Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

§ 57. Теорема

Ляпунова

Следующая

весьма

общая

формулировка

центральной

предельной теоремы принадлежит Ляпунову.

Пусть

взаимно

независимые

случайные

величины

X),

Х2,

• ••,

Хк, . . .

(1)

имеют математические

ожидания

ак = Ж(Хк)

(k = \,

2,

. . . ) ,

(2)

дисперсии

°l = D(Xk)

(ft=l,2, ...)

(3)

и абсолютные

центральные

моменты

третьего

порядка

P^ =

M ( | * f t - a f t

| 3

)

( f e = l ,

2, ... ) .

(4)

Положим:

А„ = а! + а2 +

• • • + ап,

(5)

bl =

a2i + °l+

•••

+°1

(6)

с\ =

р! +

р! +

• • • +

Рп-

(7)

Тогда, если

lim

-£- = 0,

(8)

то законы

распределения

нормированных

сумм

п

Т " 2 (**-**)

(я =

1, 2,...)

(9)

сходятся

к нормированному

гауссовскому

закону.

Доказательство начнем со следующего замечания: допу­

стим, что случайная величина

X обладает

абсолютными

цент­

ральными

моментами:

Р = Щ\Х-а\).

о* = Щ(Х-а)*],

р» =

М ( | Л Г - а | » ) >

где а=М(Х).

Обозначим Х'=Х

— а

и рассмотрим матема­

тические

ожидания:

Ж[{\X'\+

= $ +2)£

+ J >0,

(10)

I

3

m\mX'\2

-4-1 A" | f

) 2

] =

^ 2

+ 2a2? +

p 3

> 0 .

(11)

Из неравенства (10) следует, что

( * 2 < ° 2 ,

(12)

а из неравенства

(11) —

о4

< w 3 .

(13)

а < Р .

(14)

Введем теперь обозначения:

Х'к = Хк-ак

(fe = l ,

2, . . . ) ,

Zkn)=±Xk

( f c = l ,

2,

...,n),

( n = l , 2, . . . ) ,

¥kn4t) =

<?z(n)(t)

2, . . . . n),

fN (0 =

<P» (0

( « = 1 ,

2, ... ) -

л

<Р£п) w = 1 - 4- -3- *2 + 4- w - р - t % •

(1 б)

где

| б^"'| <

1.

Обозначим

2

3

г п , й = - - 1 - ^ ^ +

4 - Г - | / з .

( 1 б )

Так

как для

k=l,

2,...,

п

в силу

неравенства

(14)

2

3

< 4 - | ' J

+ -r-|i'i5 <

<К^У"^КЬУ^-

<17>

то

согласно

условию (8)

z„,k (равномерно

относительно

k <

и) стремится к

нулю

с возрастанием

п при

любом фик­

сированном

t.

Итак,

выбрав

какое-либо t,

обозначим

с 1 = 4 ' 2

+ 4 - 1 ' 1 3

мы будем

иметь

оценки:

2

2

1 г » . * 1 < 7 ( т / 2

+ т 1 ' 0 = c

> l £ <*=

1 ' • • • •

^

и

с2

| 2 я . * | < С , - 2 -

( А = 1 ,

. . . ,

л).

(19)

Ь л

Рассмотрим *

In «p<")(f) =

1п (1 +

z„. *) = г„. *

1-гй. * +

- 5 -

гй. *

=

=

Z„, ft +

Z*. я ^

+

- y - 2„, ft

—

Согласно

неравенствам

(19)

при достаточно

большом

п

Y

+

"J- 2 «. *

Г Z «. * +

• • • | < С2

(* — 1, • • • . П),

где Сг — некоторая

постоянная. Поэтому для второй суммы

в правой части равенства

2 Ш

(0

=> 2

z„. * +

S z S . » ( - 4" + 4"

zn.

ft

)

(20)

* - l

ft=l

A=l

будем иметь

соотношения:

|2z '.*(--r

+ 4-z »'* —

) | <

n

n

p4

л

p3

< c 2

2z"-*

^ ^» 2 ~ f t 4 " = C 2 c? 2 - J T -

<-

ft=l

ft=l

л

ft=l

"

< C 2 C 2

( - g . ) 3 - 0

(n - »•») .

Что касается

первой

суммы

в правой части равенства

(20),

то

ft=l

ft=l

V

"

"

/

==

1

i "

о 3

Р 4- — V 8<Л> — t3

* Берется та ветвь

логарифма, для

которой

In 1=0 . В силу (19)

когда п достаточно велико,

l + z n

, « заключено в

малой окрестности точ­

ки z = 1.

Итак,

2 in <р(») (/) = in п -f[n)

(о =

in f„ (О -

-

4

следовательно,

И т / Л ( 0 = е

2 ,

и теорема Ляпунова доказана.

Заметим,

что Ляпунов доказал

теорему

при

несколько

более общих

предположениях:

вместо g*

он

предполагал

бо порядка 2+6 (6>0)

и вместо

условия

(8) выдвигал

тре­

бование

l i m

2 М (I Х„ -

ak

| 2

+ s ) = 0.

(21)

Заметим, что условие (8) заведомо

выполнено

тогда,

ког­

да существуют такие постоянные

с > 0

и С > 0 , что

4>с,

Р |

< С

для всех k. В самом деле, при этом

с*

\

Сп

1

_ 2-

_

1

п~г

с

2

6

/ е л

2

п

Обратимся теперь к частному случаю,

когда

случайные

величины Х „ равномерно

ограничены,

т.

е. существует

та­

кое М,

что

\Xk\<M

(А =

1, 2, .

. . ) .

(22)

Покажем, что при этом для выполнения

условия

(8)

необ­

ходимо и достаточно соотношение

lim &„= +

00.

(23)

л->-оо

Предположим

для

определенности,

что

Xk—непрерывные

случайные величины,

распределенные

с

плотностями

pk{x),

причем

согласно

(22)

pk(x) = 0 при | д: | >Л4. Тогда

(см. § 40

задача

3)

ок<М

(24)