Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

{хі} — однородный базис группы II* (X , А; Z) и ff. (М1, дМ1)

—*■(X , А) — отображения квазикомплексных многообразий в (X , А), такие, что fc* ([М , дМ]) = хи то Q* (X , А) является

свободным QÏ-модулем с базисом, состоящим из классов бордизмов [М1, fi].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как группы целочисленных кого­ мологий пары (X , А) ие имеют р-кручения, то операция Q0 дей­ ствует тривиально в группе II* (X , А; £ р), и поэтому группа

H* ((ХІА)f\T B U ; Zр) является свободным ^ р/(^0)-модулем от образующих {а;* ® иа}, где {z*} — базисные элементы, двойствен­ ные к Хі (mod р), и {иа} — базис свободного «5#0/(<?о)-модуля

II* (TBTJ', Zp). Таким образом, группа Q* (X, А) не имеет круче­

каждого простого р, и поэтому индекс группы (іте) в Н*(Х, А \ Z) не делится на р. Таким образом, е является эпиморфизмом. Выбе­ рем классы кобордизмов [Мг, fi], отображающиеся при гомомор­ физме е в Хі. Из рассмотрения спектральной последовательности

пе В*. Элементы Ьш-[Мг, / ;] имеют линейно независимые над полем Zp характеристические числа ch (z,) Sa (е) ff, и, следовательно,

В* является образом свободного Q^-модуля с базисом {[M1, /J}. В частности, набор {[М\ /,•]} дает базис свободного й^-модуля

а* ( х ,4 ) . ■

Сл е д с т в и е . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют кручения. Тогда характеристические Z-когомологические числа полностью

определяют класс бордизмов из группы Qlf (X, А). Кроме того, все соотношения между этими числами получаются из К-теории.

Последнее утверждение, если говорить кратко, означает сле­ дующее: для отображения /: (М, дМ) ->■ (X, И) определены обобщенные числа Чжэня по формуле /* ( х ) (т) [М, дМ],

Небольшое изменение в доказательстве предыдущей теоремы позволяет получить те нее результаты при наличии кручения толь­ ко определенного вида.

Т е о р е м а . Пустъ (X , А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют р-кручения для р £ Р' (где Р' — множество простых чисел), и пусть Ç' £ Ос — мно­ жество рациональных чисел, знаменатели которых в несократи­ мом виде дроби взаимно просты с числами из множества Р ' . Тогда QU (X , А) (g> Q' является свободным (Qÿ ® (У)-модулем, изо­ морфным модулю Я* (X, A; Z) ® QJj' <g> Q' . В частности, коядро гомоморфизма вычисления является конечной группой порядка, взаимно простого с р для всех р £ Р'.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Повторяя предыдущее доказатель­ ство, но используя только простые числа р, принадлежащие мно­ жеству Р ', получим, что группа (X , А) не имеет ц-кручения и что группа сокет (е) является конечной порядка, взаимно про­ стого с р для р £ Р ' . Выберем тогда классы х . £ Я* (X, А), кото­ рые образуют свободный базис группы Я* (X , А) ® Q', и отобра­

жения (Ар, fi), реализующие классы ПіХі, где — £ Q'. При дока-

® (/, можно предположить, что (X, А) является парой конечных комплексов. (Для доказательства того, что модуль является сво­ бодным до размерности п, можно взять ограничение на (п + 1)- мерные остовы комплексов X и А. Это не вносит новых элементов конечного порядка и индуцирует изоморфизм с группой Оі/ (X, А) в размерностях, меньших или равных п.) Используя теперь, что все дифференциалы в спектральной последовательности Атья — Хпрцебруха (Атья п Хирцебрух [2]) имеют конечный порядок,

компоненту степени, равной dim х-„ причем ch (zf) [хц] = m-, £ Z,

~ T Q\ a значение числа ch (zt) на всех других xj той же самой

или более низкой размерности равно нулю. Обозначим через В # подгруппу в Я* ((ХІА) X ЯЯ; Z), определяемую условием целочисленности выражения ch (z;) Sa (е) сТ [х] для всех х и со; тогда, повторяя рассуждения из доказательства -теоремы, получаем, что группа ОД ® Z {(М l, /,)}сг QU (X, А)с= Я* имеет конечный индекс в Я* порядка, взаимно простого с р для всех р £ Я'. ■

С л е д с т в и е . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют р-кручения. Тогда й£( (X, /1) (g) Zp является свободным (Й^ ® Жр)-людулем, изоморфным модулю H* (X, A) <g> й^ ® Zp.

С л е д с т в и е . Пустъ группы H* (X, А; Z) не имеют р-кру­ чения для всех р Ç Р '. Тогда обобщенные числа Чжэня определяют класс бордизмов с точностью до элементов конечного порядка, взаимно простого со всеми р Ç Р ' . Далее, все р-примарные соотно­ шения между этими числами следуют из К-теории конечных осто­ вов пары (X, А).

Следует отметить, что результаты, касающиеся р-примарных явлении, верны и для пространств с р-кручением в целочислен­ ных гомологиях, если рассматривать только такие размерности, что все кручение сосредоточено выше, поскольку в этом случае можно перейти к ограничению на остовы.

3 а м е ч а и и е. Выше мы всюду предполагали (неявно), что пара (X, А) имеет конечный тип. Заметим, что группа К (X, А) может быть пулевой, в то время как if-группы конечных остовов пары (X, А) не обязательно нулевые. В последнем следствии для определения соотношений по модулю простого числа р и его сте­ пеней нужно взять остов большой размерности (вид соотношений не зависит от выбора остова). В работе Ходжкина [1] показано,

теория в отличие от гомологий и бордизмов не является тесно связанной с разложением пространства X на остовы Хп (3).

Лаидвебер [4] исследовал гомоморфизм й J (Х')^>-Л* (X; Z) для X = К (Zp, п), К (Z, п) и BU (2q, . . ., оо) (связное накрытие пространства BU) в стабильной области, интересуясь, разумеется, только элементами конечного порядка. Он полностью вычислил образ гомоморфизма, но этот результат не определяет группы бордизмов, так как в рассматриваемом случае существуют нетри­ виальные расширения.

ГЛАВА VIII

^-ОГРАНИЧЕННЫЕ КОБОРДИЗМЫ

Пусть К — одно из полей !Ч или С. Рассмотрим n-мерное /ѵ-век­ торное расслоение р. Детерминантом расслоения р, (обозначение

®к Лк (р')і т- 6- детерминант суммы Уитни расслоений равен произведению детерминантов слагаемых. Это свойство в сочета­ нии с тем, что det р = р, если р — линейное расслоение, дает формулу det (р 0 1) SÉ det р ® 1 = det р, позволяющую опре­ делить детерминант стабильных /С-векториых расслоений, т. е. детерминант элементов Л-функтора.

Для любого целого числа г ^ 1 можно образовать категорию кобордизма многообразий с «Р (Л')-структурой» следующим образом:

1)объект состоит из

a)компактного многообразия М с фиксированной структурой /Г-векторного расслоения на стабильном касательном расслоении (эквивалентно на нормальном расслоении), т. е. (BG, ^-многооб­

является тривиальным линейным расслоением, и эта эквивалент­ ность есть просто тривиализация.]

2)Морфизмом ср: (М' , /') -»- (М , /) является вложение ср с тривиализацией нормального расслоения, согласованной с касатель­ ными /Г-расслоениями многообразий (т. е. морфизм в категории (BG, g)-MHoroo6pa3HÜ), такое, что /' = /ср и эквивалентность расслоений /'*£ и det х' совпадает с ограничеиим на М эквива­ лентности расслоений /* | и det т.

3)Граничный функтор сопоставляет многообразию М его гра­ ницу со структурой, индуцированной тривиализацией нормаль­ ного расслоения, заданной внутренней нормалью. Естественное преобразование вложения определяется обычным вложением с три­ виализацией, заданной внутренней нормалью.