Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

нальном

отображении

À:

H** (BU;

Q I ) H** (BU;

О.)®

® H** (BU ; Cl) имеем

ЛSa (е) =

У

S a>(е) ® (е) и A<jp =

=

<5° ®

IP.

іо'м"=м

Определим функцию р: Я* (BU; <Ш-И& [6;] по формуле р (а) =

=

S (*5<о

(е) of) [а] ßffl,

где

со =

(іи ■■-, b), ßw= ßn •

• • ßi,.-

CO

ся

кольцевым

гомоморфизмом.

[Имеем

ех — 1 =

х -f- члены

более

высокой степени по

х,

поэтому S ш(<?) И = Sa (с) + пле­

ны

более

высокой степени,

и,

следовательно,

для

любого

а £

£ Я* (BU;

О,) сумма

в формуле

для

р (а)

является

конечной.]

Обозначим через Bn cz IIn (BU;

Q)

= Horn (Iln (BU; <Q);

Q.)

множество

элементов

a £ IIn (BU; Q,),

таких, что p (cc) £ Z [ß;],

и положим В * =

ф Bn cz II* (BU; Cl). Ясно, что B.f является под-

кольцом в

П

Cl). Заметим

теперь,

что

II2i, (BU; Ж) =

Я* (BU;

=

{а £ H 2k (BU;

С,) | S ш(С) [а] £

если п (со) = /с}, и так как

для и £ В 2к и со с п (со) = к число Sm(с) [и] =

Sm(е)ІР [и] является

целым, то B 2k<zz Il 2к

(BU; Т). Кроме того, существует тривиаль­

ное вложение B 2k+lcz H 2k+i (BU;

Z), так как обе группы равны

нулю. Обозначим через р5: В*

L q [ßj композицию отображе­

ния р: 5* -ь TL [ß,] и гомоморфизма приведения

mod q , где q

—

простое число.

квазикомплексное

многообразие

и

Пусть

М п — замкнутое

т (М):

II* (BU;

С)

С — гомоморфизм,

переводящий

х £

£ H* (BU; О.) в значение касательного характеристического клас­

са X (т) на. фундаментальном классе гомологий многообразия М .

Это определяет кольцевой гомоморфизм т:

-> Я* (ВU; С), про

= ch (Sa (у (р)), то для

всех разбиений со

получаем, что

{Sa (е) éf) [хМ] = ch (5Ш(у (х)) éf (М) [М] =

I

0,

если

(п— п (со)) нечетно,

~ \

Ва (у(т))[М]р(іу1, если

(н — гс (со)) = 2*,

т. е. число

(е)аР} [тМ] является целым для всех со, и поэтому

т [М] £ Вп.

Таким

образом,

имеет место

вложение xQ^cz Bn cz

с=Я„ (BU;

Z).

Пусть Р £ ~Lq [ßb

. . .] — некоторый по­

О п р е д е л е н и е .

лином

от переменных ß;. Скажем, что Р имеет наибольший моном

ßi, . .

. ßj ,

если

ßco

Если полиномы P, Q Ç

[ßi, . . .] имеют наибольшие мономы

и ßto'i

то полином P -Q

имеет

наибольший

моном ß^ ß^- =

=

ßöjUtu'*

Если Pi 6 TLq [ßi, . . .],

i = 1, . . .,

п,— полиномы,

і +

1 ф ps ни для какого s,

и наибольший моном [ß s-i_ 1]p, если

і +

1 =

р3 для некоторого s.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для (і + 1) ф 0 (mod р) положим

М і —

= СР(і).

Тогда

{5(І)(в )^}[тЛ ^]= 5 (і,(с)[СР(і)] = (і +

1 ) ^ 0

(mod р).

(і-{-1) == 0 (mod р),

ио (i-j-l)^= ps

ни для какого

s, то

Если

(і + і) —рг (ри-\-ѵ),

где г > 0

и О С ѵ С р .

Для и = О и

у > 1

ѵ\

Для

u > 0

положим

М \ = НрТѵ_рГ+іи-

I^O(modp).

Тогда {5(і> (е) éf) [xAff] = S ti) (с) [тЩ] = -

(modp).

Если і + 1 = ps для

некоторого

s,

то

положим

М \ =

= Hps-i__

р5-і

(Р

индексов).

Тогда

{5Ш(е) éf) [тМ?] =

= S<Ù(V (X)) [Мі ] =

0 (modp),

если гг(со)>р3—р,

за исключением

случая, когда п (со) = ps—р и со является

измельчением

разбиения

(ц - 1 - 1 ,

1). ■

С л е д с т в и е .

Для

любого разбиения со =

(гь

. . ., іт) положим

М ш= М іі X .. • х М ц .

Тогда

для

каждого

простого

числа р

и каждого

целого

числа п

полиномы

рр (хМ?а) = рр (тМц) ...

.. .рр (тМ іг), где со Ç я (тг),

линейно независимы в кольце Zp [ßj, . . .].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полиномы

рр (TMS), где

со

пробе­

Л е м м а. Пустъ М* — градуированное

надкольцо

градуиро­

ванного кольца полиномов Z [oti, а 2, . .

deg а,

= і.

Если для

каждого простого р существуют элементы cf 6

г ^

1, такие,

что MJpM* = Zp [cf],

то кольцо М* является кольцом целочис­

ленных полиномов над Z

от классов І>і £ Mt, г ^

1. .Если cf* с

как

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим ß* = Z [ai, . . .]. Так

Ä „ c

ß n, то

является свободной абелевой группой ранга

не

больше

| л (?г) | , где л (п) — множество разбиений числа п.

Так как группа М п 0

Zp — {MJpM,¥)n является | л (и) |-мерным

I

^ W I-

а'ш = 2^'CÛ'OSCÙ' — некоторый базис группы

М п, где со,

Пусть

о '

£ л (п),

А,ш“ 6 Z.

Применяя

обычный

процесс

приведения

к

треугольному виду

(как для целочисленных матриц), можно

из базиса

{а’ш} получить новый базис а0 =

со, со' 6 л (п),

€ Z, для которого

= 0, если со ф (?г), и f (f) равен наиболь­

шему общему делителю чисел

Х ^ . Для

каждого п

обозначим

можно

задать

элементом

Ьп и элементами аа = У.Цщ'бщ', где со,

со'

(/г), со,

со' ф (п),

р,“, 6 Cl.

Предположим по индукции, что в размерностях, меньших п,

кольцо

М-it является кольцом целочисленных полиномов от клас­

сов Ъі,

і < п. Пусть L — свободная абелева группа, порожденная

элементами аш,

и М — свободная абелева группа, порожденная

элементами

Ьш,

где со £ л (п) и а

Ф (п).

Так как М

состоит

только из

разложимых элементов

кольца

ß n, то М a

L, и так