Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Докажем теперь, что cf* = j$*. Заметим сначала, что éPn<xz Мп является свободной абелевой группой и для каждого простого р

Т е о р е м а . Кольцо Q* является кольцом целочисленных поли­ номов от классов xt размерности 2і. Класс кобордизмов квазиком-

плексного многообразия М 2І может бытъ взят в качестве мульти­ пликативного образующего тогда и только тогда, когда

мультипликативный образующий характеризуется своим 5-клас­

не делится на р а, то мы получаем, что 5», (с) [Ьг] = ± р -

знаком от числа, получаемого из общей формулы, и которое также не делится на р2.

Т е о р е м а . Все соотношения между целочисленными когомо­ логическими числами Чжэня замкнутых квазикомплексных много­ образий определяются комплексной К-теорией. Более точно, пустъ <р: Н п (BU\ О,) Q. — гомоморфизм-, тогда и только тогда суще­ ствует замкнутое квазикомплексное многообразие М п, такое, что Ф(х) = X (т) [М п \ для всех х £ Н п (BU ; (Cl), когда ф принимает целые значения на всех п-мерных компонентах всех характеристи­ ческих классов вида Sи (е) <5°.

З а м е ч а н и я . 1. Этот результат можно переформулировать в следующем виде: образ гомоморфизма Гуревича я2л+2 лг{TBUN) >-

— K.2U+2N{TBUN) является прямым слагаемым (N велико по срав­ нению с к) (см. Хаттори [1]).

2. Этот результат в виде гипотезы был высказан Атья и Хир-

чаем другой интересный выбор мультипликативной образующей. Для любого л(і) число

Sa (с) [Ъ'і] = xSm(у {%)) [М\] + pSa (с) [у] делится на р. Таким образом, имеет место следующая

Т е о р е м а . Можно выбрать мультипликативные образую­

щие Хі в Qïi, такие, что если і + 1 = ps, то все целочисленные когомологические числа Чжэня класса кобордизмов xt делятся на р.

З а м е ч а н и е . На возможность выбора таких образующих

хрі-х первыми указали Коннер и Флойд [3], § 41, которые назвали такие многообразия из класса кобордизмов х і_ 1 многообразиями

Милнора.

Этот результат позволяет установить следующее соотношение между кобордизмами и целочисленными гомологиями, на которое указал Дж. Коэн [1]:

С л е д с т в и е . Существуют полиномиальные образующие xt,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем в качестве х-г классы кобор­ дизмов многообразий Милнора, такие, что S {i) (с) [xt] = mh Если і + 1 = ps, то элемент таг Ç Н 2І (BU ; Z) при гомоморфизме приведения mod р отображается в нуль группы H 2 i (BU\ Zp), поэтому он делится на р , причем однозначно, так как группа

H 2 i (BU; Zр) не имеет кручения. Положим zt = ÇТІ2І {BU\ Z).

Так как S a) (c) [z;] = 1, то элементы zi являются искомыми обра­ зующими кольца Н * (BU-, Z). и

Имеет место также следующий результат Милнора (см. Хирцебрух [1] или Том [4]):

Т е о р е м а . Каждый класс кобордизмов х £ £2^, п > 0 , содер­ жит неособое алгебраическое многообразие (не обязательно связное).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 41^ с= £2^ — множество клас­ сов кобордизмов, представителями которых являются неособые алгебраические многообразия. Множество Д* замкнуто относи­ тельно суммы (несвязного объединения) и произведения, но, вооб­ ще говоря, может быть незамкнутым относительно перехода к аддитивно обратному классу кобордизмов. [Если бы можно было

разумно интерпретировать класс —1 £ £2^ как алгебраическое многообразие, то обратный элемент существовал бы в ЧІ* по три­ виальным соображениям.]

Далее, 41* содержит классы кобордизмов многообразий СР (п)

числа не делятся на р2; следовательно, классы кобордизмов ([СР(?г)], [Япь П2]} порождают кольцо £2^ ® Zp для всех р, и по­ этому подкольцо в Q^, порожденное ими, совпадает со всем £2^.]

дукции доказать теорему. Действительно, предположим тогда,

= Zj-^ . . . z^*1'. Отображение f трансверсально регулярно отно­ сительно гиперплоского сечения 2 цз'...і — 0, и прообразом его

жит как положительные, так и отрицательные числа. Пусть р —

чисел, кратных числу р. Так как наибольший общий делитель чисел из A 2 k равен ттгй, то получаем, что р = mh и зг = —mh. в

Н е р е ш е н н ы й в о п р о с . (Хирцебрух [1].) Какие классы

кобордизмов из Q* содержат связные неособые алгебраические многообразия?

З а м е ч а н и я . 1. Можно доказать полиномиальность коль­

ца £2* и полноту даваемых A-теорией соотношений между характе­ ристическими числами и другими способами. Доказательство, приведенное выше, основывается на работе Стонга [2] и использует упрощенный вариант этой работы, принадлежащий Коннеру

и Флойду [8], гл. III. Полиномиальность кольца можно дока­ зать, следуя Милнору и С. П. Новикову, при помощи спектраль­ ной последовательности Адамса (изложение этого способа для аналогичного утверждения можно найти в книге Коннера и Флой­ да [3], § 41), а затем, следуя Хаттори [1], применить это доказа­ тельство для вывода полноты соотношений, даваемых А-теорией.

2. Если, следуя Ботту, при построении классов Чжэня взять в качестве образующего кольца К* (СР (гг)) элемент р -1 (1 — À),

мннаитное расслоение), причем det | является обратимым элемен­ том в кольце К 0 (база расслоения), ограничение которого на каж­ дую точку дает одномерное векторное пространство. К сожалению, в литературе существует большая путаница: выбор классов Чжэня и ориентации часто делают при противоположных соглашениях. Наш выбор образующего объясняется желанием придерживаться классов Чжэня по Атья и согласования с универсальной ориента­ цией, избегая по возможности оператора комплексного сопря­ жения.

Связь с оснащенными кобордизмами. Инвариант Адамса

Точно так же, как и в случае неориентированных кобордизмов, существует функтор забывания F из категории оснащенных много­ образий в категорию квазикомплексных многообразий, опреде­ ляющий гомоморфизм групп кобордизмов в относительную груп­

точна. Тогда имеет место следующее

П р е д л о ж е н и е . Любое оснащенное многообразие положи­ тельной размерности является границей квазикомплексного мно-