Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

330гичных построений определяем положения Ез,Е4.,..., Ев производящей точки Е.

Геометрическим местом этих точек явля­

острия). Здесь арки имеют общую каса­ тельную.

Наивысшую точку циклоиды называют ее

в окружность производящего круга. Он опи­

Р и с . 456

Пользуясь способом Эйлера, определим в помеченных точках радиусы и центры кри­ визны циклоиды. Центр кривизны циклоиды в любой из ее точек находится на нормали к циклоиде на таком же расстоянии от ниж­ ней точки производящего круга, что и точка

по виду такую же циклоиду, что и данная,

клоиды тождественны регулярным верши­ нам циклоиды-эволюты, а регулярные вер­ шины циклоиды симметричны относительно направляющей прямой (неподвижной цент­ роиды) вершинам острия циклоидыэволюты .

Это свойство впервые было установлено голландским ученым Гюйгенсом и носит

Ь=8г .

Определим величины углов наклона ка­

круга по направляющей прямой. В момент соприкасания центроид в точке N производя­ щая точка занимает положение Е (рис. 456). Вертикальный радиус круга, проходящий в начальный момент соприкасания центроид через вершину острия циклоиды, поворачи­ вается на угол ф и занимает положение ОЕ. Касательная ET к циклоиде в точке Е про­ ходит через верхнюю точку производящего круга, а нормаль EN — через нижнюю .

П р о в о д и м прямую ЕК параллельно на­ правляющей прямой AB. Получаем два пря­ моугольных треугольника ЕТК и EKN. Ги­ потенузы этих прямоугольных треугольни-

Угол наклона нормали EN к направляю­

до направляющей прямой. Это расстояние

331

Циклоиды бывают удлиненные и укоро­ ченные. Если производящая точка находится вне производящего круга (подвижной цент­ роиды), который катится без скольжения по направляющей прямой (неподвижной цент­ роиде), то ее траекторией является кривая линия — удлиненная циклоида.

Если производящая точка находится внут­ ри производящего круга, то она при движе­ нии без скольжения круга по прямой описы­ вает кривую линию, которую называют

укороченной циклоидой. Удлиненные и уко­ роченные циклоиды называют также тро­

хоидами*.

Циклическую рулетту называют эпици­ клоидой (надциклоидой), если центроиды ее (окружности данных радиусов) находятся во внешнем соприкасании. Если соприкасание центроид (окружностей) внутреннее, рулетту

ность радиусом R, подвижной — окружность радиусом г. Н о р м а л ь EN в точке Е эпици­ клоиды проходит через точку N соприкаса­ ния центроид (мгновенный центр вращения).

ной точке Е. Радиус кривизны эпициклоиды в вершине острия — начальной точке Ео— равен нулю.

Радиус кривизны в регулярной вершине эпициклоиды:

В зависимости от соотношения между радиусами окружностей подвижной и не­ подвижной центроид получаем эпициклоиды с соответствующим числом вершин острия.

Если ' • = - у , эпициклоида имеет две вер­ шины острия.

Если г=-^-, эпициклоида имеет три вер­

шины острия и т. д.

Эпициклоиду называют кардиоидой, если r=R. Выше отмечено, что кардиоида явля­ ется также и конхоидой окружности относи­ тельно точки, лежащей на окружности. Эво­ л ю т о й эпициклоиды (аналогично циклоиде) является эпициклоида, подобная данной, с тем же центром направляющей окружности

(неподвижной центроиды), но повернутая на угол \ радианов (т. е. - ^ - градусов). Здесь и=-£-.

Отношение подобия равно „ " 2 • Если п= 3, то линейные размеры эволюты состав­ ляют "у^~2~= ~§~ соответствующих размеров

Н о р м а л ь EN гипоциклоиды в точке Е про­ ходит через точку N соприкасания центроид. Касательная ET проходит через точку, ди­ аметрально противоположную точке со­ прикасания центроид.

Способом Эйлера определяем центр ОЕ и радиус ЕОЕ кривизны гипоциклоиды в дан­ ной точке Е.

Радиус кривизны гипоциклоиды в вер­ шине острия равен нулю, а радиус кривизны

врегулярной вершине

Взависимости от величины п=-у- отно­ шения радиусов окружностей неподвижной

иподвижной центроид гипоциклоиды имеют

ивершин острия.

Гипоциклоиду называют астроидой*, если п 4, т. е. г ---§-, где радиус г подвижной

центроиды в четыре раза меньше радиуса R неподвижной центроиды. Астроида имеет

Это свойство используют для преобразо­ вания вращательного движения в возвратнопоступательное. Например, такая схема при­ меняется в некоторых конструкциях типо­ графских машин.

Эволютой гипоциклоиды является гипо­ циклоида, подобная данной, с тем же цент­ ром направляющей окружности (неподвиж­ ной центроиды), но повернутая на угол, равный ~ радианов. Отношение подобия равно - ^ .

Эволюты гипоциклоиды по длине больше самой кривой.

Рассмотрим рулетту, для которой непод­ вижной центроидой является окружность радиусом г, а подвижной — прямая линия (рис. 459). Здесь прямая линия AB катится без скольжения по окружности, а точка Е, неизменно связанная с прямой, занимает ряд положений Ео, Еі, Ег, ... .

Геометрическим местом этих точек явля­ ется кривая линия — рулетта, называемая эвольвентой или разверткой круга (окруж­ ности). Данная же окружность является эволютой. Каждое из положений прямой А В является нормаль ю рулетты. Длина отрезка ЕзЗ равна длине дуги ЕоЗ неподвижного круга.

* О т г р е ч . а а т р о о — з в е з д а .

§ 84. Ц и к л и ч е с к и е ( ц и к л о и д а л ь н ы е ) р у л е т т ы

Р и с . 459

Таким образом, при построении точек развертки круга необходимо определять дли­ ны дуг окружности. Длина эвольвенты на участке ЕоЕ

Угол ф выражен в радианах.

Учение об эволютах впервые разработал

(1629—1695) и применил его к исследованию циклоиды. Он установил таутохронность* движения по циклоиде. Гюйгенсу принадле­ жит изобретение часов с циклоидальным маятником. Он доказал, что часы с обыкно­ венным маятником (круговым) не могут идти точно, и поставил перед собой задачу: определить, по какой кривой должна дви­ гаться точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды (т. е. чтобы время ка­ чания не зависело от величины размаха). Такой «таутохронной» кривой оказалась ци­ клоида.

Не менее интересной задачей является

Величину fc2=-L = - ^ - называют кри­ визной кручения (второй кривизной) пространственной кривой линии в данной точке.

Кривизна кручения дает возможность оп­ ределять «быстроту» отхода кривой от со­ прикасающейся плоскости.

Пространственные кривые линии раз­

ходу часовой стрелки, а пространственная кривая является линией правого хода (поло­ жительного винтового параметра).

Если плоскость поворачивается против хода часовой стрелки, то кривая линия будет

ной кривой линии определяются однозначно, если она задана уравнениями a—f (s) и ß F(s) в естественных координатах при наличии некоторых начальных условий: положения начальной точки кривой, направления на­ чальных полукасательной и главной норма­ ли и хода кривой линии. Эти условия опре­ деляют начальное положение трехгранника Френе пространственной кривой линии.

При движении трехгранника Френе пло­ скость каждой его грани занимает последо­ вательный ряд положений, которыми наме­

спрямляющей плоскостью семейства она имеет общую точку и каждая спрямляющая плоскость содержит в себе касательную к кривой.

Обертывающей поверхностью семейства нормальных плоскостей кривой линии явля­ ется ее п о л я р н ы й торс.