Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

положительное

число /Ѵ = /Ѵ(е), -что

как только ii>N,

так

сейчас

ж е

|г„ — г

I <

г.

Если z -— предел

последовательности

г„,

то

говорят

еще,

что

последовательность zn

с х о д и т с я

к z.

2„->г.

Определение 2. Число со называется

пределом

последова­

тельности 2,,, l i m г „ = о о , если для

любого

е > 0

найдется

такое

У Ѵ> 0 , Ч Т О

а-"

как

только n>N,

так сейчас ж е \z\

>

s.

Определению конечного

и бесконечного

предела

последова­

тельности

можно

придать

следующую

г е о м е т р и ч е с к у ю

ф о р м у:

Последовательность z„

называется сходящейся к z,

если для

л ю б о г о , F > 0 все точки (последовательности,-начиная

с

некоторо­

Д л я

случая

конечного предела

последовательности

справед­

лива

следующая

теорема:

Теорема 1.

Соотношение

lim (л-„ -} /у„)==л-

і іу

эквивалентно

двум

соотношениям

lim

л'„ = л",

lim

\'„ = у.

Доказательство

1.

Пусть

lim

(x,r'riyn)^=x-{-iy.

Требуетея доказать,

что тогда

lim

х„ — х,

lim у„ — у.

Действительно, так как г„-->г,

то по любому е > 0

можно

паи-

ти

N>0

такое, что для

n>N

\z„-z\

=

/

(x-xf~+

( у „ - у ) 2 " <

s.

Но

ведь

I xn—x

I <

I z n - z

| <

г,

| у „ - у | <

| г „ — г | <

г

д л я n>N

Отсюда видно, что выполняется следующее: для

любого

е > 0

можно найти такое N, что выполняется

| xn

— x | < s ,

лишь

только

/7>Л'

и I у„ — у I <

s, лишь

только

»>/V,

а

это

п означает,

что

х„^х,

у„->у.

2.

Д о к а ж е м

обратное

утверждение. Пусть лгл->-л*

и

)'„-»->'.

Требуется доказать,

что тогда

zn->z.

П *» et

Л -» ^

Так как А ' „ - > Л -

и у „ - ^ у , т о

по

II - -V

можно

найти

такое N,

что

в > 0

« - ^

и - о=

как только

n>N,

так сейчас

ж е

\хп—х|<

Е Л

,

I ѵ„— vi < - 4 - .

Д л я

таких /7

выражение

IZ »--Z I =

I ' (•*„ - * ) Ч (У„ - )У2

/

s-

-у + ~2

< ] /

=

£'

т. е. для

е > 0 найдено

число

N

такое,

ч т о | г „ —z\

< s ,

как

только

/г >

/V.

Определение 3. Последовательность

z„

называется

о г р а н и-

ч е и н о й,

если

для

всех

n существует

число

R

такое,

что

| г „ К Я .

Геометрически

ограниченность zn

означает,

что

существует

круг радиуса R

с центром в точке z = 0,

в .котором

находятся все

то ч к и п осл едо в а тел ь ности.

Теорема 2. Если последовательность имеет конечный предел,

то

она

ограничена.

можно

найти

Л^>0 такое, что все z„,

у которых

n>N,

попадут в

круг J z„—z

I < s и N точек

Z\, z2 , .. . • z,\

останутся

вне этого круга.

Возьмем такой круг

в котором

находились

бы

все*2і,

z2 ,

. . . zx

и круг

I

z—z„< s . Существование

такого

круга | z

|</?,

в котором

находятся все точки последовательности,

и

доказыва ­

ет

теорему.

Пример.

Справедливо

у т в е р ж д е н и е

Приводим без

доказательства .

§ 4. Предел функции: Непрерывность

Пусть

некоторая

однозначная

функция

комплексного

пере­

менного l l ' = / ( Z )

определена

в

окрестности

точки

z0.

В

самой

точке 2о функция

может

быть и не определена:

Пусть

w0

конеч­

ное или бесконечное комплексное число.

Определение

1.

Число

w0

называется

пределом

функции

ïv = f(z)

при стремлении

г к г „ .

ш 0 = 1 і т / ( г ) ,

(3)

•г-Zu

если

для

каждого

е > 0

найдется

такое

ô > 0 (ô = ô ( e ) ) ,

что

w = f

(z)

отобразит

все

точки

ô-окрестностн

точки

z0

(кроме,

может

быть, самой точки z0)

па точки

е-окрестности

ш0 .

Это определение можно сформулировать

и иначе, при помощи

неравенств.

Так,

например, если

г 0

и х'0 —конечные

числа,

определение

(3)

можно дать в такой

форме:

число œ'0

называется

пределом

функции /(z) , при стремлении z к г0 , если для любого

е > 0

най­

дется

такое

ô > 0

(Ъ — 3(E)),

что

неравенство

\f(z)~гг»0

| <

е вы­

полнится,

как только выполнится

неравенство

z — z0

< ô . Д л я

случая,

когда

z0

— конечное,

w0

— cn,

определение

предела

можно

дать

такое: оэ называется

пределом f

(z)

при стремлении

z к zo, если для любого

е > 0

можно

найти

такое

ô > 0

(ô =

ô ( e ) ) .

что

неравенство]]/"(z) | > s

выполнится,

как

только

будет

выпол­

нено

неравенство

| z — z 0 | < o .

lim / ( Z ) =

™ u t ^ C O

и

l i m / ( z )

= co.

Предоставляем это

читателям.

Теорема 1.

Если

lim / ( z )

=

іаиф со,

то ф у н к ц и я / ( z )

рестность

точки z0 . Здесь

ô = ô ( M ) .

Доказательство

Если z0

конечное число, то на основании

определения 1 функ­

ция w=(f)z

отобразит б-окрестность точки

Zo на е-окрестностъ

тачки ai0 .

'

Поэтому,

если \z—z0|<ô,

то \f(z)—wa j <s . Последнее .нера­

раз /(г) окажется

внутри

круга с центром в точке wQ радиуса е.

Очевидно,

существует

такой

круг | w\<CM,

который

содержит

внутри себя \w— ш 0 [ < £ .

В этот круг

попадут и все точки w = f(z),

попавшие в круг ]f(z)—tc'o|<e,

т. е. для них будет выполнено

неравенство

\f(z)[<M.

Д л я 20 = ооокрестность

] z — z 0 ] < ô

заменяется при доказатель ­

стве лишь

окрестностью со, т. е. | z | > ô .

Если w0 = иа-\-i

t'o, a zp-=x0

+ i _у„,

то аналогично

т е о р е м е

1 § 3 м о ж н о

д о к а з а т ь

с л е д у ю щ у ю

теорему:

Теорема 2. Комплексное соотношение

lim

f(z) = wQ

Z - Z u

эквивалентно

двум действительным

соотношениям:

lim и (х,

у) = и0,

lim ѵ (х, у) = ѵ0.

х - х а

.ѵ-.ѵ„

У - Уо

>'-Уо

Можно т а к ж е

доказать, что все правила

действий

с преде­

лами функций

действительных

-переменных

распространяются

без изменений

и на пределы

функций

комплексного

перемен­

ного.

Пусть

функция /(z) определена

в окрестности точки z0

и в са­

мой этой

точке.

Определение 2.

Функция f{z)

называется

н е п р е р ы в и о й

в т о ч к е

Zo,

если

I i m / ( z )

= / ( * „ ) .

(4)

Z - Z 0

Воспользуемся

определением

1,

сформулированным с по­

мощью неравенств для конечных z0 и w0

и, обозначив z—ZQ = A Z —

приращение

аргумента,

f(z)— f(zQ)

=

— приращение

функ­

ции, условие

(4) запишем

в виде

lim Aw = О,

часто употребляемом. Сохраняя

старую терминологию,

назовем

б е с к о н е ч н о

м а л о й

функцию, имеющую

своим пределом 0.

Определение 3. Функция

называется и е п р е р ы в н о й в

о б-

л а с т и

D,

если

она

непрерывна

в

каждой

точке

этой

об­

ласти. Ma основании изложенного можно

доказать

следую­

щую

теорему.

Теорема 3. Утверждение,

что функция zv=f(z)

непрерывна в

точке 20

эквивалентно утверждению, что функции

и (к, у)

= Re/(z)-

и ѵ (х,

у) =

Im f(z)

непрерывны

в точке (х0,

у0).

Теорема приводится без доказательства .

Примеры.

1.

Рассмотренная

ранее

функция zv — az-rb

являет­

ся непрерывной на всей конечной плоскости. Действительно,

если

•wa~az0-i-b,

то

w-wn^az-\-b

— (aztl-\

b)

a

(z

z„),

поэтому

Arc' = (?Az

в точке

z„. И если

A z - H ) ,

то и

Д - І С - К ) .

2.

Функция w =-4~

непрерывна

на

всей

конечной

плоскости,

кроме

точки

z = 0 , в которой

она не определена.

Действительно,

если

г0=<--0. то

/ ( г 0 ) =

-^,

w—w0

- - - —

^

и Дш =

— ^ -

Az, так

как

гФО,

z„=M),

то при Дг - Ч ) имеем

Z-ZQ

Пусть

в окрестности точки

гфео

определена

однозначная

функция

w—f(z).

Возьмем

в

этой

окрестности другую точку

z + A z M вычислим в н е й / ( z - i

l^.z). Составим приращение функции

bw=*f(z+bz)—f(z).

Определение 1. Если существует

Д-сіі1

конечный предел lim . — , то

Д2-ОД£

он называется

п р о и з в о д и о й функции -w — / ( z )

в точке z, а

сама функция

называется дифференцируемой в точке z.