Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а X I V . К и н е м а т и ч е с к и е плоские и пространственные кривые линии и их основные свойства

326

и производящей точкой Е. Эволютами цент­

На продолжении нормалей неподвижной

 

роид являются кривые линии соответствен­

центроиды

от

точек

кривой

линии

AB

от­

 

но ab

и

cd.

 

 

 

ложим

отрезки, равные

соответствующим

 

Из точки Е проводим прямые линии,

отрезкам нормалей, ограниченных

кривыми

 

перпендикулярные к ряду нормалей под­

CD и ef. В концах этих отрезков

восставим

 

вижной центроиды CD.

Геометрическим ме­

перпендикуляры к ним и отложим отрезки,

 

стом точек их пересечения является кривая

равные расстояниям от точки Е до соот­

 

линия ef. Ее называют подерой*

эволюты cd

ветствующих

нормалей

подвижной

цент­

 

центроиды CD относительно точки Е.

 

роиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривая cd по отношению к своей подере ef

Геометрическим

местом

концов

перпен­

 

называется антиподерой

относительно

точ­

дикуляров

является

кривая

линия — рулет-

 

ки Е.

 

 

 

 

 

та ЕЕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8 3 Р А Д И У С Ы

К Р И В И З Н Ы Р У Л Е Т Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть рулетта образуется движением не-

жения

по

неподвижной

 

центроиде

AB

 

которой точки Е, жестко связанной с под-

(рис. 453). Эволютами центроид являются

 

вижной центроидой CD,

катящейся без сколь-

соответственно кривые cd и ab.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точке Е рулетты соответствует точка О

 

*

О т

ф р а н ц . podaire,

о т т р е ч .

TtoSâç

н о г а .

соприкасания

цеНТрОИД.

 

 

 

 

 

/

/У

Р и с . 453

§ 83. Р а д и у с ы к р и в и з н ы р у л е т т

Покажем построение радиуса кривизны рулетты в точке Е. Как известно, центр кри­ визны кривой линии в заданной точке опре­ деляется на пересечении нормалей, построен­ ных в данной точке кривой и в точке, беско­ нечно близкой к ней. Принимаем, что точ­ ка F бесконечно близка к рассматриваемой точке Е, и точке F соответствует точка 1 соприкасания центроид, бесконечно близкая

к точке О.

 

 

 

 

Обозначим а угол между нормалями пЕ

и пр рулетты в точках Ей

F; ß— угол между

нормалями ио и m неподвижной

центроиды

в точке О и 7 и у—угол

между

нормалями

по и иі подвижной центроиды

в точках О

и / соприкасания центроид.

 

 

При соприкасании центроид в точке 1

отрезок El

занимает положение Fl.

Поэтому

отрезки El

и Fl равны. Прямая El

состав­

ляет угол Ь с нормалью щ

рулетты в точке Е

и угол е с нормалью m подвижной центро­ иды в точке Î. Угол между нормалями ПЕ

я по обозначим ф.

При принятых обозначениях углов имеем:

а + £ = ß + ф ; 3 + ф = у + е.

Сложим два равенства и произведем со­ кращение:

а +- <5 = ß + у.

Обозначим As равные между еобой бес­ конечно малые дуги центроид, ограничен­ ные точками О и / их соприкасания. Разде­ лим полученные выражения на величину As и перейдем к пределу:

lim

~.

+ lim 4.-

=- lim. . . "

. +

,. V

1

1

l i m

=

h — .

_ 0

U S A s _ o A S

д 5 - , и

&s A s - о As

r H

r n

д ,Здесь

r» и гп

радиусы

кривизны—

не­

—

подвижной и подвижной центроид в точке О их соприкасания.

Бесконечно малые дуги Ol центроид можно заменить их хордами. Рассмотрим треугольник Е01. Заменяем величины углов

значениями

их

синусов:

 

S

 

sin 5

sin

^ЕОІ

lim -— = lim——

 

Tl

A s - o As

Д а - о

As

 

327

 

3

=

cos ф

.

 

 

 

hm -г-

„.

 

 

 

 

Да^О

As

 

£ 0

 

 

 

 

 

Рассматриваем треугольник KOI

ана­

логично предыдущему:

 

 

 

a

 

 

sin а

sin JL.K01

 

hm — = lim

A S

Kl

'

 

Aj->O A S

 

A s - O

 

 

 

или

а

 

cos ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim — =

„ „

 

 

 

 

 

A s - о

As

 

00E

 

 

 

 

 

OE —

предельное положение точки К,

кото­

рая и определяет центр кривизны ру­

летты EF

в ее точке Е.

 

Указанная выше

зависимость получит

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

c o s ф

COS ф

 

1

1

 

 

ЕО

 

+1ЮЕ~

 

 

 

 

 

cos ф

1

 

1

_ 1

1

О)

ЕО

00Е.

 

Гп

 

 

 

 

Величина искомого радиуса кривизны гЕ рулетты EF в точке Е равна:

ГЕ=ЕО + ООЕ.

Определим радиус кривизны рулетты (на чертеже рулетта не построена) в точке Еі, которая совпадает с центром кривизны под­ вижной центроиды в начальный момент соприкасания центроид.

Вэтом случае

Ф= 0 ,

cos ф =

1 ;

 

 

 

ОЕ = ОЕі = гп .

 

 

 

Подставляя эти значения в формулу (1),

получаем

 

 

 

 

, 1

1

\

1

1

Гп

ООЕ

J

г„

г„

1

1

 

 

 

ÖÖE'

Гп

 

 

 

Г л а в а X I V . Кинематические плоские и пространственные кривые линии и их основные свойства

Из этого следует, что центр кривизны руваемые ими рулетты имеют бесконечно боль­

летты в точке Еі

совпадает с центром кри­

шие радиусы кривизны. Для таких точек

визны неподвижной

центроиды.

 

 

 

0 05 = 00

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь

построение

центра

 

 

 

 

 

кривизны рулетты

в

заданной

точке Е

Основная формула (1) примет вид:

 

(рис. 454). Точке Е рулетты соответствует

 

точка О соприкасания центроид. Центрами

 

 

 

 

 

 

 

 

кривизны подвижной и неподвижной цент­

 

 

 

 

 

 

 

 

роид в точке их соприкасания являются

О п

 

 

 

 

 

 

 

 

и Он. Прямая линия ЕО является нормалью

 

 

 

 

 

 

 

 

рулетты в точке Е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке О восставим перпендикуляр к

LU

=

COS ф .

 

 

 

нормали ПЕ , определим точку К пересечения

 

 

ги + гп

 

 

 

 

 

нормали с прямой Е О п . Прямая линия

КО«,

Из этого выражения следует, что геомет­

проходящая через

центр кривизны

Он

не­

рическим

местом

таких

точек

является

ок­

подвижной центроиды и точку К,

пересека­

ружность

диаметром

 

 

 

ется нормалью ПЕ В точке ОЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, =

ги

• Гп .

 

 

 

 

 

Приведенный

способ

построения

цент­

 

 

 

 

 

ров кривизны рулетты впервые был открыт

 

Ги

+ Гп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эйлером.

 

 

 

 

 

 

Эту окружность

называют

кругом

пово­

Нетрудно заметить, что для каждого по­

рота,

или кругом

Лагира.

В точках этой ок­

ложения соприкасающихся центроид имеет­

ружности их рулетты имеют вершины пере­

ся совокупность точек, неизменно

связанных

гиба

с

бесконечно

большими радиусами

с подвижной центроидой, в которых описы­

кривизны.

 

 

 

 

 

§ 84. Ц и к л и ч е с к и е ( ц и к л о и д а л ь н ы е ) р у л е т т ы

Ц И К Л И Ч Е С К И Е ( Ц И К Л О И Д А Л Ь Н Ы Е ) Р У Л Е Т Т Ы

§84

 

Рулетту называют циклической или цик­ лоидальной, если центроидами ее являются дуги окружностей. Циклоидальные кривые применяют при многих технических расчетах. Профили зубьев шестерен, очертания мно­ гих типов эксцентриков, кулачков и иных деталей машин имеют форму циклоидаль­ ных кривых линий.

Циклоидальный профиль зуба применя­ ется в зацеплениях точных механизмов, осо­ бенно в часовых.

Рассмотрим кривую линию как траекто­ рию точки окружности, катящейся без сколь­ жения по прямой линии. Такая кривая на­ зывается циклоидой*.

П р я м у ю линию (неподвижную центро­

иду)

рассматриваем

как

дугу окружности

с бесконечно большим радиусом.

На рис. 455 построена циклоида как тра­

ектория точки Е,

принадлежащей окружности

* О т г р е ч . X й '

 

с,

к р у г о о б р а з н ы й , о т

 

—

 

 

и д .

 

XOA.OÎ

к р у г и

st

в —

 

 

 

радиусом г, катящейся без скольжения по прямой линии.

Для построения циклоиды на горизон­ тальной прямой линии (неподвижной цент­ роиде) от точки Ео соприкасания центроид отложим отрезок, равный 2пг — длине ок­ ружности с радиусом г подвижной центро­ иды. Этот отрезок и окружность делим на одинаковое число равных частей.

Отметим ряд положений подвижной цент­ роиды (окружности), когда она соприкаса­

ется в точках 0, 1, 2,

8 с

неподвижной

центроидой (прямой линией).

 

В момент соприкасания центроид в точ­ ке 1 производящая точка Е занимает поло­

жение Еі,

а центр О окружности перемеща­

ется

в Or,

радиус

ОЕо

поворачивается на

угол,

равный ф і = 3 6

0 °

: 8 = 4 5 ° , и занимает

положение

0\Е\.

В

момент соприкасания

центроид в точке 2 производящая точка Е за­

нимает положение Ег,

а центр О

окружности

перемещается в

Ог;

радиус

ОЕо

поворачи­

вается на

угол,

равный 02 = 360° : 4 = 9 0 ° ,

и занимает

положение ОіЕг.

Путем анало-

Р и с. 455

Смотрите также файлы