Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Относительные группы

Если имеет место коммутативная диаграмма

BOr—>BOr+1

в которой отображения hr, dr являются расслоениями, а отобра­ жения g>, Är послойными, то (В, /)-структура на многообразии индуцирует (С, с/)-структуру на нем при помощи «редукции» h. Это определяет функтор h из категории кобордизма (В, ^-много­ образий в категорию кобордизма (С, ^-многообразий. Относи­ тельным многообразием называется многообразие W с границей, имеющее такую (В , /)-структуру на границе dW, которая при редукции h определяет на dW ту же (С, гі)-структуру, что и (С, d)- структура на дW, индуцированная (С, ^-структурой многообразия W. Используя стандартный «склеивающий» гомоморфизм, можно определить полугруппу относительных кобордизмов.

Вложим границу dW в пространство R n~r (г большое) с подня­ тием нормального отображения в Вг и продолжим это вложение

гонально в точках границы dW. Если выбрать поднятие нормаль­ ного отображения многообразия W в Сг, ограничение которого на dW совпадает с А-редуцированным поднятием нормального отображения границы dW, то, используя отображение трубчатой окрестности вложения и фиксированные поднятия, можно постро­ ить отображение

0: (Dn+r+\ Sn+\ oo) = (tfn+r+1U°o, Rn+r{Joo, со)-+(ТСТ,ТВг, oo).

Если многообразие W кобордантно многообразию W (в категории относительных кобордизмов), то существует такое (В, ^-многооб­ разие ///дающее кобордизм многообразий dW и d W , что если в многообразии W\J (— U) U(— РЕ') отождествить диффеоморфные подмногообразия (dW)[j( — dW') и dU, то полученное замкнутое (С, (^-многообразие будет границей дМ некоторого многообразия М. Многообразие М можно так вложить в Нп+Г+1, что его граница

(которые не существенны в гомотопической ситуации), то нормаль­ ные отображения и их поднятия определяют гомотопию

(п + 1)-мерных относительных кобордизмов (обратный элемент

Г— >со

групп относительных кобордизмов можно отождествить с точной гомотопической последовательностью «пары» (ТС, ТВ).

Н п{Х ,А ; E) = lim [T{X/A), En+t],

i-^-OO

где (X, А ) —пара клеточных комплексов, Х /А —комплекс, полу­ ченный из X стягиванием подкомплекса Л в точку, которая счи­ тается отмеченной точкой в Х /А , символом Д обозначено приведен­ ное произведение пунктированных пространств, т. е. U Д V = = U X F/(?7 X *) IJ (* X F), и символом [ , ] обозначено множество гомотопических классов пунктированных отображений.

мологий и гомологий, за исключением, быть может, аксиомы раз­ мерности.

О п р е д е л е н и е . Мультипликативным спектром называет­ ся спектр JL = {Ар, ар} вместе с отображением a: S —>■И. и спа­ риванием т: (J. Д Л) -»- А , т. е. с совокупностью отображений mp,q: Ар /\ А д ^~ Ар+д, таких, что:

1) отображения в диаграмме

в группе A p+q\ элемент, равный ( —1)р<г [а], где [а] — гомотопический класс отображения а.

[Если g = 0, то множество [2чЛр, A v+q] не является группой, но в этом случае ( — 1)р'7= 1, и поэтому для нахождения отображения

->■ Нп+Г, при котором граница дМ вкладывается в і?п+г-1 с обыч­ ным ортогональным оснащением трубчатой окрестности границы дМ — дМ X Ос- М (как обычно, эта окрестность представляется

р — проекция пространства расслоения на его пространство Тома,

длины не меньше единицы переходят в отмеченную точку, в нее же

отображения с с проекцией ГіѴ—ь TN/TN' переводит подпростран­ ство R n+r~1 в отмеченную точку и, следовательно, определяет про­ екцию с: S n+r = (H n+r U оо)/(Лп+г-1 [Jоо)->- TN/TN'.