Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

как [RP (2(+ ! ) ] 2 ^

[СР (2'+1)] и [ІѴ1^] = [Лг ^ ] 2

в кольце %*, то класс

кобордизыов [Лг^ —СР(2'+1)2]

отображается в нуль кольца 9Î*

и,

следовательно,

принадлежит идеалу, порожденному числом 2

и

элементами

k2s- r

Таким

образом,

[VVl^] = [CJP(2(+1 )]2 -f-

+

[іѵ С _ с^(2 '+ і)2], т. е. (б2 8 +і) 2

+ с2 5 +2 € 7 Г*(С, 2) ® Z2.

 

С л е д с т в и е .

При естественном гомоморфизме F*: —>•

прямое слагаемое “7//Д (С,

2) отображается в точности на квадра­

ты элементов из

(31,

2

).

 

 

 

Связь между “7/’* ( К ,

2)

и Q |G. Полугеометрпческпе методы

Важность групп Ж* (К, 2) заключается в их связи с группами £2 ®°, которая выражается следующим образом:

Т е о р е м а . Для каждой пары клеточных комплексов (X , А) существует точная последовательность

Q f (Z, А )---- Η » Q f (X, А)

\ а

\

7Г Д К , 2){Х, А)

в которой гомоморфизм р (степени 0 ) переводит ориентированное

G-многообразие

в

само

это

многообразие,

рассматриваемое как

7 /

[К, 2 )-многообразие;

гомоморфизм д (степени

( —к)) перево­

дит

пару

(M ,f) в пару

(N, f-j),

где у: N с—> М — вложение под­

многообразия,

двойственного

расслоению

det х м,

и

расслоение

det тЛ: тривиализовано

при

помощи отождествления расслоений

det

® det т м ^

det (тл- © v) ^

det г м,

где ѵ — нормальное

расслоение подмногообразия

N

в

М; гомоморфизм

t (степени

(к — 1 ))

является гомоморфизмом умножения на

фиксированный

класс [5К_1, о] Ç Q f, где о есть SG-структура на сфрре 6 ”‘_1.

З а м е ч а н и я . Первое доказательство теоремы такого типа было дано Рохлиным [2], который доказал точность последова­

тельности Qs^° —*■

[1]

9t*. Его доказательство было улучшено

Дольдом

[3].

Уолл

доказал

точность

последовательности

Ï

"

і

2 ),

a затем

улучшил

свое доказательство

Q f°—>

-н>■W* (51,

в работе [4]. Аналог результата Рохлина для групп бордизмов клеточных комплексов был получен Коннером и Флойдом [3],

которые доказали точность последовательности £2Н; (А, А) Q®° (X, А) -> 92* (X, А). Точность последовательности в ком­

плексном случае была доказана Коннером и Флойдом [6 ] путем модификации доказательства, данного Атья [2] в вещественном случае.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) др = 0.

Пусть дано отображение

/: (М, дМ)

(X , А). Если det т м — тривиализованное расслое­

ние, то многообразие N является пустым множеством, и, следова­

тельно,

[А, /•/] — нулевой

класс бордизмов.

 

 

 

 

2) Пусть

дх = 0

и /: (М,

дМ)

(X ,

А) — представитель

класса

х.

Так

как

х £ W* (К , 2) (X , А),

то

подмногообразие

у. N с -» М , двойственное расслоению det тм, получается как про­

образ отображения h: М -ѵ Р (К2), трансверсально регулярного

в точке Р (К 1). Таким образом,

расслоение

det тм|іѵ имеет есте­

ственную тривиализацию. Так как дх =

0, то существует отобра­

жение L: U

X ориентированного G-многообразия в X, причем

dU = N \J(—P)/(dN sé дР),

L \N = / • /

и L { P ) a A .

Обозначим

через V многообразие, полученное из объединения М

X I

и D,

где D — расслоение дисков тривиального ÜT-линейного расслое­

ния над

U,

отождествлением

с

трубчатой окрестностью

подмногообразия N X 1 в М X 1. Как и выше, можно показать,

что V

имеет

GG-структуру

и

существует отображение

V

X,

продолжающее отображения / -я* и L при помощи ретракции. Рас­

слоение det тѵ индуцировано отображением в Р (К2), совпадаю­

щим на М X I с отображением h -щ и переводящим D =

U X DK

в трубчатую

окрестность многообразия h (N).

Таким

образом,

построен кобордизм отображения /: (М , дМ)

{X, А) с некото­

рым отображением

(М ', дМ')

(X , А), для которого многооб­

разие

N'

является

пустым

множеством. Так

как пространство

Р (К2) — pt стягиваемо, то расслоение det тм>может быть три-

виализовано,

и,

следовательно, класс

х имеет представителем

GG-многообразие.

 

/:

(М , дМ) ->- (X,

А) — представитель

3)

 

Пусть

ру — 0 и

класса у, где М — ориентированное многообразие. Тогда суще­ ствуют GG-многообразие U, такое, что дѴ = М [](—Р)І(дМs^dP),

отображение F:

U

X, совпадающее

на

М с /

и пере­

водящее Р в А,

ш отображение h: U

P (К2),

h* (g) =

det хи,

переводящее М в точку g Ç Р (А2), определяя тем самым тривиализацию расслоения det т^. Пусть и £ Р (К2) — некоторая другая

точка; продеформируем отображение h до отображения h, транс­ версально регулярного в точке и, оставляя в процессе деформации отображение h \м неизменным. Положим L — h' 1 (и). Тогда L a U является подмногообразием с тривиализованным нормальным

расслоением, и дЬ содержится в Р. Пусть L X D* — трубчатая окрестность многообразия L, отображающаяся при h в диск DK с центром в точке и (с помощью проекции), где DKа Р (К2)

1 1 — 0 1 0 2 4

ие содержит точку q, и пусть W = U — (внутренность (L X /)*)). Так как расслоение £ тривиально над Р (iS?) — и, то W имеет GG-структуру, задаваемую тривиализацией | |р(к2 )-«- С точ­ ностью до гомотопин отображения F можно предположить, что отображение F |Lx£)K совпадает с композицией проекции па L

и отображения F\b, так как окрестность L X D Kможно дефор­ мировать на L. Таким образом, отображение F |w: W X задает GG-кобордизм отображения /: (М, 971/) ->■ (X , А) с отображением g: (L X GK-1, dL X SK~1) -*■ {X, А), которое разлагается в ком­ позицию с проекцией на L. Трпвиалпзация нормального расслое­ ния к L в U и трнвналнзация расслоения clet |ь задают на L GG-структуру, и каждый слой GK - 1 имеет GG-структуру, получен­ ную следующим образом: вложение cp: DK->- Р (К2) дает GGструктуру на GK_1, полученную тривиализацией нормального

расслоения ср*£, определенной деформацией GK _ 1 в точку про­ странства Р (К2) — ф (0). Таким образом, у = tz, где z — класс бордизмов, представленный отображением F \L: (L, дЬ) -+■ (X , А).

З а м е ч а н и е . В доказательстве Уолла не используется,

что расслоение detr^ индуцируется отображением в

Р (ЯІ2).

Сначала он получает, что 71/ ~

V, где V — двулистное накрытие

L = /г- 1 (и),

h: U

Р (К "), а

потом показывает, что V ~ 2L.

4) pf =

0.

Имеем

р' ([G*-1, оі-(ІИ",

/)) = р' ([GK_1,

о])-

•р' ((71/, /)),

где р': QfG(Z, A)-*- fiG(Х ,А )

—канонический

гомо­

морфизм забывания. Так как класс кобордпзмов [G*-1, о] равен

нулю

в группе QG,

то

р'tx

= 0 .

Но

F //'* (//,

2)(Х,И)->-

-V QG(X , И) является мономорфизмом, поэтому рtx =

0 .

5)

td — 0. Пусть /:

(71/, дМ)

(X, И) — представитель эле­

мента группы Jj

(К,

2) и /г: М ->■ Р (К2) — отображение, транс­

версально

регулярное

вдоль Р {К1), такое, что подмногообразие

/: N с —>- 71/ есть

/г- 1

(і3 (is?)).

Пусть

79к — окрестность точки

Р (К1)

и

ТУ X DK— трубчатая

окрестность подмногообразия

N cz М, ограничение на которую отображения h совпадает с проек­

цией на

Прогомотопируем отображение / так, чтобы / \NXDK

совпадало

с композицией проекции N X D K—>-TV и отображения

/ IJVПоложим W = 71/ — (внутренность (N X Z)”)) и тривиализуем расслоение det xw, используя гомотопию отображения h \w

с отображением

в точку пространства P (К2) — Р (К1). Тогда

пара'(РУ, f \w)

дает

кобордизм

в группе QgG(X, А) пары

[GK_1, о] -(7V, /

|дг) и

отображения

пустого множества.

6 ) Пусть tx — 0 и /: (71/, 971/)

(X, Н) — представитель клас­

са GG-бордизмов X. Отображение /-я: [G’“-1 , о] •(71/, 971/) -v (X, А) кобордантно нулю, пусть его кобордизм нулю задается отобра-

жением

F: U-+-X, dU = М X 5 ' ' - 1 U (—P), F |Мх8 к- і = f-n,

F (P) a

A. Начиная с отображения в точку H: U P ( K 2) (в точку

пространства (P (К 2) — DK), где D* — окрестность точки P (К1)), задающего тривиализадию расслоения det Тц, можно, используя трубчатую окрестность, прогомотопировать отображение Н в про­

странстве (Р (К 2) — Dr'), так, чтобы его ограничение на М X 6,,г_1

совпало с

композицией проекции и стандартного вложения

М

X JSk_1

dD'\ Обозначим через W многообразие,

полученное из объединения

U и М X В к отождествлением вдоль

М

X б1”-1,

и продолжим

отображение F: U X при помощи

f- n M на М

X D h, определяя тем самым отображение F’: W -v X.

Обычная проекция М X D,1 D 7' и отображение И согласованы

на М X и вместе, определяют отображение h: W ->- Р (К2), индуцирующее расслоение det Tw . Так как граница dW = P (J

U дМ X D%отображается в А,

то отображение F': (РИ, dW)

-*-(Х, А)

есть представитель

элемента

группы 5F* (К, 2) (X , А).

Так как

отображение

h: W

/),

Р {К2)

трансверсально на точке

Р (К1),

то д (W , F') =

(М ,

и, следовательно, пара (М , /)

является представителем класса бордизмов из образа гомо­ морфизма д. в

Связь с группами бордизмов

Прежде чем продолжить исследование структуры ориентиро­ ванных кобордизмов, которому будут посвящены последующие главы, по-видимому, полезно изучить подход Атья [2] к рассмот­ ренной выше точной последовательности.

П р е д л о ж е н и е .

Для г > 1

 

(К , г) (X,

А) -

(Р (Кг+І) Д (Х/А)).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим отображение /:

BSG X

X Р ( І С ) В К (г>, классифицирующее расслоение 4L 0

отоб­

ражение р : В К (г)->- Р (К г), классифицирующее'расслоение det f ,

и

отображение q:

PSG, классифицирующее расслоение

Т

— det Т - Положим

g — (q X р) -А: В KW-*- BSG X P (Xr).

Тогда отображения fg и gf оба гомотопны тождественному отобра­ жению, так как они оба классифицируют универсальные расслое­ ния. Таким образом, пространство BKW можно отождествить с пространством BSG X Р (К т) и универсальное расслоение над BKW — с расслоением 4L 0 Пространством Тома расслоения £ является пространство Р (і£г+1), поэтому в пределе пространство

ТВК[Г) эквивалентно пространству TBSGs_i f\ Tt, = TBSGs_i Д

И *

Смотрите также файлы