Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

570

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

а ток, текущий в контуре, через I . Сумма падений напряжения на элементах цепи равна э. д.с. самоиндукции:

/?/ + V = _ L - ^ .

(2 . 1 )

Выразим V через заряд конденсатора q:

i f + И + І - 0 .

Продифференцируем полученное уравнение по времени. Учитывая, что / = dq/dt, найдем

L J W + RdJ t + i - ° -

(2-2)

Разделим уравнение на L и введем обозначения

Рис. 297. Колебательный контур.

ö = R/2L, Щ =\/ЬС\

(2.3)

б носит название

затухания, а

со0 — собственной частоты контура.

Наше уравнение

примет теперь вид

 

 

/ + 2 6

/ + е д / = 0.

(2.4)

Легко показать, что точно такой же вид имеют уравнения для заряда конденсатора q и напряжения V.

Уравнениями вида (2.4) описывается обширный класс колебатель­ ных систем как электрических, так и механических (маятник). Уравнение (2.4) проще всего решать с помощью подстановки

І = Аек/.

(2.5)

Подстановка (2.5) в (2.4) приводит к так называемому характерис­ тическому уравнению

Я2 + 26Х+ ш5 = 0 .

Это уравнение определяет два возможных значения X:

%!= - б + 1 / 6 2 -cog, Я2= - 6 - / б 2

(2 .6 )

Величина А остается произвольной. Общее решение (2.4) имеет, следовательно, вид

І = А № + Ве№.

(2.7)

Ток /, определенный выражением (2.7), является решением (2.4) при любых значениях А и В. Эти константы определяются начальными условиями задачи. Чаще всего в начальный момент времени ток в контуре отсутствует (/ = 0 ) и задан начальный заряд конденса­ тора q0 или напряжение на нем Ѵ0. Положив в (2.7) ^ = 0, получим

А + 5 = 0.

(2.8)

II. СВОБОДНЫЕ II ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

571

Подстановка 1 = 0, V = Ѵ0 в (2.1) дает

( £ ) . + £ - < > •

<™>

Вычисляя из (2.7) dHdt при t = 0, найдем с помощью (2.9)

 

 

 

 

 

 

Х1А + К ,В =

—

 

 

 

(2.10)

Уравнения (2.8) и (2.10) позволяют

найти

А

и В:

 

 

 

 

 

 

А

 

Vо

 

В:

Ѵ0

 

 

 

 

 

 

 

 

2L]A& -mg

2Z. |Аба- -cos

 

 

Для упрощения записи введем обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X — ] / б 2 — (0?)

 

 

 

(2.11)

и подставим

полученные значения А и В в (2.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

т= __ И) „Лі

 

 

 

 

(2. 12)

 

 

 

 

 

 

 

Іх

е

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В зависимости от соотношения

между б и

со0

ток

в контуре мо­

жет по-разному меняться во вре­

 

 

 

 

 

мени.

 

 

 

 

прежде

всего

 

 

 

 

 

1)

Рассмотрим

 

 

 

 

 

случай,

когда затухание мало:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б < о )0,

(2.13)

 

 

 

 

 

к является в этом случае мнимой

 

 

 

 

 

величиной:

 

я =

іо).

 

(2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

(2.14)

в

(2.12),

найдем

 

 

 

 

 

J

 

„ „

...

__p - m t

 

 

 

 

 

 

 

 

v f) _

Л /

^

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leo

 

Leo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

e-6/sin соГ

(2.15)

 

 

 

 

 

Как видно из (2.15), ток в конту­

 

 

 

 

 

ре носит колебательный характер.

Рис. 298.

Свободные

затухающие

График

изменения

тока

изобра­

 

колебания

(б <

ш0).

жен

на

рис.

298.

Амплитуда коле­

 

 

 

 

 

баний экспоненциально убывает. Величина б определяет затухание

колебаний. Угловая частота колебаний равна

со. Как

видно из

(2.11) и (2.14), при б<^со0

 

 

со = У из — б2 со0 ( 1 — у ~

мо0.

(2.16)

Частота колебаний в этом случае практически совпадает с со0Заме­

572

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

тим, что при б

ток не является вполне периодической функцией

времени, так как

І Ѵ ) ф І ( і + Т).

 

Говорить о периоде этой функции можно только в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени.

Свойства колебательного контура часто характеризуют, ука­ зывая его добротность или логарифмический декремент затухания.

Введем эти понятия.

д-го

колебания

/„ и амплитуда

Согласно (2.15) амплитуда

(д + /г)-го колебания /„+* относятся

как

 

Іп/Іп±и = е ^ ,

(2.17)

где Т — период колебания, равный

 

 

Т =

2л/(о.

(2.18)

Логарифмическим декрементом затухания ѵ называется величина

С*-'»)

Если за k колебаний амплитуда колебаний уменьшается в е раз, то V — 1Ik. Логарифмический декремент затухания можно опре­ делить, следовательно, как величину, обратную числу периодов, за время которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Добротность контура Q определяется с помощью соотношения

п

л

_ <й _

сиL

(2.20)

Q=V

Ът ~ 2 б ~~ Л Г ’

Чем меньше логарифмический

декремент

затухания,

тем выше

добротность контура. С помощью (2.16) и (2.3) найдем, что при малом затухании

п — ыoL -

1

(2 .21)

4

R

со0CR'

 

Рассмотрим физический смысл добротности (в случае малых потерь).

Энергия W0, запасенная в контуре в начале цикла,

равна q’{/2C, а через пе­

риод составляет

е “2бг . За цикл теряется энергия

,\W:

Ш = Г 0 (1 - е ~ 28т) «а Г 026Г = W0

Таким образом,

(2-22>

Добротность определяет, во сколько раз энергия, запасенная в контуре, превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течение которого фаза колебания меняется на 1 радиан.

II. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

573

2) Рассмотрим теперь случай

6 = ш0;

(2.23)

при этом х, а следовательно, и со равны нулю. Предельный переход при со — 0 в (2.15) дает

I — — -^г- ем sin соt — — (соt) е~ы — — ~ teM , (2.24)

Зависимость тока от времени в этом случае изображена на рис. 299. Ток в контуре не имеет колебательного характера и является апе­ риодическим. Равенство (2.23) определяет так называемые крити­ ческие условия опыта. Величина сопротивления і\?кр, при котором

осуществляется критический режим, называется критическим сопро­ тивлением. С помощью (2.3) легко получить

Якр = 2 VÜC.

(2.25)

3) Обратимся теперь к случаю

б > со,,.

(2.26)

Оба корня характеристического уравнения являются в этом случае вещественными. Уравнение (2.12) может быть при этом записано в виде

/ = ~ - ^ - e - 6/sinx(.

(2,27)

Кривая зависимости токаот времени, соответствующая (2.27), изоб­ ражена на рис.300.Как видно из графика, процессявляется апе­ риодическим.

574

ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 2. Вынужденные колебания. Метод комплексных амплитуд

Рассмотрим теперь процессы, протекающие в контуре, подсо­ единенном к источнику внешней э. д. с., изменяющейся по синусои­ дальному закону (рис. 301):

Ш=

(2.28)

В этом случае вместо (2.1) имеем

 

L d!t + R I + - ^ = % 0cosQt.

(2.29)

Решение линейного дифференциального уравнения (2.29) с пра­ вой частью состоит из общего решения однородного уравнения (ко­ торое уже было получено в предыдущем параграфе) и какого-нибудь

 

частного решения уравнения с правой

R

частью. Для нахождения этого реше­

ния воспользуемся методом комплекс­

 

 

ных амплитуд. Этот метод основан на

 

следующем утверждении. Пусть неко­

L

торая комплексная функция является

решением линейного дифференциаль­

 

Рис. 301. Последовательный кон­

ного уравнения с вещественными ко­

эффициентами

и комплексной

правой

тур с включенной э. д. с.

частью. Тогда

вещественная

часть

ф*

этой функции

является решением

того же уравнения, в правой части которого стоит вещественная часть

прежнего

выражения1, а мнимая часть — решением уравнения

с мнимой

правой частью.

Исходя из сказанного, заменим (2.29) уравнением с комплексной

правой частью

 

+

(2.30)

Правая часть (2.29) является вещественной частью правой части (2.30). Решив уравнение (2.30), мы получим комплексное выражение для тока. Вещественная часть этого решения является, согласно указанному выше утверждению, решением исходного уравнения (2.29).

Будем искать решение (2.30) в виде

/ ==/ Фш ,

(2.31)

где / — комплексная амплитуда тока («крышкой» сверху будем обозначать комплексные величины, индексом 0 — амплитудные значения). Подставляя (2.31) в (2.30) и сокращая на еіШ, найдем

/

о

= к

(2.32)

 

 

 

Смотрите также файлы