Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

пендикулярную к плоскости abc, а'Ъ'с'. П р о ­ екции прямой, как известно, составляют прямые углы с соответствующими следами плоскости. Определим следы mm' и пгі прямой линии ef, e'f. Через точку mm' про­ ходят горизонтальные, а через точку пгі — фронтальные следы плоскостей, перпенди­ кулярных к заданной плоскости. Следы их, как видим, не перпендикулярны к соответ­ ствующим следам заданной плоскости. Пло -

кости QH, Qv; Мн, Мѵ и NH, Nv перпенди­ кулярны к плоскости abc, а'Ь'с'.

Если одноименные следы двух плоско­ стей взаимно перпендикулярны, то плоско­ сти не перпендикулярны между собой (рис. 83). Это легко доказать на примере (рис. 82). Если горизонтальный след NN плоскости NH , Ny , проходя через след пря­ мой — точку mm', перпендикулярен к гори­ зонтальному следу ас, а'с' заданной плоско­ сти, то фронтальный след Nv искомой плоскости (он должен пройти через фрон­ тальный след ил' прямой) не может быть

перпендикулярен к фронтальному следу а'Ь' заданной плоскости.

Если одноименные следы двух плоско­ стей взаимно перпендикулярны, то в плос­ кости нет прямой, перпендикулярной к дру­ гой плоскости, т. е. условие перпендику­ лярности двух плоскостей не соблюдается.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если каждая из них является направлением одной из плоскостей другой прямой.

Через точку можно провести бесконечное множество прямых, перпендикулярных к данной прямой, но только одна из них будет пересекать другую под прямым углом. Все эти прямые принадлежат одной плоскости. Поэтому для построения чертежа прямой линии, перпендикулярной к другой прямой, необходимо прежде всего построить плос­ кость, перпендикулярную к этой прямой.

На схеме (рис. 84) через точку А прове­ дена плоскость Q перпендикулярно к задан­ ной прямой CD и определена точка К пере­ сечения прямой CD с этой плоскостью. Прямая АКпересекает заданную прямую CD под прямым углом.

Пример. Через данную точку хх' пря­ мой ab, а'Ь' перпендикулярно к ней провести прямую, пересекающую данную прямую cd, c'd' (рис. 85).

Р е ш е н и е . Через точку хх' прямой ab, а'Ь' проведем плоскость х12, х'Г2', перпен­ дикулярную к ней. Эта плоскость в точке у у' пересекает прямую линию cd, c'd'. Через прямую cd, с'd'проводим секущую вспомо­ гательную проецирующую плоскость NH.

А-

Р и с . 84

п л о с к о с т и о б щ е г о п о л о ж е н и я и п р о е ц и р у ю щ и х п л о с к о с т е й .

5. К а к о п р е д е л я ю т в т р е у г о л ь н и к е ц е н т р е г о т я ж е с т и , ц е н т р ы о п и с а н н о й и в п и с а н н о й о к р у ж ­ н о с т и ?

6. П о к а ж и т е на п р и м е р а х к а к о п р е д е л я ю т , т о ч к и п е р е с е ч е н и я п р о е ц и р у ю щ и х п л о с к о с т е й п р я ­ м ы м и л и н и я м и , л и н и и п е р е с е ч е н и я п р о е ц и р у ю ­ щ и х п л о с к о с т е й п л о с к о с т я м и о б щ е г о п о л о ж е н и я и п р о е ц и р у ю щ и м и п л о с к о с т я м и .

7. И з о б р а з и т е с х е м у и у к а ж и т е п о с л е д о в а ­

г е о м е т р и ч е с к и х о б р а з о в о т н о с и т е л ь н о п л о с к о с т е й п р о е к ц и й ?

о т т о ч к и д о п р я м о й ч а с т н о г о и о б щ е г о п о л о ­ ж е н и я ?

При построении ортогональных черте­ жей предметов необходимо предусмотреть систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Очевидно, что можно построить два изображения оригинала и на одну плоскость, выбрав два различных на­ правления проецирования. Так, например, треугольник ABC (рис. 87) можно предста­ вить на плоскости Q двумя параллельными проекциями (изображениями) а^Ь^ и а2Ь2с2, выбрав при этом соответственно два раз ­ личных направления проецирования. Отме­ тим, что:

линии ö ] ^ ; Ь]Ь2 ; •••> связывающие разно­ именные проекции точек оригинала (линии связи), параллельны между собой как следы

заданного плоского геометрического обра­ за ABC пересекаются между собой на одной общей прямой линии Ог 02 — линии пересе­ чения плоскости этого геометрического об­ раза с плоскостью Q проекций. В этих же точках прямые линии AB, ВС, ... пересека­ ются с плоскостью проекций Q;

ния, называют родственным, или перспек­

тивно-аффинным*.

Описанные свойства чертежа плоского геометрического образа в двойных парал­ лельных проекциях на одну плоскость д а ю т возможность по одной известной проекции оригинала и при некоторых других условиях определять вторую его проекцию.

Аналогично путем последовательных по­ строений определим проекцию а2ЬгС2 тре­ угольника ABC. При фиксированных на­

Э й л е р , н о в а н а л и т и ч е с к о й ф о р м е . В н а ч е р т а т е л ь ­ ной г е о м е т р и и о н о р а с с м а т р и в а л о с ь м н о г и м и г е о ­ м е т р а м и , в т о м ч и с л е и р у с с к и м и у ч е н ы м и — Н . М . Д у ш и н ы м , Н . А . Г л а г о л е в ы м , Н . Ф. Ч е т в е р у - х и н ы м и д р .

0t

Р и с . 89 (рис. 89), проходящей через диаметр. Линией

сечения сферы плоскостью My является круг. Наметим на этом круге точку аа' и соединим ее прямыми линиями с произвольно выбран­

Горизонтальные проекции чертежа в орто­ гональных проекциях можно принять за про­ екции обобщенного чертежа, в котором пря­ мая линия 0102 является основной линией обобщения, прямая аха2 — направлением обобщения, а точки at и а2— первой и второй проекциями точки аа'. Проекции прямого угла плоскости My представляются также прямыми углами только при определенных направлениях проецирования. Если в той же

чертежа будут проекциями или острого или

Таким образом, можно сделать вывод, что в каждом обобщенном чертеже суще­ ствуют два прямых угла, являющихся раз­ ноименными проекциями прямых углов, рас­ положенных в плоскостях первого пучка.

На рис. 89 показано также, что прямые углы сахе и саге можно получить как углы, опирающиеся на диаметр окружности, центр которой определяется на пересечении основ­ ной линии ОіОг с перпендикуляром из сере­ дины отрезка агаг. Такие углы называют

прямыми углами обобщения.