Файл: Веселовский, И. Н. Николай Коперник, 1473 - 1543.pdf

ском прямолинейном] треугольнике с данными угла­ ми даются (т. е. могут быть найдены,— А в т . ) и сто­ роны». Оказывается, при этом предполагается, что, поскольку, «согласно пятой проблеме четвертой кни­ ги Евклида», около всякого треугольника может быть описана окружность, радиус ее может быть определен, после чего по таблицам синусов могут быть выражены в частях радиуса и стороны. Заме­ тим, что самый легкий случай решения треугольни­ ков (по двум заданным углам и стороне) Копер­ ником вообще не рассматривается.

Наибольший интерес представляет следующая гла­ ва, посвященная сферической тригонометрии. Имен­ но содержание этой главы позволяет прийти к выво­ ду, что, хотя основные профессиональные интересы Коперника и лежали в стороне от традиционных — в нашем понимании — областей математики, он и здесь проявил глубокую эрудицию, самостоятель­ ность, оригинальность и зрелость мышления и сде­ лал заметный вклад в основной фонд математики.

Прежде всего отметим, что данный им вывод тео­ рем сферической тригонометрии оригинален и осно­ ван на принаддежащей ему чрезвычайно удачной идее рассмотрения трехгранной пирамиды со сфери­ ческим основанием и вершиной в центре сферы.

Важное значение здесь имеет так называемая теорема синусов для сферических треугольников, которая в формулировке Коперника выглядит так: «В сферических треугольниках, имеющих прямой угол, хорда, стягивающая удвоенную дугу, лежащую против прямого угла, к хорде, стягивающей удвоен­ ную сторону, одну из прилежащих к прямому углу, относится как диаметр сферы к хорде, стягивающей на Великом круге сферы угол, вдвое больший угла, заключенного между последней и первой сторонами сферического треугольника» 8.

Эта формулировка близка к птолемеевой, но дока­ зательство значительно изящнее и (в несколько мо­ дернизированном изложении) состоит в следующем.

Пусть треугольник а Ъ с при вершине с прямоуго­

366

зательств древних, но и от приводимых в более позднем источнике доказательств Джабира ибн Афлаха, а также Региомонтана, оно значительно проще и тоньше их.

Теорема синусов тут же используется Коперни­ ком для доказательства ряда других теорем сфери­ ческой тригонометрии, список которых заканчивает­ ся важнейшими теоремами о решении сферического треугольника по всем сторонам (теорема XIII: «Наконец, если в сферическом треугольнике даны все стороны, то будут данными и углы» 9) и по уг­ лам стороны (теорема XV: «Если в треугольнике да­ ны все углы, хотя бы никакой из них не был пря­ мым, то даны и все стороны») 10.

Возникает вопрос, когда Коперник занялся вопро­ сами сферической тригонометрии — до прибытия Ре­

367

тика, который привез ему в подарок известное сочи­ нение Региомонтана о треугольниках, или уже после того, как он смог ознакомиться с этим сочинением?

В пользу второго предположения говорит уже упо­ минавшееся место из предисловия Валентина Ото к сочинению Ретика «Opus Palatinum» о том, что Ко­

настоянию Ретика, а необходимость в сферической тригонометрии появилась именно при этом изло­ жении.

С другой стороны, сам Ретик в предисловии к книжке Коперника «О сторонах и углах треуголь­ ников» говорит: «Недавно были изданы сочинения Региомонтана, но славнейший и ученейший муж гос­ подин Николай Коперник еще задолго до того, как мог увидеть эту книгу, во время своей работы над объяснением Птолемея и подготовкой учения о не­ бесных движениях написал в высшей степени уче­ нейшее сочинение о треугольниках» и .

Исследование сохранившегося манускрипта книги «Вращения» позволяет сделать вывод, что первона­

другого сорта и более позднего происхождения. По крайней мере, эти теоремы — результат более позд­ ней работы Коперника, проведенной, весьма возмож­ но, после ознакомления с произведением Региомон­ тана, но и их доказательства отличаются от Региомонтановых простотой и изяществом, и, несомненно, оригинальны. Поэтому не прав был Шонер, подозре­ вавший Коперника после выхода его книги о тре­ угольниках едва ли не в плагиате.

Выдающиеся математические дарования Коперни­ ка проявляются и во многих других местах его кни­ ги «О вращениях». В IV главе третьей книги, назы­ вающейся «О том, каким образом колебательное или либрационное движение составляется из круговых», Коперник рассматривает имеющую математический интерес задачу представления прямолинейного ко­ лебательного движения из сложения двух враща-

“ Николай Коперник. О вращениях..., стр. 563.

368

тельных. Не менее интересна и задача предыдущей главы, которую в настоящее время можно было бы назвать проблемой сложения двух взаимно перпен­ дикулярных гармонических колебаний, у одного из которых период вдвое больший, чем у другого. Ко­ перник рассматривает эту задачу в связи с изуче­ нием прецессии и получает восьмеркообразную кри­ вую, представляющую собой, по современной терми­ нологии, алгебраическую кривую четвертого поряд­ ка, одну из так называемых фигур Лиссажу.

В VII главе шестой книги при определении угла наклона орбит Венеры и Меркурия рассуждения Ко­ перника о применении средней арифметической для анализа результатов серии измерений в некоторой мере близки возникшей значительно позже теории погрешностей.

Однако роль Коперника в развитии математики не ограничивается его личным вкладом. Коперниканское учение оказало мощное стимулирующее воздей­ ствие на развитие математики в трудах его после­ дователей.

Уже Кеплер, отказавшись от аксиомы равномер­ ного движения, планет, в ходе своих исследований предположил, исходя из физических соображений, что планеты, обращаясь вокруг Солнца, находяще­ гося в эксцентре, движутся быстрее вблизи него и медленнее — в удалении. Предстояло выразить мате­ матически зависимость между расстояниями плане­ ты от Солнца и временем, в течение которого про­ ходится тот или иной участок пути. К тому време­ ни алгебра, геометрия и тригонометрия, составляв­ шие математику постоянных величин, накопили определенное количество сведений, чтобы представ­ лять собой определенную систему знаний, хотя мно­ гое еще было неясно, многое не завершено.

Однако при решении данной задачи Кеплеру при­ шлось встретиться со случаем, который, вообще го­ воря, методами математики постоянных величин ре­ шен быть не мог. Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга. Если эту задачу перевести на современный математический язык, придем к эллиптическому интегралу. Дать ре­ шение задачи в квадратурах Кеплер, естественно,

369

не мог, но он не отступает перед возникшими труд­ ностями и решает задачу путем суммирования бес­ конечно большого числа «актуализированных» бес­ конечно малых. Этот инфинитезимально-атомистиче­ ский подход к решению важной и сложной практи­ ческой задачи представлял собой в новое время первый шаг в предыстории математического анали­ за (самый первый был сделан еще в античные вре­ мена Архимедом). То, что в нашем понимании пред­ ставляет определенный интеграл, Кеплер трактует как площадь, ограниченную криволинейной трапе­ цией (кривой в данном случае является конхоида). И это было принципиально новым шагом в матема­ тике переменных величин. Примененные им здесь методы вычисления площади по существу совпадают с современными методами приближенного интегри­ рования.

Решение данной задачи для случая эксцентриче­ ской окружности привело Кеплера уже в самом начале XVII в., в 1602 г., к открытию второго зако­ на движения планет, так называемого закона площа­ дей. Разработка и применение для выводов этого важного закона новой астрономии принципиально новых математических методов ознаменовали собой начало нового в развитии математики периода пере­ менных величин. Это один из наиболее ярких при­ меров того, как потребности развивающегося естест­ вознания, требования практики вызывают к жизни появление новых математических методов изучения природы — развитие новой астрономии влекло за со­ бой развитие математики, а применение новых мате­ матических методов ускоряло развитие астрономии.

В скором времени Кеплер открывает второй закон движения планет —закон эллипсов. И для этого слу­ чая решенная Кеплером задача сохраняет свой смысл.

Оба закона Кеплера стали достоянием науки с 1609 г., когда была опубликована его знаменитая «Новая астрономия» — изложение основ новой не­ бесной механики. В книге содержится и несколько других случаев применения интеграционных мето­ дов, представляющих большой интерес. Однако вы­ ход этого замечательного произведения не сразу привлек к себе должное внимание: даже великий

370

Галилей, по-видимому, до конца дней своих так и ие воспринял законов Кеплера. И продолжение раз­ работки предложенных им методов новой матема­ тики могло бы задержаться, если бы он сам не предпринял важных мер для их развития и популя­ ризации: в 1615 г. он выпустил сравнительно не­ большую по объему, но весьма емкую по содержа­ нию книгу — «Новая стереометрия винных бочек», в которой продолжил разработку своих интегра­ ционных методов и применил их для нахождения объемов более чем 90 тел вращения, подчас до­ вольно сложных. Там же им были рассмотрены и экстремальные задачи, что подводило уже к дру­ гому разделу математики бесконечно малых — дифференциальному исчислению.

Эта работа Кеплера не осталась незамеченной — уже через год после ее выхода А. Андерсон, а поз­ же П. Гульдин выступили против предложенных Кеплером методов суммирования бесконечно малых величин, не поняв, что при всей их нестрогости, очевидной и для самого Кеплера, они были чрез­ вычайно продуктивны и заключали в себе важные для дальнейшего развития математики идеи. С дру­ гой стороны, уже тогда ученик Галилея Б. Кавальери дал работам Кеплера высокую оценку и сам многое сделал для развития заложенных в них идей. Вскоре приемы и результаты Кеплера, а за­ тем и Кавальери привлекли к себе внимание мно­ гих крупных математиков XVIII в., вызвав целый поток исследований в новой области математики, завершившихся в последней четверти столетия оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбни­ ца дифференциального и интегрального исчислений.

Потребности коперниканской астрономии стимули­ ровали и развитие вычислительных средств матема­ тики, область, где многое было сделано самим Ко­ перником и его учеником Ретиком. И в данном слу­ чае этот процесс удобнее всего проиллюстрировать на примере деятельности Кеплера. Именно необхо­ димость совершенствования средств астрономических вычислений, составление таблиц движений планет на основе системы Коперника привлекли Кеплера к вопросам теории и практики логарифмов. Известно,

371

что, воодушевленный работами Непера, Кеплер само­ стоятельно построил теорию логарифмов на чисто арифметической базе и с ее помощью составил близ­ кие к неперовым, но более точные логарифмические таблицы, впервые изданные в 1624 г. и переиздавав­ шиеся до 1700 г. Кеплер же первым применил лога­ рифмические вычисления в астрономии, и опублико­ ванные в 1627 г. «Рудольфинские таблицы» планет­ ных движений он смог завершить только благодаря новому средству вычислений.

Потребности коперниканской астрономии в опре­ деленной степени стимулировали и развитие средств механизированных вычислений: друг Кеплера Виль­ гельм Шикард уже около 1623 г. построил первую в мире вычислительную машину, предназначенную для выполнения четырех арифметических действий. Две другие известные нам конструкции вычислитель­ ных машин XVII в. принадлежат крупнейшим представителям новой математики Паскалю (1642) и Лейбницу (1674). Впрочем, уровень развития тех­ ники в то время еще не позволял наладить серий­ ного производства достаточно надежных вычислитель­ ных устройств.

Проявленный Кеплером интерес к кривым второго порядка и к проблемам астрономической оптики — а все это в конечном счете также вызывалось по­ требностями в развитии коперниканской астроно­ мии — привел его к разработке общего принципа не­ прерывности — своеобразного эвристического прие­ ма, который позволяет находить свойства одного объекта по свойствам другого, если первый полу­ чается предельным переходом из второго. В книге «Дополнения к Вителлию, или оптическая часть астрономии» (1604) Кеплер, изучая конические се­ чения, интерпретирует параболу как гиперболу или эллипс с бесконечно удаленным фокусом — это пер­ вый в истории математики случай применения обще­ го принципа непрерывности. Введением понятия бес­ конечно удаленной точки Кеплер предпринял важ­ ный шаг на пути к созданию еще одного раздела математики — проективной геометрии, дальнейшие шаги в развитии которой были сделаны три с лиш­ ним десятилетия спустя Ж. Дезаргом и Б. Паскалем.

372