Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

чтобы точка

а ( | а | < 1 )

перешла бы в центр круга

| а у | < 1 . В та-

ком случае

точка

1

, симметричная

точке а

относительно

а

окружности

| г | = 1, д о л ж н а

при дробно-линейном

отображении

перейти в точку ш = со,

симметричную

точке w = 0

относительно

| w | = ' l .

Дробно-линейная

функция,

удовлетворяющая этим

условиям,

имеет вид

2 - я

_

z—a

z—а

W

=

K

г

- = т - =

— =Кі

—

- —

•

1

i.z—\

\ — a.z

Постоянную

/с,

(кі = — ко.)

определим

из

условия,

что точки

окружности

I z

I = 1 переходят в точки

окружности

|та/| = 1:

І и > | = 1 = | * , 1 . | z ~ a | .

при

[ z j = l ,

но

при этом

1 — я z

1 — а •

так

как если

точка

z

л е ж и т на о к р у ж н о с т и ,

то

н точка

z

вещественной оси, а

расстояние между

z п к

равно

расстоянию

1

-

между симметричными им точками —— и а

относительно ве­

щественной

оси. Поэтому

I к у | = 1

и

К\—elf.

Таким

образом

функция,

о т о б р а ж а ю щ а я

круг

на себя,

имеет

вид

.

z—o.

w—e1^

_— .

l - a z

Очевидно, таких дробно-линейных

функций, о т о б р а ж а ю щ и х

круг на себя, бесчисленное множество,

так как ср может

прини­

мать произвольные

действительные

значения.

§ 5. Степенная

функция

Пусть

и — целое

положительное

число,

п>\.

Рассмотрим

степенную

функцию

w=z".

(5)

О т о б р а ж е н и е , о с у щ е с т в л я е м о е

этой

ф у н к ц и е й ,

конформно

всюду кром е

точки

z = 0,

ибо

производная

w'=tiz"~l

сущест ­

вует и отлична от нуля во всех точках

плоскости,

кроме г = 0,

где w' — 0.

Р а з б е р е м с я,

как ведет

себя

функция (5) в окрестности точки

2 = 0. Д л я этого

введем

полярные координаты г, ср на

плоскости

z

и р, Ѳ на плоскости

ш. На основании (5)

имеем

откуда

следует, что

ре»-1 =

г" e'"f,

р = г",

Ѳ = /<•?.

(Г>)

И з

равенства р = г "

вытекает,

что

окружность

г = const

с

центром в точке

2 = 0

переходит

при

пашем

отображении

в

окружность

р = const

с

центром

в точке tc = 0

плоскости w,

Рис. 57

причем

окружность

г=\

отображается

на

окружность

р==1,

т.

е. на

себя.

Из

второго

равенства

(6)

вытекает,

что

лучи

Ф = const,

выходящие

от начала координат

плоскости

2, отобра­

ж а ю т с я

на

лучи

Ѳ = const,

исходящие

из

начала

координат

плоскости w; при этом положительная

часть

вещественной оси

плоскости 2, то

есть

луч

ср = 0, о т о б р а ж а е т с я на

себя, т. е. на

луч

Ѳ = 0.

Луч

ср = фо плоскости

г отображается

на луч Ѳ = /кр

плоскости w (рис. 57).

jотображается

П о э т о м у

угол

0<s<<p 0

^ с р п <

—jj—

на угол

0 < Ѳ < Л ф о .

Углы

с вершиной

в точке 2 = 0 при отображении (1)

При

этом

отображении

угол

0 ^

'

^

- ^

раствора —^- плос­

кости

z

отображается

на угол

0 < Ѳ О ,

т. е. на в е р х н ю ю

полу*

плоскость плоскости

до;

а угол

0 < с ? < —

на угол

0 < e < 2 s

т. е. на

всю

плоскость

w

с

разрезом

вдоль

п о л о ж и т е л ь н о й

части

вещественной

оси,

так

как

на

этот

луч

о т о б р а ж а ю т с я

обе границы

z—0

и

» =

2т

утла

2т.

плоскости

z.

0 < с в < -

-

Д л я о т о б р а ж е н и я

w—z'1

о т о б р а ж е н и е посредством

функции

z—Y

w

является

обратным .

Очевидно,' при прямом отобра­

жении

точка

2 = 0 переходит

в ш = 0

и наоборот,

ш = 0

переходит

при обратном отображении

в точку 2 = 0 . Таким

образом, м е ж д у

точками

2 = 0 и до = 0 существует

взаимно-однозначное

соответ­

ствие

(также и между

точками

z=co

и ш = оо). Если

ж е

взять

точку

г

(z ф

0, гфсо)

и точку

w=z",

то

взаимно-однозначного

соответствия

между

ними

не

будет.

Действительно,

каждой

такой

точке

z

соответствует

единственная

точка

до,

но

любой

п,

точке до по закону

2 = у w

будет соответствовать

п

точек

z K = Y

\ w \ - e \ n ~

я

J, к = 0 , 1, 2, . . . .

К а к

видно, все эти точки

являются

вершинами

правильного

/2-угольника,

вписанного

в

окружность

| z | =

i

\w\

,

то

есть

'

„

2т,

одну из другой

можно

получить

на угол,

кратный

— - — .

2т-

Как

мы у ж е

видели,

у г о л

0<<?< —-—

плоскости

z

пере ­

ходит при отображении w—zn

в

плоскость до с

разрезом

вдоль

положительной

части

вещественной

оси, то есть в угол

0 < Ѳ < 2 я .

Аналогично

м о ж н о показать,

что

угол

2 -

<

es <

4т, , а т а к -

ж е все

углы

вида

J

ѣ

'

и

2 « ~ < ? < 2 ( к + 1 )

~

,

к=0,

1,2,

я - 1

перейдут в

ту

ж е

область

плоскости

до. Д л я

того

чтобы

об­

ласть

D плоскости

2

можно

было

взаимно-однозначно

отобра­

углов

раствора

——

с

центром

в

точке

2 = 0.

Н и к а к а я

окрест­

ность

точки

2 = 0

поэтому

не

может

быть

взаимно-однозначно

отображена

па

окрестность

точки

tc = 0

(так

ж е как

и

окрест­

ность

2 =

со

на

окрестность

а.' = с о ) ,

ибо

обратная

функция

а

2 = |

w

в окрестности

х' = 0

и

w — о «-значпа.

В таком

случае

точки

zv = 0

и

ш' = с о

называют

т о ч к а м и

р а з в е т в л е н и я

z—\

"

w.

n

функции

В самих

точках

разветвления

значение

функ­

ции всегда одно. Так,

2(0) = 0 ,

z(-o)

=

с о .

Определение. Функция / ( ; с ) , регулярная в области Л, назы­

вается

р е г у л я р н о й

в е т в ь ю многозначной

функции

F(w)

в этой

области,

если

в каждой точке w области Л значение І(&>)

совпадает

с

одним

из

значений

F(ie)

в

этой

точке. Так,

для

л-значной

аналитической

функции

z = Yw

= V\w\

-e,2LT^t

0 < B < 2 - ,

к = 0 ,

1,2,

.. . ,

и - 1 ,

ф у н к ц и и

и

/

Н+2/Л,-

г к „ ( ш ) = V' \ w\ • е1

п

,

получившиеся

закреплением

числа

Л'

(к = ко,

я'о = 0, 1, 2,

я— 1)

являются ее регулярными ветвями.

Примеры

1.

Д л я

функции

w —\rz

р е г у л я р н ы м и

ветвями

являются

функции

("Z

г

_ \

В одной

n

той

ж е

т о ч к е

г(гФ0,

гФсо)

w., = wKe'~

,

т. е.

w2 = —wi.

Поэтому

если

н у ж н о

указать

о п р е д е л е н н у ю

ветвь

функции,

достаточно

указать

значение

этой

ветви

в

одной

точке.

Так,

если

потребовать,

чтобы

іс(1) =

1,

то тем

самым

фиксируется

ветвь

W\.

Если

потребовать, чтобы

ш(4) = — 2, то

фиксируется

ветвь

гс'о функции

ш. Очевидно,

функция

W\

отобра­

ж а е т

любую

область

D

плоскости

2, не

с о д е р ж а щ у ю

2 = 0 и

2 = c e , а

т а к ж е точек

отрицательной

части

вещественной

оси,

Рмс. 58

2. Требуется отобразить

верхний

полукруг

| г | < 1 ,

0<argz<n

на верхнюю

полуплоскость

І п ш ' > 0

(рис. 59).

М о ж н о

найти такую

дробно-линейную

функцию,

которая

w,—0

_ с о — 0

2 + 1

. 1 + 1

W. — 1

со — 1

ИЛИ

Wj

2 + 1

У, —1

_

2z

плоскости

(рис.

60),

так

как обход контура в направлении

— 1, 0,

I , так

ж е

как

и обход

контура первой четверти в направ ­

лении

0, 1,

+

сѵ> оставляет

эти области слева. Очевидно,

исход­

ную задачу

решит функция

о.' = шТ, ибо она, оставив на

месте

положительную часть вещественной осп плоскости wu

угол

0<Argcc,

переведет в угол удвоенного раствора, т. е.

в верхнюю

полуплоскость

w.

п о л у к р у г Iта/1< 1,

0

< A r g w < T t (рис. 61). Ф у н к ц и я 'со, —

—

отобразит плоскость

z на 'Плоскость w\, причем отрезок

мнимой

оси от і до 3Z перейдет в луч,

а именно в положительную

часть

вещественной оси

(рис. 62).

Действительно, точки z=i

и

z=3i