Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Для

комплексного векторного расслоения ! над X определим

характер

Чжэня

с1і(!)£Я*(Х;

<&) расслоения

! по

формуле

оо

ch (!) = dim ! -г S

(s tt) (с (£)))Д!-

Если ! = k ® . . . © Іп — сумма

І = 1

П

линейных расслоений и Сі (іі) = хі, то ch(!) = S

е*1- Из

прими-

і=1

= ch (!) + ch (г|), так что характер

Чжэня ch продолжается до

гомоморфизма К0 (X) —ѵ Я* (X; Ci,).

Для тензорного произведе­

место

формула

ch (! (g) ц) = ch (!) -ch (ц).

Действительно,

если

! = h ©

. . . 0 In,

Ц = mi ®

. .. 0 тр,

то

! <g>P = 2

h ® rrij, и,

используя

формулу Ci (h

® nij) = ct (li) -\-Сі {nij), получаем,

что

ch (! ® T]) =

2 eXi+Vj '■= ( S ßX‘ ) ( S e’>j) =

ch (!) ch (ц).

Применяя

ений ! и

тр Таким образом,

ch: К0 (X) -у II* (X; Q,)

является

гомоморфизмом колец.

S 2

Для векторного расслоения ! над

имеет место

формула

ch (!) = dim ! +

d

(!) 6 H* (S 2;

Z), и,

следовательно,

характер

Чжэня определяет

гомоморфизм ch: К 0 (S2)

Я 2 (S2-, Z). В част­

ности, отождествляя S 2 с CP (1), получаем ch (1 — X) =

1 — еа =

= —а. Таким образом, гомоморфизм

ch:

К 0 (S’2) H 2 (S2\ Z)

является

изоморфизмом, и можно выбрать образующий р (1) Ç

Ç К 0 (S 2),

такой,

что ch (р (1)) [*S2] = 1.

(Возьмем просто р (1) =

= 1 — К.

Этот

элемент совпадает с элементом (X — 1) на S2,

который выбирал Ботт.)

Чжэня до гомолгорфизма

Тогда

можно

продолжить характер

Х°(Х)

--------- ----------- Я*(Х;СI)

"!

Y

_

Ch ~

Я* (X;

Û)

К~2 (X) =■=К0 (S2

Д X )----- ►Я* (S2 Д X; Q) ^

что легко сделать, так

как ch (р(1)) = ь 6 Я 2 (S 2;

Z), где

2 2 —

ное расслоение.

Тогда кольцо

К*(СР(п)) есть свободный

if* (р1;)-модуль

от образующих

1,

а, . . . , а п

с соотношением

а ,1+1 = 0, и ап

является образом

элемента

( — 1)п і, где

I Ç К 2п(S2n) = Z — образующий. Таким

образом,

согласно общей

расслоений, определены характеристические классы Чжэня в if-

теории,

обозначаемые обычно через у, (£) Çif2i (X),

где

É; — комп­

лексное векторное расслоение над X.

З а м е ч а н и е .

Следуя Атья

[1], для каждого

комплексного

векторного

расслоения | над X введем характеристический класс

03

Аг(£) =

2

(V) t1 б if° (X) [[£]], где X1 обозначает

г-ю

внешнюю

г= 0

и можно про­

степень

расслоения £. Тогда Xt (£ ® р) = Аг (|) А( (р),

должить

отображение £- >- А*(£)

до гомоморфизма Kt:KQ(X)->-

-у- К0 (X) [[і]]. Из

единственности

характеристических

классовую

(î — dim Ê) =

СО

tlpl (y; (s)).

следует, что имеет место формула

2

i = 0

периодичности. Необходимо отметить, что они не

совпадают

с классами Чжэня в if-теории, введенными в работе

Ботта [1],

скими классами

Ботта соотношением р _1 (1 — А) =

—с* (а),

где

с: СР (У) ->■ СР (У) — отображение,

определенное

комплексным

сопряжением.

Обсуждавшаяся выше трудность, связанная с гомоморфизмом

с*, проявляется в комплексной if-теории.

Так

как

АА = 1,

то

Ä = 1/A= 1/[1 + (A —1)] = 1 —(А— 1) + (А — 1)2 + . . . илиА

—

=

— — (А—1)Н-(А — I)2 +

. . . . Таким

образом,

с * ( а ) = —а +

-f- р (1) а 2 +

... . Если

бы

можно было

выбрать

образующий

ß £ if2(CjPn),

такой,

что

c*(ß) = — ß,

то a = ß +

2 <Piß\

и

по-

2фі(— ß)1 = —а + 2

і ^ 2

этому с*(а) = —ß +

2

<piß* или с* (а) ==

г $ . 2

i = 0 ( m o d 2 )

= —a(mod2).

С

другой

стороны,

p(l)=£0(mod2),

поэтому

О,

если (п—i) = 2 s-\-i,

(х) • If (М)} [М,

дМ] ■р (l)s е K~2s (pt),

оДасі, . .

хи),

. . .,

<Ju.(xl, . . ., хп) для симметрической

функции

k

заменой о; на d(x(M)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если К—каноническое расслоение

над

СР(п), то классом

Тома

К2 (СР (п-\-1))

является

класс

а,

поэтому

с]і(£Д) =

choc =

e“ — 1.

Таким

образом,

сй(СД) =

= ^ е

j Uк,-

где

UK= а —класс

Тома в целочисленных

кого­

мологиях. Если для

любого расслоения £ определить

If (|)

рав-

h

h

ным функции

п

X: .

когда формально с (£) = II (1 + X j ) ,

то

е

7 —1

j—1

3 = 1

ническое отображение

S***' Д TN/TN' Д

(M/dM)f\TN.

Для любого xÇ K l (M, дМ) имеет

место, по определению, фор­

мула

ного расслоения

т

к

СР (?г) имеет

место формула (т © 1) ^

= (п +

1) I, где

£ = 1 ,

то уі (т) =

(" I"1) [р_1 (Ê — I)]1.

Таким

образом,

необходим

следующий результат:

Л е м

м а. [р-1 (I - 1)]* [СР (/г)]

-

(-1 )"-’' р (l)n-j.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно предыдущей лемме,

(Р“1 ( I - l)]j [СР (и)] =

[ch ( £ - l)]j éP {СP (п)) [CP (»)] -p (1 Г j.

Тогда c(!) = 1—ci и (—a)n [CP (тг)] =

1, поэтому

[p“1 ( S - l ) ] , [CP(n)] = ( e - « - l ) )' ( - =

^ ) П+1 [C P (n)].p(l)Â-J

-

коэффициент при (—a)n в разло­

жении

функции

— -——--------

•P (i

r

3' =

{

dz

(ff- а --- 1 ) 7 1 + 1 — І

- ( ■ s r §

(ez — l)n + l- ) - P ( l)n-J =

2=1

(u = e:—1)

du

\ 2ш

u=0

un+l-j (1 + a) -)-P (i r j =

2 ( — u ) h

d u

2лі

J

h=Q________

lp(l)n-J=

цТІ-rl—j

рассмотреть многообразия HqS

qSс

СР (gs) X

. . . X СР (qs)

(іq сомножителей),

двойственные

линейным

расслоениям

JÏ*£ ®

<g> . . . (g)

где q — простое число. Они являются

гиперповерхностями степени (1,

. . ., 1) в произведении q экземп­

все сравнимы с нулем по модулю

q, если

n(co)>gs+1—g,

за ис­

ключением случая,

когда 7i(co) = gs+1—g

и

со

является измельче­

нием

разбиения

(gs—1,

g5—1) (q раз

по

gs—1). Если

со =

= (gs—1, • •

gs—1), то

■ V -1.......,*-1>(т(т)) № ? ........,‘1

(mod ?)•

Д о к а з а т е л ь с т в о . ОбозначиммногообразиеHgS

?sпросто

через

II, многообразие CP(qs) x

... xC P (q s)—через СР и

поло­

жим

£г = я*(£),

Рг=р_1(5і — 1)-

Тогда

(игнорируя гомоморфизм

ограничения

в обозначениях) получаем,

что

у (Я) = ( [і

(1 + ß;)*S+1)/(l + р -1Ul ®

® і 5-

1)),

j=l

и многообразие Я является

двойственным к р_1 (£t ® ... <gi

— 1 ).

Имеем

1,®

... ®£, = [1 + Ue-1)]<8> ... ® [1 + (1,-1)] =

или

= (l + P -ßi)®

. . . ® ( l +

P-ße),

Р 1 (Іі ® • • •

®

—1) = S

ßi “I- P S

ßißa —f- • ■•

• • • +

Pk 1 S

ßlß2 •

■•

ßft +

•

• • +

Pq 1ßl

• • • ßgi

Так какp t^ iVt

= р (1)'_1щ, то любой характеристический класс

Sa (у) (Я)

может

быть выражен полиномом с коэффициентами

в К* (pt)

от переменных щ, . . ., vq. Степень этого полинома по

р 1~гѵ , t Z>1, из знаменателя дают

слагаемые

этого полинома

степени, большей п (со).

= Ра {ѵь

. . .,

vq) (щ + pv2

+ . . .

Имеем S a (у) (Я) [Я]

рч~гѵд) [СР],

где

Ра — обсуждаемый полином.

Далее,

если сг — некоторая перестановка чисел 1, . . .,

g, то

• • •

ß<J(() [CP] = p'-^coßl

. . -

ß, [CP]

в точности

j слагаемых вида pf_1ßa(i).

. . ßa(/), то

все

числа

Р<иР*~±vt [СР] делятся на g, если 1 ^ t <

g. Точно так

же

полу­

чаем, что слагаемые полинома Ра, содержащие члены щ, . . .,

дают нулевой

вклад в характеристические числа mod g.