Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

так как,ввиду единственности ориентации пространства Тома //О-фуидаментальный классдолжен совпадать с фундаменталь­ ным классом, определяемым комплексной структурой. Следова­ тельно, набор многообразий {СР (2і)} дает искомый набор 4і-

П р е д л о ж е н и е . Рассмотрим гомоморфизм

где гомоморфизм S,., индуцирован функтором забывания и я — обычная проекция. Тогда (ядро у) является идеалом, порожденным классами кобордизмов, размерность которых не делится на 4, а (коядро у) является конечной группой нечетного порядка ( в каж­ дой размерности).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как характеристические числа Понтрягина являются целочисленными инвариантами, то они обращаются в нуль на элементах конечного порядка, и гомомор­ физм

полученный приведением чисел Понтрягина по модулю 2, разла­ гается в композицию гомоморфизмов, первым из которых является проекция л. Так как числа S U) {<§>(т)) [СР (2і)] нечетны, то гомо­ морфизм

ного индекса. Так как Q?°+2/Tors = 0, то (ядро у) содержит идеал, порожденный классами, размерность которых не делится на 4, но тогда из сравнения рангов сразу следует, что (ядро у) совпадает с этим идеалом, в

П р е д л о ж е н и е . Отображение /: BSp -*■ BSO, классифи­ цирующее универсальное кватернионное векторное расслоение, рас­ сматриваемое как ориентированное векторное расслоение, являет­ ся гомотопической эквивалентностью по модулю класса Серра- 2 -примарных конечных групп.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Известно, что Н* (BSp\ Ж) =

= Z[(Pi], где <§>І есть і-й симплектический класс Понтрягина универсального расслоения 4L. Если рассматривать 4L простокак комплексное расслоение, то его классы Чжэия сгі связаны

физме /* и теорему об изоморфизме Тома, получаем, что отобра­ жение Tf: TBSp„ -+■ TBSO,l7t индуцирует изоморфизм групп Zpкогомологпй для всех простых нечетных р в размерностях, мень­ ших 8 ?г. Тогда по обобщенной теореме Уайтхеда гомоморфизм (У/)# в гомотопических группах соответствующих размерностей является изоморфизмом по модулю 2 -примарных конечных групп. Поэтому для завершения доказательства достаточно применить

где У* и 5* — гомоморфизмы, индуцированные соответствующими функторами забывания, получаем следующий результат:

по модулю 2 -прнмарных конечных групп, а группа й* не имеет кручения, то ни группа й®р, ни группа й*° не имеют элементов нечетного порядка, ш

Т е о р е м а. Гомоморфизм

имеет в каждой размерности коядром 2 -примарную группу, и, сле­ довательно, у также имеет коядром 2-примарную группу. Но это противоречит предыдущему результату, согласно которому у в каждой размерности имеет коядром конечную группу нечетного порядка. Таким образом, гомоморфизм у является эпиморфиз­ мом. в

торкольцу кольца й* по идеалу, порожденному классами кобор-

Дизмов, размерность которых не делится на 4. Поэтому Qf°/Tors является кольцом полиномов, и его образующие характеризуются своими 5-числами. Указанные значения 5-чисел образующих х, непосредственно получаются из значений 5-чисел для образую­ щих комплексных кобордизмов, ■так как если М п — квазиком­

плексное многообразие и с (М) = Q ( 1 + аД, где — формаль­

Для вычисления 2-примариой структуры кольца й®° полезно использовать точную последовательность

йВО t й!° ^ 'Z /'ЛЯ , 2 )

в которой t является гомоморфизмом умножения на 2 ([5°, о] — это две точки, каждая из которых положительно ориентирована).

Обозначим через

то получим

д %2т-і —О,

д Х 2т — % 2т -и

ЗД, следовательно, д' является дифференцированием. Так как

д'д' = рдрд и До = 0 , то (д' ) 2 = 0 .

Вычислим значение д' на образующих кольца W * (31, 2). Многообразие N, представляющее класс (x2s)2, кобордантно

Так как wi (M) = al, то класс д’ [М] представлен подмногообра­ зием, двойственным (М), т. е. подмногообразием в RP (1) X X RP (2Р) X RP (2р+1 $г), двойственным классу когомологий

«j (а , + (2р - Ы ) а 2 + (2р+1д + 1) а3) = а, ((2Р + 1) а 2 + (2р+1<? + 1) а3),

так как а2 = 0. Подмногообразием в RP (1) x R P (2Р) X RP (2p+1 q),

двойственным аи является многообразие RP (2Р) X RP (2р+1д), поэтому д' [М] есть в точности х2т-і• Так как (д' ) 2 = 0, то

д'х2т -і — 0. а

его кольцо гомологий изоморфно ему самому.

Применяя теперь теорему Кюннета о гомологиях тензорного произведения дифференциальных колец, получаем утверждение следствия. Ш

П р е д л о ж е н и е . pQS° = ^ег ^ = ker •

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что композиция гомомор­ физмов ker д с —>ker д' -v ker 37im д' является эпиморфизмом. Если а £ ker д'!im д' , то существует класс б 6 31*, такой, что Ъ2