 1—~jr )• Указание.

Используя

метод

геометрических ве­

роятностей,

берем

в

качестве D0 квадрат

{(s, 0". 0 < s, г < Г} в плоско­

сти 5, t. Искомая

вероятность равна

отношению к Т2

суммы

площадей

треугольников, для точек которых 11 — s | > т.

13.

Электрон

атома может находиться на счетном множестве орбит.

Если в момент t0

электрон

находится

на /-й орбите, то вероятность появ­

ления

его на k-й

орбите в

момент

t0 + т

равна

C/e~a '-'_ f t ' (a >

0 — не­

О т в е т : 1) С / = , ^

— е

; 2) Q £

,

C k ^ ] ~ k

^ k ' 1 . У ка-

1 + е

/

к=\

зание. Мы считаем

достоверным, что в момент ta-\-x электрон

окажется на

одной из орбит. Если А — событие, состоящее

в том, что в момент

4 + 2 т

электрон

окажется

на l-н орбите,

— появление

электрона

на k-ц орби­

те в момент t0 + т, то Е £fc = Е, EkEm

= 0 (k Ф m) и А = £ АЕк;

при-

k

к

менить

теорему

о полной

вероятности

(см. § 10).

14. Партия

изделий содержит 90% высококачественных

изделий, 8%—

изделий

низкого

качества и 2%—бракованных

изделий. Если подвергнуть

изделия

некоторому

испытанию,

то, как обнаружено, все

высококачест­

венные

изделия

его

выдерживают;

из

числа

изделий

низкого

качества

60%

проходят это испытание; что касается бракованных

изделий, то лишь

10%

их выдерживает

это испытание. Какова

вероятность

того, что наугад

выбранное изделие, прошедшее

испытание,

относится к

числу

высокока­

чественных?

0,95. Указание. Пусть А—событие,

О т в е т :

«

состоящее в том, что

изделие

прошло

испытание,

£ ь £г, £ з — «гипотезы», что выбранное

изде­

лие

соответственно

высокого качества,

низкого

качества и

бракованное.

По

формуле

Бейеса

(см. § 11)

следует

найти

Р ( £ | |

А)

по

заданным

Р ( £ , ) и Т>(А\Е()

(« =

1, 2, 3).

2*

19

стности,

До =

( — с о , + оо) —сама

числовая

ось. При

некото­

ром замере величины X могут

происходить

события

вида

А =

{Х€

Д),

в

частности

В =

(X = х),

С =

(X <

х')

и т. д.

При каждом замере мы считаем событие

(X £ До)

досто­

верным,

а события (Х=Х\)

и

(Х=х2),

где

хх

Ф х2,

несовме­

стными.

Говорят, что переменная X представляет

собой

случайную

величину,

если

имеется поле вероятностей

(А,

Р),

охватыва­

ющее события

(X (: М),

где

М

образуют

некоторый

класс

множеств,

заведомо содержащий

всевозможные

промежутки

Д числовой

оси:

Так же как в § 7, можно убедиться в том, что

А содержит события

вида

(Х&М),

где М — произвольное борелевское

множество

на

число­

вой

оси.