Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Касательное расслоение пространства D является расслоением,

ляемое ядрами дифференциала проекции р; ортогональное допол­

U -у U' дает отображение F: U -у X, совпадающее на U' с F . Граница многообразия U имеет три части: L X 0, (дЬ х I) U U (D |р) и ((L X 1) — ((окрестность N ) X 1) U (расслоение сфер

расслоения D) = L' (рис. 5), и (3L X I) (J D\P отображается

в А, задавая кобордизм отображений f\L и F\L'-

Так как S — большое число, то можно предположить, что рас­ слоение det индуцировано отображением многообразия N

в P (K s~2), которое совпадает на N с отображением /i|^ и, следо­ вательно, имеет продолжение до отображения расслоений D -у -у P (Zs_1), переводящего D в трубчатую окрестность подмного­ образия P (K s~2)cz P (Кs_1) и совпадающего с h -яр L х I -у —у P (/rs_1) в общей области определения. Это дает отображение

H : U -у- Р (i?s_1), трансверсально регулярное вдоль P (Ks~2) (с прообразом N \J N X I). Обозначим через ц расслоение над U, индуцированное расслоением | при отображении Н.

Таким образом, / х h: (L, dL)-y{X X P (/fs-1), А X P (/Cs_1)) является (BG, р)-кобордантным отображению

F X Н |ь.: (L', dU) -у (X X Р (Xs' 1), А X Р {Xs -1))

151

и линейное расслоение р, над L ' , индуцированное расслоением £ над P (/v's_1), является тривиальным (расслоение | Ip ^ s - i^ p ^ - s ^

тривиально).

Далее, нормальным расслоением многообразия L в М является расслоение det ти |ь = ЦьПостроим многообразие W из объеди­

{ )

L

РИС. б

нения расслоения на диски Е расслоения р и многообразия М х

заданную структурами многообразий М X [1, 0] и Е (согласован­

ными на пересечении), и отображение H : U -> P {Ks~l) продол­ жается до послойного отображения пространства расслоения Е

в трубчатую окрестность подмногообразия P (Ks~i) в P (K s)

и, следовательно, задает отображение H: W -v P (Ks). Отображение Н является трансверсально регулярным на

P (Ks~1) с прообразом U (J L X [—1, 0] н трансверсально регу­

лярным на P (Ks~2) с прообразом N (J N X [0, 1] (J N X [—1, 0]. Кроме того, отображение II классифицирует расслоение det xw. [Это очевидно на.подмногообразии М X [—1, 0]. Для Е имеем

det тЕ ^ я*р ® л* det хи, но для части многообразия U над N

Таким образом, получаем кобордизм отображения/: (М, дМ) —у -у (X , .4) с отображением /': (М', дМ') -ѵ (X , /1), для которого /V' — пустое множество и расслоение det хці'\и тривиально.

Рассмотрим теперь отображение h’: М' -у P (Ks), трансвер­ сально регулярное на Р (Xs-1) с прообразом U , такое, что рас­ слоение h'* (|)|L' тривиально. Так как P (X s) = Т (£) н Т (£) —

— Р (/£s_1) — стягиваемое пространство, то отображение h' мож-

нормальное расслоение многообразия L' в М' и h": U -у P (/vs_I)

— классифицирующее отображение расслоения /і'*(|) \и- Так как это расслоение тривиально, то /г" гомотопно отображению в точ­ ку, и, следовательно, h’ гомотопно отображению в пространство Тома расслоения над точкой, т. е. в к-мерную сферу.

Таким образом, показано, что класс кобордизмов отображения

физмом.

Для начала рассмотрим гладкое Х-векторпое расслоение £

{(я, У) € S (I) X Е (£) |pW=p(I/); X J_ у}/(х, у) ~ (to, іу).

Пусть X — каноническое линейное расслоение над Р (£). Про­ странство Е (X) можно отождествить с пространством пар (х , s) 6 £ S (I) X К, представляющих точки sx на линиях [я], где (х, s) ~

~ (to, st), а пространство Е (X) — с пространством пар (х, s) Ç

Ç S (I) X К, где (X, s) ~ (to, ts) (отображение (х , s) -у (х , s) опре­ деляет сопряженный линейный изоморфизм расслоений).

Тогда пространство Е (X ® р* (£)) можно отождествить с про­

пространства S (£')с= S (£)cr Е (£') X К, и дополнение трубча­ той окрестности многообразия Р (£') является факторпростран-

-у [(0m, 1)]. Следовательно, расслоение X индуцируется расслое­ нием над пространством Тома нормального расслоения подмного­ образия Р (£'), поэтому Р (£') является подмногообразием много­

образия Р (£), двойственным расслоению X (или X, в зависимости

X ® л"* (р) = 1, и л" является изоморфизмом (BG, р)-многообра- зий. ■

Таким образом, группу (К , 2) (X , ^4) можно определить как ядро гомоморфизма d. В частности, если /: (М, дМ) - у (X , А) — представитель некоторого класса бордизмов из группы (X, А) и (iV, dN) — подмногообразие в (М , dM), двойственное расслоению

и многообразие (N, dN) двойственно коциклу —Оі (М )2. Для любого X £ H* (X , А ; ~£к) получаем формулу

{х-са (N)} IN, dN] = ~ { Р а (о, (М))-оі (М)*-*} ГАГ, ЭМ],

бордизмов ((IV, dN), /) равны нулю тогда и только тогда, когда все характеристические числа классов бордизмов ((М , dM), /),.

содержащие множителем di (М)2, равны нулю. (Доказательство проводится индукцией но числу щ-множителей в характеристиче­ ском классе сгш.) Следовательно, если Жя-характеристические числа определяют классы борднзмов в (X , А), то группу W* {К, 2) (X , А) можно определить в терминах характеристических чисел.

Более общо, обозначим через 7/’* {К, 7-) {X, А) с: (X , А) группу классов борднзмов [М, g], у которых все обобщенные Z/t- характеристнческие числа

сги (ты) и g* (х) [М, дМ\

для X £ H* (X, A; ZK), содержащие множителем а\, равны нулю. Так как а, (£Д = 0 в H* (Р (Кг); Жк), то F* {7Г* {К, г) {X, Л)} с

с7Г* (К, г) (X, А). Имеет место следующее

Пр е д л о ж е н и е . Если а £ ТС' (К, 2) (X, А), тпо классы •бордизмов Ф (а) и а имеют одни и те же обобщенные 1 ,^характе­

£ H* (X, А; Zjf), и пусть М' с: М X Р (К2) — подмногообразие, двойственное классу когомологий щ (М)-р а, где а Ç И к (Р (К2); Тк)

— обычный образующий, a [P (X2)] = 1. Рассмотрим компози­ цию отображений

Тогда о (М')=о(М) (l-j-a)2/{l -pa-pCTj (M)}&g* (x)= f* (x)®i=f*(x), где опущены бесполезные обозначения тензорного произведения

1 ) и гомоморфизма ограничения.

Далее, а2 —0 и, вычисляя по модулю а2, получаем

(1 -р а )2/(1 —1~ ot —р Oj) — (1 -p 2a) (1 — a — 04 -p 2aOi) —

= 1 - p ( a — Ci).