Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

его

и н в а р

и а и т о м.

Замечание.

Так

как

через

точки zu

z2,

z3 проходит единствен-

ная

окружность у,

а

через

их образы

a1,,

w2, tc'a '<\-=

ному

можно утверждать,

что существует

единственная

функ­

ция

( ! ) , перег-одящая окружность у в Г. Эта функция

пере­

ведет

внутренность у по внутренность или

во внешность

Г,

так

как

Г является границей

обеих этих областей. А чтобы

это

ности); останется только из 2-х

направлений нормали

к Г

выбрать такое, чтобы угол

между

Г (в

направлении

от іѴ\ к

гю2)

и нормалью отсчитывался

в таком

же

направлении,

как и

угол

ренность

Г,

а

на

рис.

53

внутренность

у переходит во внеш­

ность

Г.

Очевидно,

что

и

в

первом

случае

(рис.

52)

и

во

втором

(рис.

53)

при. обходе

контура у

в

направлении

zu

z2,

z3

область,

ограниченная

им,

остается

слева,

так

ж е

как

и при

обходе

кон­

тура

Г в

направлении

іѴ[, ш2 , а'з

область

остается

с той

ж е

сто­

роны

(слева)

от Г. Таким образом, порядок расположения то­

чек Z\, Zo, z3

(соответственно W\, zv2, œ>3) определяет

направление

обхода контура

у

(соответственно Г ) . Если направления

обхода

у и Г совпадают

(рис. 52),

то внутренность у переходит

во

внут-

дробно-линейная

функция, п е р е в о д я щ а я точки

a, ß,

у соответ­

ственно в точки

О,

I , со . Легко убедиться, что

функция

w =

ß - 7

[i-a

z—t

этим требованиям

удовлетворяет.

Но вещественная

ось — гра­

днться, что

верхняя

полуплоскость переходит в верхнюю полу­

плоскость.

И здесь,

как

и

в задачах предыдущего п а р а г р а ф а ,

это можно

подтвердить,

убедившись

в том, что

точка

г п

( І п г г о > 0 ) перейдет

в точку

ш(> ( І п ш 0 > 0 ) .

Здесь удобнее поступить согласно сделанному выше замеча­

нию. Если

точка z

будет

двигаться по

вещественной

оси в

на-

Рис.

55

правлении от а к ß и затем

к у> то

соответствующая ей

точка

w

пробежит новую вещественную ось в направлении от 0 к 1 и

затем

к

с о . При этом

область

l m z > 0

остается

с левой,.стороны,

так же,

как и область

І т а у > 0 .

2.

Отображение

верхней

полуплоскости

на

круг.

Если

потребовать,

чтобы

точка

a ( І т а > 0 )

перешла

бы

в центр

круга

| и ' | < 1 ,

то

по

свойству симметрии

дробно-

линейного

преобразования

точка а должна перейти в

œ> =

со,

так

как

w = 0

и w = co

точки,

симметричные

относительно

окружности

I œ> | = 1 , в

которую

переходит

вещественная ось

плоскости

г,

я в л я ю щ а я с я

границей

верхней

полуплоскости

(рис.

55).

Дробно-лпнейной функцией, переводящей точки а и

а соот­

ветственно в точки

О н

со, является

функция

w =

к

z— а

z—а

З д е с ь

к — к о м п л е к с н а я

постоянная, к о т о р у ю

е щ е предстоит оп­

ределить из

условия,

что

вещественная ось

плоскости

z д о л ж ­

на перейти

в | г е > | = 1 ,

т.

е.

если z

вещественно,

то

|-œ»| = l :

=

| к | ,

так

как при

вещественном

г

z — а

z--rJ.\.

Итак к=е'*

и

z — а

Здесь

ф не

определено,

т. е. существует бесчисленное

множе­

вокруг своего

центра.

3.

Отображение единичного

круга на

себя.

Пусть мы

хотим о т о б р а з и т ь / г I <

1 н а | т с | < 1

так (рис. 56),