Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

в свою очередь, пересекаются в точке уу'. Прямая ху, х'У является линией пересечения заданных плоскостей.

На рис. 71 дано построение линии пере­ сечения двух треугольников и указана види­ мость этих треугольников относительно плоскостей проекций.

Линия пересечения ху, х'у' двух данных треугольников построена по точкам -пересе­ чения двух сторон одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Постро­ ение точки хх' пересечения стороны ed, e'd' треугольника edk, e'd'k' с плоскостью тре­ угольника abc, a'b'c' производим по общей схеме.

Через прямую ed, e'd' проводим проеци­ рующую плоскость Мѵ. Определяем ли­ нию 12, 1'2' пересечения э*ой плоскости с плоскостью треугольника abc, a'b'c'. Точ­ ка хх' пересечения найденной линии 12, Г2'

со стороной ed, e'd' треугольника является точкой пересечения стороны одного тре­ угольника с плоскостью другого треуголь­ ника, т. е. она принадлежит линии пересе­ чения заданных треугольников.

Аналогично определяем вторую общую для двух треугольников точку — уу'. Пря­ мая линия ху, х'у' является линией пересе­ чения двух треугольников abc, a'b'c' и edk, e'd'k'. Видимость треугольников относитель­ но плоскостей проекций H и V определена с помощью конкурирующих точек.

Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций опре­ делим следующим образом. Проведем гори­ зонтально-проецирующую прямую 67, 6'7', пересекающую стороны ed, e'd' и ab, a'b' треугольников в точках 66' и 77'. По фрон­ тальным проекциям 6' и 7' устанавливаем, что точка 77' прямой ab, a'b' ближе к нам — она дальше отстоит от плоскости про­ екций Н, чем точка 66' прямой линии

ей, e'd'.

56

Р и с . 71

Следовательно, прямая ed, e'd' на уча­ стке dx, <fx' (от точки dd' до пересечения ее с плоскостью треугольника abc, а'Ъ'с') яв­

ляется видимой. Этого достаточно, чтобы определить видимую и невидимую части треугольника edk, e'd'к' относительно гори­ зонтальной плоскости проекций Н. Соответ­ ственно определяем видимость относитель­ но той же плоскости проекций H и другого треугольника.

Аналогичными построениями определя­ ем видимость треугольников относительно фронтальной плоскости проекций. Прово ­

костью треугольника edk, e'd'k') является видимой. Этого достаточно, чтобы опре­ делить видимую и невидимую части тре­ угольника abc, а'Ь'с' относительно фронталь­

плоскости проекций V и другого треуголь­ ника.

1. Прямые линии, параллельные плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой этой плоскости.

На рис. 73 показан чертеж взаимно па­ раллельных прямой линии и плоскости.

параллельна плоскости, так как она парал­ лельна прямой 12, Г2' этой плоскости.

2. Взаимно параллельные плоскости

Если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости соответственно параллель­ ны двум прямым другой плоскости, то эти

вести бесчисленное множество прямых, па­ раллельных данной плоскости. Пучок этих прямых представляет плоскость, параллель­ ную данной. Для задания плоскости из этого множества прямых достаточно выде­ лить две любые прямые. Д л я этого проведем из точки F вне плоскости Q (рис. 72) пря­

Прямые определяют плоскость, парал­ лельную плоскости Q.

На рис. 74 представлен чертеж плоскости, заданной двумя параллельными прямыми ab, а'Ь' и cd, c'a". Проведем через точку ее' плоскость, параллельную заданной.

Прямые ет, е'т' и en, e'ri, параллельные прямым cd, c'a" и 12, 1'2' данной плоскости, определяют плоскость, параллельную за­ данной.

Если плоскости заданы следами или глав­ ными линиями (горизонталью и фрон­

тальна), то для условия параллельности плоскостей достаточно, чтобы их следы, или главные линии, были между собой па­ раллельны.

Проведем через точку кк! плоскость, па­ раллельную данной плоскости abc, а'Ъ'с'. Плоскость abc, а'Ъ'с' задана следами (рис. 75). Проведем через точку кк' одну из главных линий искомой плоскости, напри­ мер, горизонталь. Через след горизонтали, точку / / ' проходит фронтальный след ne. ne'

а=а

60 Р е ш е н и е . Через точку аа' проведем главные линии (горизонталь и фронталь) искомой плоскости, перпендикулярные к прямой ек, е'к'. Здесь фронтальная проек­ ция а'с' горизонтали параллельна направле­ нию оси проекций; горизонтальная ее про­ екция составляет прямой угол с горизон­ тальной проекцией ек направления ек, е'к' плоскости.

Горизонтальная проекция ab фронтали параллельна направлению оси проекций; фронтальная ее проекция составляет прямой угол с фронтальной проекцией е'к' направ­ ления ек, е'к' плоскости.

Направлением плоскости, заданной глав­ ными линиями — горизонталью ас, а'с' и фронталью ab, a'b', является прямая ек, е'к'. Эта плоскость может быть заданной, на­ пример двумя параллельными прямыми ли­ ниями (12, 1'2' и 34, 3'4').

2. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикуляр­ ны, если одна из плоскостей имеет прямую линию, перпендикулярную к другой плос­ кости.

Р и с . 81

Ри с . 82

Дл я построения плоскости, перпендику­ лярной к другой плоскости, достаточно оп­ ределить прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Через эту прямую можно про­ вести множество плоскостей, перпендику­ лярных к данной плоскости.

На модели (рис. 76) прямая EF перпенди­ кулярна к плоскости Q. Л ю б а я плос­ кость Т, R... прямой КЕ перпендикулярна к плоскости Q.

На рис. 81 представлен чертеж двух вза­ имно перпендикулярных плоскостей. Плос ­ кость dek, d'e'k' перпендикулярна к плоско­ сти abc, а'Ъ'с', так как прямая dk, d'k' этой плоскости перпендикулярна к плоскости abc, a'b'c'.

Установлено, что через прямую, перпен­ дикулярную к плоскости, можно провести бесконечно большое число плоскостей, пер­ пендикулярных к заданной плоскости. Одно­ именные следы этих плоскостей, однако, не взаимно перпендикулярны.

Пусть плоскость abc, a'b'c' задана сле­ дами (рис. 82). Построим плоскости, перпен­ дикулярные к плоскости abc, a'b'c' и зададим их следами. Проведем прямую ef, e'f, пер-