Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Д Р (К г+1). Таким образом,

5Гп (К, г) (X, А) ^ Н т JT„+KS(Ш < г) Д (Х/А)) s

S ~ > o o

- lim яп+КІ (T B S G Д P (K r+l) Д (ХМ)) s

S-+0O

^ Q nG+r,(Ps (K r+i) f\(X/A)). в

Имеет место последовательность корасслоений

{ S K = )P (/Г2) -v i> (К3) - у ( S 2K = ) Р (К3)/Р (К2) Л 2 S ,; ( = £ к+*),

взяв приведенное произведение которой с пространством {Х/А)

и применив функтор Q®,G( ), мы получим точную последова­ тельность

(SKД {Х/А)) - у ÜiG(Р (К3) Д (ХМ)) + й і° (S2Kд (ХМ))

где крайние отождествления ^ определяются изоморфизмами над­ строек. Эта последовательность совпадает с точной последователь­ ностью Рохлина — Уолла. Гомоморфизм t в этой последователь­ ности интерпретируется как умножение на класс оснащенных коборднзмов, представленный отображением а: S 2'1 -у S k+1, являю­ щимся надстройкой над отображением, при помощи которого получается Р {К3) приклеиванием 2&-мерной клетки к сфере S h.

Для того чтобы получить последовательность Атья, нам пона­ добятся следующие две леммы:

JI е м м а 1. Пространство Р (Кт+п)/Р (Кт) является комплек­ сом Тома расслоения ml, над Р (К п).

f{tx, ty) = t ’f(x, у), и, следовательно, отображение / эквивариантно

Л е м м а 2. Пусть \ — расслоение, двойственное каноническому расслоению над Р (Кт). Тогда

&nG((ХМ) Л Г (g ® g Ѳ D) s Wn-зпіК, m) (X, A).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как расслоение £ © £ естест­ венно ориентировано, то существует отображение /: BSGs X

не больших ns. [Используя индуцированные расслоения, можно получить этот факт из стабилизации пространств BSGt. Отобра­ жения

дают изоморфизм гомотопических групп в малых размерностях.] Таким образом, в пределе получаем

=йпН2 к((х /и )д р (л :т+1)) =

=5Гп-зк (Ä , /n )(Z , И ).и

Рассмотрим теперь корасслоение

Р (К3) -► P (/Г,+3) -► Р (Кп+3)/Р (К3).

Взяв приведенное произведение его с пространством ( Х / А ) и при­ менив функтор Q^G( ), мы получим точную последовательность

которая после устремления n к oo дает длинную точную после­ довательность

W m -K(K, 2)(X, A ) - + Q & - K ( X , А ) + Q i - 3 n ( X , А ) - *

( К , 2) ( X , И) - > . . . ,

так как для больших п имеет место изоморфизм fflm(K, n) (X, А) =

= (X, А ) . Эта последовательность расщепляется, давая после­ довательность Атья, но доказательство расщепления требует одного из предыдущих рассуждений.

б

где отображение S имеет степень —1. Это есть один из способов вводить Zp-коэффициенты в теории гомологий, определенные спектром. (Другой способ — использовать гомотопии с Zp-коэффи- циентами вместо обычных гомотопий.) При данном определении

с Zг-кoэффициeнтaмп. На это обратил мое внимание Д. Сулливан,

5Г*(К, 2 ) - L + J T A K , п + 2 )

\ / *'\

tг* {К, п)

Композиция гомоморфизмов

W , (К, 2 ) Л Ж А К , П + 2 ) ^ QO X W A K , 2 )

дает тождественный гомоморфизм, поэтому эта последователь­ ность расщепляется. Таким образом, W \ (К , п + 2)~ (К, 2)® ® W \ {К, п), и поэтому группы W \ {К, п) вычисляются индук­ тивно.

ГЛАВА IX

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ К0Б0РДИЗМ Ы

После задали неориентированных кобордизмов наиболее инте­ ресной задачей кобордизмов гладких многообразий является клас­ сификационная задача кобордизмов ориентированных многообра­ зий, где термин «ориентированный» понимается в классическом смысле.

Существует много эквивалентных описаний ориентации много­ образия, согласно которым ориентацией многообразия называется a) тривиализация детерминанта касательного (или нормаль­

ного) расслоения;

B) приведение структурной группы касательного (или нормаль­ ного) расслоения к специальной ортогональной группе;

c)ориентация в целочисленных когомологиях касательного (или нормального) расслоения в смысле Дольда;

d)ориентация фундаментального класса в целочисленных гомологиях в смысле Уайтхеда.

Помимо естественного желания классифицировать ориентиро­ ванные многообразия, есть еще одна причина, привлекающая внимание к ориентированным кобордизмам. А именно, определе­ ние d) указывает иа связь между ориентированными бордизмами

ицелочисленными гомологиями, и полное исследование этой связи весьма желательно для понимания геометрического смысла целочисленных гомологий.

Исследование ориентированных кобордизмов является очень сложной задачей, и основные этапы ее решения выглядят сле­ дующим образом:

1)Сведение к гомотопической задаче и вычисление кольца

£2®° ig) О,, где Q, — поле рациональных чисел (Том [2]).

2)Вычисление нечетного кручения и кольца Q®°/Tors (Милнор [5], Авербух [1] и Новиков [2]).

3)Вычисление 2-кручения (Уолл [1]).

Используя любое из определений а) или ѣ), получаем, что классифицирующим пространством для касательных расслоений n-мерных ориентированных многообразий является пространство BSOn, и, применяя теорему Понтрягина — Тома, получаем, что

= lim nn+s (TBSOs, оо).

S— >СО

Вычисление гомологий пространства BSOn позволяет полу­ чить следующую теорему:

Т е о р е м а. Группа Q® 0 конечно порождена и ® Q. является кольцом полиномов над полем рациональных чисел от классов кобордизмов комплексных проективных пространств СР ( 2 і).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как показано в гл. V, существуют однозначно определенные классы ориентации Uг 6 H r (TBSOr\ Z), совокупность которых задает Z-когомологическую ориентацию U: TB SO ->- К (Z). По теореме об изоморфизме Тома группа

Н п (TBSO) Z) = lim H n+r (TBSOr, оо; Z) изоморфна группе

г—мо

Н п (BSOj.; Z) для достаточно большого г, ввиду стабилизации этих групп по г, и поэтому конечно порождена. Так как простран­ ство TBSOr является (г — 1)-связиым, то по теореме Серра гомо­

в остальных случаях. Гомоморфизм ßf° ® Сi-*-H„.(BSO', Q.) является изоморфизмом колец. По формуле для диагонали Д (£рг) =

= 2 f i ® fh кольцо Й*° ® Q, является кольцом полиномов j+!i=i

от 4г-мерных образующих^;, которые характеризуются условием £<;,($>) [хц]=г=0 , где 5,;,(§>)—примитивный класс в размерности 4і.

Для касательного расслоения т к многообразию СР (2і) имеет

dimß; = 2, то примитивный класс Sa> (f) имеет вид 2 ß?1- Таким, образом,

S<i>(f)(v) [СР{2і)] = —5 (;)(^)(т;)[СГ,(2і)]= (ввиду примитивности)

= —(2 г + 1 ) а 2 і [СР(2 г)] =