ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
где А* — гомоморфизм, |
индуцированный функтором забывания |
||||||||
«А (К2)-структуры», является тождественным отображением. |
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
((М, /), |
ср) — представитель |
|||||
некоторого класса кобордпзмов из группы |
(А, 2) (А, А), где |
||||||||
/: М ->- Р (К 2) — гладкое отображение, такое, |
что /* (£) ^ |
det т, |
|||||||
и (р: (М, дМ) -у (А, А). Обозначим через Ѳ: М |
х Р (К 2) ->- А (А4) |
||||||||
композицию отображений |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
М X А (Я2) — ^ |
Р (/Г2) X Р (А2) —5_* Р (А'4), |
|
||||
где ß (0 го, ау), |
(г/0, 1/0)= |
(х0у0, x 0yv xpj0, а:^). Тогда Ѳ*(=) = |
|||||||
^ |
det т ® §. |
Отображение |
ß трансверсально регулярно |
вдоль |
|||||
подпространства А (А3) cz А (А4), |
заданного |
уравнением |
м0 + |
||||||
|
ц3 = |
0, и прообразом его является многообразие Я 1а. Отобра |
|||||||
жение |
/ |
X 1, |
согласно лемме, трансверсально регулярно вдоль |
||||||
Н1,1. Поэтому отображение Ѳ(и его ограничение на дМ X Р (А2)) |
|||||||||
трансверсально регулярно вдоль Р (А3). |
|
|
|||||||
|
Тогда |
многообразие L = Ѳ_ 1 (Р (А3)) имеет вид {(т, р/ (т))| |
|||||||
m 6 А/}, |
и композиция отображений v: L —у М X А (А2) ->- М |
||||||||
является диффеоморфизмом. Отображение /': L -у М X Р (А2) — |
|||||||||
-у |
Р (К2) |
можно отождествить с отображением \if: М - у Р (К2),, |
|||||||
а так как р индуцировано отображением А2 |
А2: (а, б) ->-(—б,а), |
||||||||
которое является вращением плоскости на 90°, то р, очевидно, гомотопно тождественному отображению (в классе вращений), причем выбор гомотопии задает изоморфизм расслоений £ и р*|. Касательное расслоение к L является ограничением расслоения
тЛІ © тр(К2 ) — det Таг ® £, |
и |
тР(Кг) Ѳ 1 = |
I |
Ѳ I |
или, экви |
валентно, тр(К2 ) ^ і ® I, |
а |
так как det |
^ |
|, |
то расслоение |
TL изоморфно расслоению ТаГ.
|
Таким образом, относительно единственного «универсального |
|||||||
отождествления» ((А, /'), ср -у) |
совпадает |
с ((М, /), |
ср), и поэтому |
|||||
Ф -А* = 1. ш |
|
|
|
|
|
|
||
|
С л е д с т в и е . |
Для |
всех |
пар клеточных комплексов (А, А) |
||||
группа |
(А, 2) (А, И) |
является прямым слагаемым |
в группе |
|||||
Щ (А, |
А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Таким |
образом, |
показано, |
что |
группа |
||
в |
(А, |
2) (А, А) |
изоморфна |
(при помощи А*) |
подмножеству |
|||
(А, А), состоящему из таких классов кобордизмов, |
предста |
|||||||
вителями которых являются пары многообразие — отображение (М, g), где М — многообразие со сферическим характеристиче ским классом а1 (М). Это совпадает в точности с первоначальным определением Уолла [1], которое не зависит от выбора отображе ния в Р (А2) и эквивалентности расслоений.
П р е д л о ж е н и е . Для |
всех пар клеточных комплексов |
(X, А) диаграмма |
|
(X , А)-----— ->?Г*(Я , 2)(Х, А) |
|
\ |
/ |
е\ |
і / в |
Н*{Х, |
A-, Жк) |
коммутативна. В частности, Жк-класс гомологий представим многообразием с чР (К2)-структурой» тогда и только тогда, когда он представим чнеориентированным» многообразием.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что для каж
дого многообразия М отображение v: L->- М х Р (К2) —>М тако во, что и* [L, dL] — [М, дМ]. Но это является по существу след ствием двойственности Пуанкаре — Лефшеца.
Пусть п = dim М = dim L, группа Нп (М , дМ; Жк) является свободным г к-модулем (по двойственности) и, следовательно, изоморфна группе Н от (Нп {М, дМ; Жк), ~1К) (по теореме об уни версальных коэффициентах). Таким образом, достаточно пока зать, что v* (х) [L, дЬ] = X \М, дМ] для всех х Ç Нп (М, дМ; Жк).
Имеем
у* (х) [L, дЬ] = л* (*) (я*CTj (М) Н- л* (0) [М X Р (К2),дМх Р {К2)]=
= л* (х) л*(і) 1(М, дМ) X P (Z*)];
так как элемент х-о\{М) имеет размерность, большую размерно сти многообразия М, то число v* (х) IL, дЬ] равно числу
X [М, З А Л - і |
[P ( Z 2) ] = X [М, |
дМ]. Я |
Для вычисления групп |
(К , 2) (X , А) |
обычно используют |
точную последовательность Атья [2]. (Доказательство ее, приво димое ниже, принадлежит Уоллу [4].) Для этого необходимо обоб щить потятие подмногообразия, двойственного к линейному рас слоению.
Пусть Мп — компактное |
(BG, р)-многообразие и о — некото |
|
рое А-линейное расслоение |
над |
М. Рассмотрим отображение |
h: М ^ - Р (К °°), такое, что h* (£) ^ |
о. Ввиду компактности много |
|
образия М образ отображения h лежит в P (K s) для некоторого большого S. Отображение h | вм можно прогомотопировать до отображения, трансверсально регулярного вдоль P (K s~s), а за тем, оставляя отображения на границе дМ неподвижными, про гомотопировать h до отображения, трансверсально регулярного вдоль P (K s~s). Тогда многообразие й- 1 (P (Ks~s)) = N является подмногообразием в М коразмерности s -к с нормальным расслое
нием в М, |
изоморфным s-а (изоморфизм над öl). Для каждого t, |
О ^ t ^ s, |
в этом нормальном расслоении можно задать струк- |
ТУРУ /С-векторного расслоения ta + (s — t) а и телі самым ввести (BG, р)-структуру в многообразие N.
Многообразие N известно как подмногообразие, двойствен
ное расслоению ta + (s — і) о. Многообразие N, конечно, не яв ляется единственным, но оно однозначно определено с точностью до выбора различных гомотопий, переводящих h в трансверсаль но регулярное отображение. Два таких трансверсально регуляр ных отображения гомотопны, причем можно сделать гомотопию H: М X I -> Р (Xs) трансверсально регулярной, оставляя ее неизменной на концах. Прообраз трансверсально регулярной
гомотопии является (BG, р)-подмногообразием |
V многообразия |
|
М х І , |
Л |
дает (BG, р)-бор- |
причем отображение V е—> ik fx / —>М |
||
дизм двух представителей. Таким образом, класс бордизмов мно гообразия N в группе Q* (М, дМ) определен однозначно.
Пр е д л о ж е н и е . Существует гомоморфизм
d:Q °(X , A)->Q% (X, А)
степени —2 к, |
переводящий класс |
бордизмов отображения |
/: (М , дМ) (X , А) в класс бордизмов |
композиции |
|
Ъ |
(N, діУ) — -> (М, дМ) |
(X, Л), |
где N — подмногообразие, двойственное расслоению det тдг ® ® (det %м). Далее, последовательность
О2) (X, d ) - % Q “ ( ï , 4 ) —
точна.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала необходимо показать, что гомоморфизм d корректно определен. Пусть дано отображение
H: |
X , dW = |
М U T U (-Л Г), такое,' что Н \м = /, Н\м- = |
= / ', |
ІГ (Z1) с: ^4, |
дТ — дМ [J (—дМ'). Ограничение расслоения |
det %w на M совпадает с det хм, а на М' оно совпадает с det тм--
Следовательно, подмногообразие |
многообразия W, двойственное |
к расслоению det xw ® (det тц,у), |
дает кобордизм представителей, |
определенных многообразиями М и М ' . |
|
Так как построение отображения d может быть проведено неза висимо на каждом слагаемом несвязного объединения, то d являет ся гомоморфизмом.
Докажем точность последовательности.
1) Гомоморфизм F# является мономорфизмом, что следует из
ранее доказанных результатов. |
(X , А) и расслоение det т м |
|
2) d-F* = |
0, ибо если/: (М , дМ) |
|
индуцировано |
отображением в Р (Кг), |
то многообразие (N, dN) |
является прообразом подмногообразия Р (К °), которое представ ляет собой пустое множество.
3)Пусть d (а) = 0 и /: (М, дМ)-+(Х, А) — представитель
класса а. |
Рассмотрим отображение h: М ->• P (К s) для |
большого |
S, такое, |
что h* (£) sé del хм = ц. Без ограничения |
общности |
можно считать, что h трансверсально регулярно вдоль подмного
образия |
P (K s~2) с прообразом N, |
двойственным |
расслоению |
р + р, |
а также трансверсально регулярно вдоль P (Ä S_I) с про |
||
образом L, двойственным расслоению р. [Сначала можно сделать |
|||
h трансверсально регулярным на Р (К |
) и получить в качестве |
||
прообраза подмногообразие N сг М. |
Нормальная |
трубчатая |
|
окрестность Т многообразия N тогда отображается как простран |
|||
ство нормального расслоения в окрестность X' подмногообразия |
|||
р |
р (Ks). Гомотопией отображения h на М — Т можно |
||
добиться, чтобы пространство М — Т отображалось на дополне ние к окрестности éf в P (K s). Так как отображение h |т является трансверсально регулярным вдоль P (Z S_1), можно малой гомо топией отображения й,, неподвижной на Т, перевести h в отобра жение h, трансверсально регулярное на P (Z s-1), неправильным выбором «малости» добиться того, что h (М — Т) не будет пере
секаться с P (i£s_2).] |
|
|
|
|
Так как d (а) = |
0, то отобраяшние /: (N, dN) |
(X, А) являет |
||
ся граничным и существует отображение F: N - у- X, где N есть |
||||
(2?6?,р)-многообразие, dN = (ІѴ U P)/(dN sä dP), F |
= f,F(P) с А. |
|||
Нормальным расслоением многообразия N в L является рас |
||||
слоение (det |
но |
det xN ® detv = (det тм)|№, |
где v = |
|
= р. ® jx — нормальное |
расслоение многообразия |
N в |
M. Рас |
|
слоение det v = det р ® det р = р ® р является |
тривиальным, |
|||
так что нормальным расслоением многообразия N в L является |
||||
расслоение det T n . |
|
|
|
|
Обозначим через U многообразие, полученное из L X / и про |
||||
странства |
расслоения дисков D расслоения (det т-^) отождествле |
||||
нием части пространства D над N с трубчатой окрестностью мно |
|||||
гообразия |
N |
X 1 |
в L x 1. |
Пусть |
U' a U — подмножество |
(L X I) [J |
N, |
где |
N — нулевое |
сечение |
расслоения D (рис. 3). |
Так как N имеет окрестность вида N X [1, 2) в N, то существует сильная деформационная ретракция пространства U на U', кото
рая проектирует пространство расслоения D%_Nx^ 2) на базу |
N |
|||
и стягивает пространство |
ЬѵХ[і, 2 ) |
на .DUxiU N х |
[1, |
2) |
по радиальным направлениям |
из точек |
расслоения сфер 2 |
П | Л - Х 2 |
|
так, как это показано на рис. 4.