Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Пусть далее

F(x)—функция

распределения

некоторой

слу­

чайной величины X. Говорят, что последовательность

законов

распределения

случайных

величин

(1)

сходится к закону

рас­

пределения

случайной

величины

X,

если

Iim

Fn(x)

=

F(x)

(3)

л-<-со

во всех точках непрерывности функции

F(x).

a,

b

Из

(3)

следует,

что,

каковы

бы

ни

были

точки

( а < 6 ) ,

в которых F[x)

непрерывна,

Urn [Fa(b)

-F„(a)]

=

/*(6)

-F{a),

n-*ao

т. e.

11m P{a^Xn<b)

=

P(a<X

<b).

Я - К О

Покажем, что из сходимости

\Хп)

к X

по вероятности вы­

текает

сходимость

законов

распределения.

В

самом

деле,

предположим, что

Хя(вер.)

+

Х.

(4)

Пусть

х0

— любая

фиксированная

точка,

в

которой

непре­

рывна

функция

распределения

F{x)

случайной

величины

X.

Возьмем произвольное

е > 0

и выберем

т]>0 так,

чтобы

f(*o + ri) —F(xt>)

=

P{x0<X<x0+nX-j-

и

F(x0)

—

F(x0

—

r\) — P(x0

— т] <X<X„)<-Y

•

Согласно

(4)

существует

такое

n0, что

при

всех

п~>пй

Р(\ХП-Х\>-ц)<^-.

Обозначим:

А„ = (Хп < х0),

А — (Х<

х0),

В =*{х0<Х<х0

+ т\),

С =

(Х>х0

+ г1),

D ~(x0

— r\4CX<х0),

F =

(X<x0-ri).

Ясно, что

A = D + F,

Л ~ = В + С,

причем

DF = ВС — О. При

п>п0

будем

иметь (см. §

12,

задачи 2 и 3)

| F„ (х0)

-

F (х0)

| =

| Р (Ая)

-

Р (А) | <

<

Р \(An

+

А) -

AnA\

=

Р (А„А + АПА)

=

=

Р[АП(В

+ С)+

J „ ( D

+

F)}~

= Р (АПВ) 4- Р (AnD) + Р (AnC + AnF).

Так как

. ;

^

и

AJB с В,

AnD с D

AnC +

AnFc(\Xn-X\>-n),

то

Р (АпВ) < Р (В)< - i - ,

Р (Д£>) < Р (£>)< ,

1 с вероятностями

-^-и Xгк_л=Х,

X2k = —X(k=l,

2,...),

то все Х„ и X имеют одну и ту же функцию

распределения

О

при

х < —

1,

Fx(x) = Fx(x) =

42-

при

— 1 < ж < 1 ,

1

при

х > 1.

Таким образом,

Fxn{x)->

Fx

(х)

(л-»- оо),

тогда как

1^—^2*1—1 и, следовательно, при

е <

1 Р(\Х—

X2k\>е)=1

F(x)

= E(x-c)=

f

,0 при х < с,

w

v

11

при

лс>с.

Если

( 0

при

* < с,

7-143

97

однозначное соответствие.

Следующие

два

предложения —•

так

называемые

предельные

теоремы теории

характеристиче­

ских

функций — устанавливают

непрерывность

этого

соответ­

ствия.

Если

законы

распределения

случайных

величин

Х\,

Х2,...

Хп,...

сходятся

к

закону

распределения

случайной

ве­

личины

X,

то последовательность

характеристических

функ­

ций

? х

(0

(л = 1 , 2 , . . . )

(1)

сходится

к характеристической

функции

fx

(2)

Если

последовательность

характеристических

функций

(1)

сходится

к

характеристической

функции

(2),

то законы

рас­

пределения

случайных

величин

{Хп}

сходятся

к закону

рас­

пределения

X.

Доказательства

обеих теорем

читатель

найдет,

например,

в учебнике

Б. В. Гнеденко

[2]. В качестве

иллюстрации

пре­

дельных теорем докажем следующую теорему Хинчина.

Последовательность

одинаково

распределенных

взаимно

независимых случайных величин Х\, Х2,...,

Xk

, . . . , облада­

ющих математическим ожиданием JA(Xk)=a

(fe=l,

2,...),

подчиняется закону больших чисел.

*xk

(t)=<p(t)

=

l +

iat+o(i)

и для средних арифметических

УП = -У(Х,+

---+Хп)

(3)

в силу

взаимной

независимости

слагаемых

, л о = Ч ( о = [ 1

+

^ + < 4 - ) Г

(4)

(см. §

51 формула (11)).

Из

(4) следует, что при

любом

фиксированном t

lim

<on(t) =

e,ai.

(5)

п-юо

Правая часть равенства (5) представляет

собой

характери­

стическую

функцию

постоянной

У = а. Следовательно, функ­

ции

распределения

случайных

величин

У„

сходятся к

Е (х—

а)

при всех

х ф а. Последнее, как

мы видели, равно­

играет группа

теорем, имеющая

общее

название

централь­

ная предельная

теорема.

Содержание

этих теорем

таково:

если

Х\,

Хъ,...,

ХП,...

(1)

скими ожиданиями M(Xk) = ak

и дисперсиями D(Xk)~al

и

Yn = X,+ ---+Xn

( я = 1 , 2, . . . ) .

(2)

Гл

= -г(Уп~Лп)

( « = 1 , 2 , . . . ) ,

(3)

где

A„ =

at

+ ---+a„,

Ь\ =

а\ +

• • • +

а\,

сходятся

к нормированному закону

Гаусса, т. е. при всех

х

Ига Р ( К „ < * )

=

- 1 =

\

е

X

(4)

2dx.

—оо

Практическое применение этой

теоремы

состоит

в том,

что

при выполнении соответствующих условий, когда

л >

1, сум­

мы

(2) имеют

закон

распределения,

близкий к нормальному

с параметрами

а=А„,

о—Ьп

(см. §

24

задача

15).

Следо­

вательно, при любых

c < d

Р(с<Х,+

••• + ^ Я < Й ) ^

Ф ( ^

-

^

)

- Ф (

-

^ ~

^ )

(5)

(см. § 21

формула (6)).

Простейшей теоремой такого рода является интегральная

теорема

Лапласа

(см. § 27). Действительно,

случайную

ве­

личину X, распределенную по биномиальному закону с па­

раметрами пир,

можно рассматривать как сумму п взаим­

но

независимых

случайных

величин Х\, Х2,...,

Хп,

каждая

из

которых принимает лишь

значения

1 и 0

соответственно

с вероятностями

р и

«7=1—р,

и утверждение

интегральной

7*

99