Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

отображается в а. Так как Ъ2 является классом кобордизмов неко­ торого квазикомплексного многообразия, которое, оневидно,

Т е о р е м а . Все элементы конечного порядка в группе Q* 0 имеют порядок 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что в группе существует элемент конечного порядка, не равного 2. Тогда суще­

SO

изоморфизм кольца (Q^ /Tors)®Z2 с кольцом полиномов ker д'/іт д'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ядро данного гомоморфизма содер­ жит подкольцо Tors (Q f), и поэтому он определяет гомоморфизм Q®°/Tors ker 37im д'. Ядро этого гомоморфизма содержит, оче­ видно, подкольцо 2 (Qf°/Tors), поэтому он определяет гомомор­

физм (Q®°/Tors) ® Z2 ->■ Z2 (fei)2]- Согласно предположению, этот гомоморфизм является эпиморфизмом, а из сравнения рангов легко следует, что он является изоморфизмом. Ш

Т е о р е м а . Два ориентированных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые числа Понтря­ гина и Штифеля — Уитни.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме Понтрягина кобордантные многообразия имеют одинаковые характеристические числа.

Обратно, предположим, что классы х и х' £ ß ^ 0 имеют одинако­ вые Z- и ^-когомологические характеристические числа. Так как все Z-когомологические характеристические числа класса кобордизмов у = X — х' равны нулю, то у имеет конечный поря­ док. Следовательно, 2у = 0 и у = dz для некоторого z. Так как х и х' имеют одинаковые числа Штифеля — Уитни, то все Z2 -Koro- мологическпе характеристические числа класса рі/ равны нулю

многообразие. Для приведенных по модулю 2 характеристиче­

Так как целочисленная ориентация, приведенная по модулю 2, совпадает с Z2 -opneHTapneä, то

Фіо (\М\) = g>o) СО [М] (mod 2) =

II (?Р (т ))[СР(2 сО)] ||Ші щ'£Л (т)

является треугольной с нечетными числами по диагонали. Таким образом, гомоморфизм

Г= П V»: ßf°^zL"(m)l

со£Я ( т )

является эпиморфизмом и, следовательно, индуцирует изоморфизм

(ßfm/Tors) <g>Z2 ^ zLIl(m) '.

с) Если характеристическое число со Gп(т), аа £ Z, принимает четные значения на всех 4пі-мерньтх многообразиях, то

2 c7m?P(o = 0, и, следовательно, аш= 0 6 Z2 для всех разбиений со.

Другими словами, образ гомоморфизма Q®°/Tors ->• Н от (Z [g5;], Z) имеет нечетный индекс. Б

Соотношения между числами Штифеля — Уитни описываются

состоит в точности из тех классов кобордизмов, у которых все числа Штифеля ■— Уитни, содержащие множителем iot, равны нулю. Эквивалентно, все соотношения между числами Штифеля — Уитни ориентированных многообразий следуют из формулы By

det Гл/ тривиально. Следовательно, все числа Штифеля — Уитни многообразия М, содержащие множителем wu должны равняться нулю.

Пусть z 6 — класс кобордизмов, все числа Штифеля — Уитни которого, содержащие множителем wi, равны нулю (ср (х) =

=(N ) + WiUa}-Wi (N) [іѴ] = WiWa (N) [ІѴ]. Так как числа

После описания 2-примарных соотношений между характе­ ристическими числами естественно перейти к изучению соотно­ шений между числами Понтрягина с коэффициентами в Zp для простых нечетных р. Исследование комплексных кобордизмов показывает, что if-теория является естественной областью, в кото­ рой можно получать такие соотношения. К сожалению, ориенти­

ровэнные многообразия не являются ориентированными в if-тео­ рии. Для того чтобы обойти эту трудность, укажем сначала одну общую конструкцию.

Пусть К —- одно нз полей Cl или С, и пусть if' — поле С или тело Ц-j соответственно.

Рассмотрим замкнутое n-мерное многообразие М п с касатель­ ным расслоением t и допустим, что существует if-векторное рас­ слоение т над М п, изоморфное, как вещественное векторное рас­ слоение, расслоению t + и -1 (и £ Z , п + и = 0 (mod к)) и, сле­ довательно, задающее if-структуру на М.

Пространство расслоения Ех является гладким многообра­ зием, и если л: £4 М — проекция, то касательное расслоение многообразия Ех является расслоением я* (і) © л* (т), где л* (т) — касательное расслоение вдоль слоев и л* (t) — его орто­ гональное дополнение. Таким образом, стабильное касательное расслоение многообразия Ех допускает структуру if-векторного

расслоения л* (т)©я* (т) = л* (т) ®^С.

Обозначим через Dx и Sx расслоения дисков и сфер расслое­ ния т. Пространство расслоения Dx имеет индуцированную ста­ бильную if'-структуру как многообразие с границей; его грани­ цей является пространство расслоения Sx.

Предположим теперь, что задан некоторый мультипликатив­ ный спектр А , для которого if'-векторные расслоения естественно ориентированы, и некоторый фиксированный класс ориентации (в)

быть надстройкой над U (т)) или не определяется непосредственно для касательного расслоения t, так что не нужно выбирать рас­ слоение т.

2. Вообще говоря, не ясно, что такие числа являются инва­ риантами кобордизмов; и фактически в общем случае они не яв­ ляются инвариантами кобордизмов.

Если многообразие М вложено в i?n+bÇ с if-нормальным рас­ слоением V, таким, что V© х — тривиальное расслоение, то инду­ цированное вложением отображение касательных пространств

дает вложение E tc-*~ R n+K4 X R n+bq и, следовательно, вложения

Dx С__>. R n + K q X £)"+*?+«

S t Д«+"вх 5 «+*!Н-и-1>

в нормальном расслоении которых может быть фиксирована струк­ тура расслоения л* (ѵ ® ѵ).

З а м е ч а н и е . Имеет место диаграмма

М X М —►R n+KqX i?n+KÎ («. 1/) -* (ж. Ѵ-х) ßn+Kq х

соответствующая отождествлению пространства D {t) с окрестно­ стью диагонали в M X M или пространства Dx с окрестностью многообразия A (M) x 0 в M X M X R u.

Существует каноническая проекция

if-структуре), поэтому существует каноническая проекция d пространства X на Т (т ф ѵ ф ѵ) = $ п+кч+ит (ѵ); Используя дан­

ленного вложением многообразия М в пространство і?71+ыг.

З а м е ч а н и е . Отображение d можно рассматривать как

гомеоморфизм, так как X = Т (т ф ѵ ф ѵ).

Рассмотрим теперь некоторый мультипликативный спектр А ,

для которого все расслоения т, т, v, ѵ имеют естественную ста­ бильную мультипликативную ориентацию, и обозначим через U класс ориентации U-. Тогда существует отображение

ß: X - (М /0) А Т (т) A T (v) А Т(ѵ) = Y,

обобщающее обычное отображение <р на случай диагонального