Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

горизонтальными плоскостями, равноот­ стоящими друг от друга.

Топографическую поверхность можно

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

представить также параллельным переме­ щением деформирующейся в пространстве плоской фигуры.

В инженерной практике часто приходится решать задачи по определению площадей торсовых поверхностей, вращения, винто­ вых, переноса и многих других кинематиче-

ских поверхностей. Покажем графические и графо-аналитические способы определения площадей отсеков некоторых кинематиче­ ских поверхностей.

П л о щ а д ь поверхности торса можно опре­ делить, пользуясь разверткой этой поверх­ ности. Такую задачу можно решить и без построения развертки поверхности торса. Пусть требуется определить площадь торса, заданного ребром возврата тп, т'п' (рис. 500). Торс пересекается плоскостью Qv по кривой линии ab, a'b'. На поверхности торса имеется вырезанный контур. Строим сначала вспомогательный конус торса. При ­ меняя сферическую индикатрису образую ­ щих вспомогательного конуса, строим его развертку. Развертка вспомогательного ко­ нуса торса представлена контуром SCDS.

Поверхность торса можно рассматривать состоящей из бесконечно большого числа треугольников с вершинами, расположен­ ными на ребре возврата торса и с бесконечно м а л ы м и углами при этих вершинах. Для определения площади торса суммируем эти бесконечно малые площади треугольников,

принимая точку S за их вершину. В этом слу­ чае образующие торса совпадают с преоб­ разованиями парных им образующих вспо­ могательного конуса. Откладывая на преоб­ разованиях образующих торса их истинные величины, получаем контур SABS, площадь которого равна площади поверхности задан­ ного торса.

Отмечаем на преобразованиях образую ­ щих торса точки пересечения образующих с заданным на торсе контуром. Соединяя эти точки плавной кривой линией, получаем контур, площадь которого равна площади заданного на торсе контура.

При определении площадей неразвертывающихся поверхностей следует применять вспомогательные развертывающиеся по­ верхности-торсы.

Допустим, что на рассматриваемой по­ верхности построено бесконечно большое число кривых линий, которые взаимно не

П Л О Щ А Д Ь П О В Е Р Х Н О С Т И В Р А Щ Е Н И Я

Площадь поверхности вращения легко определяется методом интегрирования при условии, что производящая кривая задается уравнением и является плоской меридио­ нальной кривой. Если производящая кривая линия задается графически, то площадь по­ верхности вращения, образованной такой кривой, можно определить графо-аналити- ческим способом Паппа — Гюльдена* или способом Громова.

Способ Паппа — Гюльдена основан на положениях графической статики и ограни­ чивается условием, что производящая кри­ вая линия поверхности вращения является меридиональной и не пересекает ось враще­ ния. Площадь поверхности вращения, опи­ санной такой кривой, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести производящей линии

F = 2nRcL,

где Rc— радиус окружности, описываемой центром тяжести производящей кривой;

L — длина производящей кривой. Центр тяжести производящей кривой оп­

ределяют путем построения силовых и вере­ вочных многоугольников.

Способ Паппа — Гюльдена дает прибли­ женные, но практически пригодные решения, однако определение центра тяжести произ­ водящей линии весьма трудоемко Построе­ ния силовых и веревочных многоугольников при определении центра тяжести очень гро­ моздки и не дают большой точности.

Способ Громова основан на графической интерпретации суммирования бесконечно малых. Графические операции здесь значи­

касательных и нормалей к кривым, где для этой цели часто используются дериваторы

*П а п п А л е к с а н д р и й с к и й — д р е в н е г р е ч е с к и й

§ 98. П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и в р а щ е н и и

§98

(приборы для построения касательных и нормалей).

Пусть требуется определить площадь по­

(рис. 501). Площадь поверхности вращения рассматриваем как предел суммы бесконечно большого числа боковых поверхностей усе­ ченных конусов вращения бесконечно малой высоты Ah, образующие которых имеют направления касательных к главному мери­ диональному сечению.

Площадь боковой поверхности усечен­ ного конуса вращения равна произведению полусуммы длин окружностей на образую­ щую:

где гі и г2 — радиусы оснований усеченно­

го конуса;

L—длина образующей конуса. Величину площади боковой поверхности

усеченного конуса вращения можно пред­ ставить увеличенной в 2п раз площадью пря­

ного элементарного усеченного конуса мож­ но определить по формуле

A F k =2* A l ( ^ P ) .

Вписывая усеченные конусы в поверх­ ность вращения и суммируя боковые пло­ щади, в пределе получаем площадь поверх­ ности вращения.

Длины образующих конусов уменьша­ ются, стремясь к пределу, равному нулю, но число их бесконечно возрастает. Величи­ на Г і І Г Г 2 , равная полусумме радиусов верх-

него и нижнего оснований усеченного конуса вращения, стремится к своему пределу, рав­ ному г.

п — act

Обозначая Д/і высоту элементарного усе­ ченного конуса вращения и è угол между образующей и осью, имеем

Ar = (ri — ri) = ALsin ô и Ah = ALcos ô, откуда

Ar = Aft tg b.

Учитывая эти зависимости, получаем:

са кривизны меридионального сечения AB, заключенному между кривой AB и осью по­ верхности.

Отложим от оси по направлению радиу­ сов параллелей соответствующие им вели­

чины Таким построением наметится кривая линия CD.

Бесконечно малый отсек площади, за­ ключенный между кривой линией CD, осью вращения и двумя бесконечно близкими ра­ диусами параллелей,

AF = cos о Aft.

Величина площади, ограниченной кривой линией CD, осью и радиусами крайних па­ раллелей,

Величина полученной площади равна ^

части площади заданной поверхности вра­ щения.

Определение площади поверхности вра­ щения способом Громова удобно в тех слу­ чаях, когда величины углов à незначитель­ ны. Если углы ô имеют большие значения, то для определения площади поверхности вращения (рис. 502) удобнее воспользоваться зависимостью:

Величины отрезков касательных к мери­ диональному сечению, заключенных между точками касания и осью поверхности вра­ щения, равны отношению -^—j-

Проведем перпендикулярно к оси вра­ щения прямую / — / , которую примем за ось абсцисс. Н а эту прямую линию спроеци­ руем ортогонально ряд точек меридиональ­ ного сечения и на проецирующих лучах отложим, как ординаты, отрезки, равные

ограниченного этой кривой, осью абсцисс и бесконечно близкими ординатами, рас­ стояние между которыми Ar, равна / ^ Ar.

Величина площади, ограниченной этой кривой линией CD, осью абсцисс и крайними

П Л О Щ А Д Ь В И Н Т О В О Й П О В Е Р Х Н О С Т И

П л о щ а д ь винтовой поверхности рассмот­ рим как предел суммы площадей бесконечно узких лент, по которым винтовой поверх­ ности касаются (по винтовым ходам точек производящей линии) торсы-геликоиды.

На рис. 503 винтовая поверхность задана базовой линией — гелисой и главным ме­ ридиональным сечением ab, a'b'. Определим

§ 99. П л о і ц а л ь в и н т о в о й п о в е р х н о с т и

387

Р и с . 502

ординатами указанной кривой, равна:

п

s i n ô Ar,

1

т. е. она равна -j^ части площади заданной

поверхности вращения.

§99

площадь отсека этой поверхности, ограни­ ченного ходами точек аа' и ЬЪ', кривыми ли­ ниями cd, c'd' и тп, т'п'. Фронтальные проекции этих кривых линий на чертеже не показаны. Построим величины углов а на­ клона к плоскости Qv, перпендикулярной к оси винтовой поверхности, образующих торсов-геликоидов, касающихся винтовой