Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Полугруппа кобордизмов, соответствующая этой категории,

стабильное векторное расслоение над BG. Имеем (фѵ)* | ^ del т. Любые два отображения (тр-ѵ), полученные таким способом, гомо­ топны, и существует канонический выбор этой гомотопии, опреде­ ленный изоморфизмом любых двух (BG, ^-структур для различ­ ных вложений и выбором гомотопий для отображений ф. Для отоб­ ражения /: М Р (ІС) эквивалентность расслоения /* (|) с рас­ слоением det т можно рассматривать как гомотопию отображе­ ний / іп|)-ѵ. Таким образом, «Р (/^')-структуру>> на многообразии М можно рассматривать как деформацию канонического отобра­ жения в отображение, образ которого лежит в пространстве

Р (ІС).

Так как гомотопия является частным случаем кобордизма, то ясно, что в классе кобордизмов имеет значение лишь гомотопиче­ ский класс эквивалентности, а также что гомотопически эквива­ лентные отображения / дают изоморфные семейства структур (изо­ морфизм зависит от выбора гомотопий). Далее, структура на мно­ гообразии М, индуцированная структурой многообразия М X 1 при проекции на «противоположный конец», определяет, как обычно, структуру на М, обратную к исходной.

Для того чтобы сделать предыдущее рассуждение более стро­ гим и определить указанную категорию кобордизма как некото­ рую (В, /)-категорпго, построим классифицирующее пространство.

Рассмотрим отображение р: BG X Р (К’) ^ Р (К°°), такое, что р* (X) — (det 4L) ф £, и обозначим через В К <Г) пространство рас­ слоения, индуцированное расслоением сферы S (К°°) над проек­ тивным пространством Р (К°°). Получаем коммутативную диа­ грамму

я 2 — проекция иа Р (ІС), таково, что в расслоении det ѵ 0 f* (£) существует каноническая трпвиалнзация (бесконечномерная сфе­ ра S (/Iм) является пространством расслоения на сферы расслое­ ния X, и поэтому расслоение иад ней, индуцированное расслое­ нием X, имеет естественную трпвиализацию) и эту тривиализацию

Интерес к этим теориям кобордпзмов объясняется в первую очередь тем, что они заполняют промежуток между «неориентиро­

ния det т можно деформировать в и-мерный остов, а гомотопшо, заданную двумя различными деформациями, можно деформиро­ вать в (п + 1)-мерный остов. Тем самым на любом многообразии М, dim М = п, существует единственная P (/f'’(-структура, где

тривиализация расслоения det х. Если т является га-мерным век­ торным расслоением со скалярным произведением, то каждый слой V имеет каноническую структуру n-мерного векторного про­ странства со скалярным произведением. Используя это произведе­

если ] Ф к, и

(X, Y) = del I (хі, г/г ) |,

если X — х1/\. . . f\xs, Y = і/іД. . . f\ys. Задав во внешних степе­ нях расслоения эти скалярные произведения, получаем, что тривналнзация расслоения del т может быть представлена как (непре­ рывный) выбор единичного вектора в п-й внешней степени каждого слоя. Но в этом случае структурная группа расслоения т редуци­ руется к группе линейных преобразований пространства V, остав­ ляющих неподвижным единичный вектор пространства Л” (F). Линейное преобразование Г: F —>- F индуцирует на пространстве Ап (F) преобразование, являющееся умножением на детерминант преобразования Т. Следовательно, структурная группа расслое­ ния т редуцируется к группе преобразований с детерминантом 1, т. е. к специальной ортогональной группе или к специальной унитарной группе.

З а м е ч а н и е . Группы W* {К, 1) будем обозначать через Q®G, а пространства В К <-1'>— через BSG. Хотя основной причи­ ной интереса к группам “//'Д (К , г) является задача вычисления группы 5Г, (К , 1), в этой главе будет мало результатов, непосред­ ственно связанных с этой задачей.

3) Первое исследование групп 3 ‘\ (К, г), где г ~ 1 и оо, было проведено Уоллом [1] для К =01. Применяя случай г = 2, кото­ рый можно рассматривать как случай «щ-сферическнх» кобордизмов, он использовал различные связи этой группы кобордпзмов для вычисления 2-примарной части кольца Qf°. Дополнительные результаты можно найти в работах Атья [2] и Уолла [4]. Комплек­ сный случай изучался Коннером и Флойдом [6] по схеме, тесно связанной с работой Уолла (но с использованием методов Атья). Как было указано С. П. Новиковым в связи с изучением спек­ тральной последовательности Адамса с коэффициентами в «неори­ ентированных» кобордизмах (см. Новиков [5], [6]), группы кобордизмов W\. (К, 2) естественно возникают при вычислении групп «ориентированных» кобордизмов.

Связь «Р (Х2)-теории» и теории «о^-сферических» кобордпзмов может быть установлена следующим образом.

зать это, заметим, что (р) = аг (det р), если р — линейное расслоение, и, как уже отмечалось при рассмотрении многообра­

принцип расщепления, индукцией по размерности получаем фор­ мулу (р) = a1 (det р) в общем случае).

Так как P (К2) = S h и аг (£) = і 6 H h (S1'; ~£к), то для объек­ та (М, /) с «Р (,йГ2 )-структурой» существует отображение /: М

ах (Л/) является сферическим, то существует отображение /: М —>-

расслоений полностью определяются их первым ZK-хирактери- стическим классом. Следовательно, существует эквивалентность расслоешш /* (ç) и det т.

4)Случай г > 2 ие представляет специального интереса.

Результаты для К = 51 здесь были получены Дж. Минкусом и Уоллом, но оии ие опубликованы. Подход Атья к теории бордпзмов сводит вычисления к стандартному упражнению.

Полугеометрические методы: (А', 2 )

Пусть (X, А) — некоторая пара клеточных комплексов. Опре­

МР индуцирующее det т. Ввиду компактности много­