Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 219

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

II. СВОБОДНЫЕ II ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

575

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса контура и обозначается обычнобуквой Z,

Z = R + i ( Q L - ~ ) .

(2.33)

Выражение для Z не зависит от начальных условий, не содержит ни токов, ни напряжений и определяется только свойствами эле­ ментов, соединенных в контур. Импеданс является, таким образом, характеристикой контура. Подстановка (2.33) в (2.32) дает

= Z / 0.

(2.34)

Полученное выражение полностью эквивалентно закону Ома. Роль

сопротивления играет в нем импеданс контура Z. Равенство (2.34) обладает характерной особенностью: правая его часть содержит произведение двух комплексных величин, а левая является действи­ тельной. Легко видеть, что это обстоятельство не носит принципи­ ального характера и является случайным. Возьмем вместо (2.28)

несколько более общее выражение

для

синусоидальной э. д. с.

S = ë 0cos(Qt

ср).

(2.35)

Фаза ср определяет начальные условия: в самом деле, при t — О напряжение не обязательно должно проходить через максимум, как это молчаливо предполагалось при написании (2.28). При переходе

к (2.30) в цравой части уравнения будет стоять уже не Шйеіш, а Щ0еій‘, где Щ0 является комплексной величиной,

К =

Связь между током и напряжением в этом случае снова определя­ ется импедансом контура Z, но вместо (2.34) следует писать

Шо = Z i0.

(2.36)

Уравнение (2.36) имеет вполне общий характер.

Исследуем несколько более подробно свойства импеданса Z.

Выражение для Z содержит действительную часть, называемую обычно активным сопротивлением контура, и мнимую часть, носящую название реактивного сопротивления или реактанса. Правила сло­ жения импедансов при последовательном и параллельном включении элементов те же, что и для обыкновенных сопротивлений. Импеданс индуктивности равен iQL, импеданс емкости равен —HQC, импе­ данс сопротивления — просто R.

Подставим Z в показательной форме:

Z = Zoe^, Z0= = ] / > + ( ß L - ^ ) 2,

ф — arctg

(2.37)


57G

ПРИЛОЖЕНИЯ

Разрешим уравнение (2.36) относительно / 0 и перейдем от ком­ плексного к действительному выражению для тока. Как было ска­

зано выше, для этого достаточно взять действительную часть /:

,’üt

Re'

й

t

 

 

/ = R e ( / oeiQ0 ^ R e l 4 ^ e f

 

 

 

 

 

^n cos (Qt

■ф —“ф).

(2.38)

 

 

Zn

 

 

 

Сравнивая (2.38) с (2.35), найдем, что ток отстает от напряжения по фазе на величину ф, определяемую отношением мнимой и действи­ тельной частей импеданса. Амплитуда колебаний обратно пропор­ циональна модулю импеданса Z0.

Метод комплексных амплитуд облегчает решение многих задач, так как сводит решение дифференциальных уравнений к решению

обыкновенных уравнений и позволяет

избежать

утомительных

вычислений

с тригонометрическими

функциями.

При этом

следует иметь, конечно, в

виду, что метод позволяет определять

отнюдь не общее решение исходного

уравнения,

а лишь одно из его част­

ных решений. Чтобы получить общее

Рис. 302. Параллельный контур.

решение, нужно прибавить к найден­ ному сумму (с произвольными коэф­ фициентами) двух независимых реше­

ний уравнения без правой части. Как мы видели выше, решения однородного уравнения (без правой части) затухают. Через доста­ точно долгий промежуток времени их вклад всегда становится исчезающе мал. Метод комплексных амплитуд позволяет получить, таким образом, установившееся решение, к которому рано или поздно система обязательно придет.

Особенно важен'метод комплексных амплитуд в теории перемен­ ных токов, где установившееся решение представляет главный интерес.

В качестве иллюстрации найдем ток в цепи источника переменого тока в контуре, изображенном на рис. 302. Для параллельного

соединения элементов цепи

имеем

 

Д

-

+ - і - ■iQC.

(2.39)

Z

R

IQL

 

Разрешим (2.39) относительно Z и представим Z в показательной форме:

Z = Z0e'*, Z0 =

1

m = R

(2.40)

 

]


II. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

577

tg 1l) оказывается равным нулю в

случае резонанса, т. е.

когда

QL - Й С

= 0.

(2.41)

Уравнения (2.40) показывают, что импеданс цепи в этом случае равен R и оказывается вещественным. В дальнейшем мы рассмотрим слу­ чай резонанса более подробно.

Решения, полученные методом комплексных амплитуд, допускают

простую геометрическую интерпретацию. Комплексное число Z = = Z0ë^ представляется в комп­

лексной плоскости вектором, длина которого равна Z0. Угол, составляемый вектором с вещест­ венной осью, равен я|з. Комплек­ сное напряжение Ш0еІШ или комплексный ток / 0e'<ß<—Ф>пред­ ставляются поэтому векторами, вращающимися с угловой ско­ ростью Q. Удобно перейти к си­ стеме координат, которая сама вращается с угловой скоростью

Q. В этой системе векторы І

и /

Рис. 303.

Векторная диаграмма нап­

будут неподвижны. Длины

век­

 

ряжений.

торов пропорциональны ампли­

 

 

тудным значениям напряжения и тока. Вектор / повернут относи'

тельно Щ. Угол между векторами равен сдвигу фаз между ними. Такие диаграммы называются векторными диаграммами.

Построим векторную диаграмму напряжений для контура, изоб­ раженного на рис. 301. Поскольку во всех элементах цепи течет один и тот же ток, удобно положить его фазу равной нулю и отсчи­ тывать от нее фазы напряжений на всех элементах цепи. Учитывая, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, падение напряжения на индуктивности опережает ток на угол я/2 , а падение напряжения на емкости отстает от него на я/2 , получим векторную диаграмму, изображенную на рис. 303. Складывая век­

торы VL,

Ѵс и

V#,

найдем из

построения

 

 

H -

K Y

 

R2 + QL

J_ \

tglj):

QL- QC

 

 

'QCj

R

в полном

согласии

с

(2.37).

 

 

 

§ 3. Установление колебаний

Вернемся теперь к общему решению уравнения (2.29). Как уже было выяснено, это решение является суммой любого частного решения нашего уравнения и общего решения уравнения без

19 п/р Л, Л, Гольдина


578

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

правой

части

 

 

I = Ае%іі + ВеКіі + / 0 cos — ф).

(2.42)

Нас будут интересовать главным образом случаи, когда затухание невелико. Общее решение может быть в этом случае записано в фор­ ме, аналогичной (2.15),

/ = Ce-6t cos (a t— %) + / 0 cos (Ш — ф).

(2.43)

В этом уравнении вместо констант А и В появились константы С и фх. Путем непосредственного сравнения нетрудно убедиться в полной

 

эквивалентности

(2.43)

и

 

(2.42) и при желании найти

 

связь между А

и В, с

од­

 

ной стороны,

и

С

и фх, с

 

другой.

 

 

 

 

 

 

Из формулы

(2.43) вид­

 

но, что при воздействии

на

 

контур

синусоидальной

 

э. дТс.

в нем

возникают

 

колебания двух частот: не­

 

затухающие

колебания

с

 

частотой

внешней

э. д. с.

 

и затухающие

колебания

 

с собственной

частотой си­

Рис. 304. Биения (случай Q «со).

стемы.

Амплитуда

собст­

 

венных

колебаний

зависит

от начальных условий и от времени, прошедшего с момента включения э. д. с. Результирующее напряжение обычно имеет сложный вид. На рис. 304 представлена форма колебаний в том случае, когда £2 и to мало отличаются друг от друга. При установ­ лении колебаний их амплитуда то растет, то падает, испытывая биения. Точки максимальных амплитуд Сг, С2, Са и т. Д . постепенно понижаются. Лишь когда экспонента е~ЬІ достаточно затухнет, биения прекратятся и колебания станут синусоидальными.

§ 4. Резонанс

При выполнении условия (2.41) импеданс последовательного контура резко падает и амплитуда колебаний соответственно возрас­ тает (см. формулы (2.37) и (2.38)). Условие (2.41) определяет наступ­ ление резонанса. Сравнивая (2.41) с (2.3), найдем, что резонанс воз­ никает при совпадении частоты О внешнего источника с собственной частотой контура со0-

Представляет интерес исследовать амплитуду колебаний вбли­ зи резонанса (в резонансной области). Преобразуем для этого


II. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

579

уравнения (2.36) и (2.37):

_

R

1 \ 2

 

QRC

Заметим прежде всего, что %0/R равно

/ „ — амплитуде тока

при точном резонансе. Выразим входящие в подкоренное выражение величины L/R и RC через собственную частоту и добротность кон­ тура с помощью (2 .2 1 ):

(2.44)

пV ' + « ’ ( £ - t ?

Уравнение (2.44) определяет форму резонансной кривой. При отступ

лении

частоты внешней

э. д. с.

 

от (о0 ток быстро падает.

Это па­

 

дение

оказывается тем

более

 

резким, чем больше добротность

 

контура Q. Особенно важны для

 

применений контуры с большой

 

добротностью

Q

 

 

 

 

 

Q >

1.

(2.45)

 

При выполнении

условия (2.45)

 

резонансный

максимум

оказы­

 

вается

узким,

так что в области

 

резонанса

 

 

 

 

 

 

со0

=

щ

^

(2.46);

Рис. 305. Резонансные кривые.

Формула (2.44) может быть в этом случае упрощена. Заметим для этого, что

Q

_

со0

_

(Й — о)„) (Q + со0)

^ 2

(2.47)

CÜ0

 

 

 

COgß

 

 

 

 

 

(ÖQ

Подстановка (2.47)

в

(2.44)

дает

 

 

 

 

\

=

— —= L = =

.

(2.48)

 

 

'•

V ' +Q,№ r f

 

Формула (2.48) верна для контуров с большим Q. Форма резо­ нансной кривой для разных Q изображена на рис. 305. Если изобра­ жать резонансную кривую в координатах ДШю0 и /0//„, то, как следует из (2.48), форма кривой зависит только от Q. Добротность кон­ тура поэтому может быть определена из формы резонансной кривой.

19*