Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Лемма . Если М — квазикомплексное многообразие вещест­ венной размерности 2п, то

L('z) = [i + ' Z h S k(e)}éP(M)t

где

 

 

 

п(Я,)>0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если с(М)= [J (1-Ьац)> то

 

 

 

 

 

 

 

 

г— 1

 

 

 

 

 

L (г) -

^

(е *-1)

 

 

 

 

 

 

П

tanh (Xi)

•сГ(М)

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ех—1

(ех— l)(e-v4 -e _œ)

ех

 

 

 

tanh X

 

ех— е~х

 

ех

 

 

 

 

(и_1)(«*2+ 1)

 

 

 

(и = ех)

 

 

М2 —

1

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2 + 1

[ ( и — 1 ) + 1 ] 2 + 1

 

 

 

_

Ц +

1 ~

 

(U—1 ) + 2

 

 

 

 

(2+ 2а+ а2)

 

 

 

(а —и — 1 = ех— 1)

 

 

2 +

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■}

{ ‘ - і +

( Д

 

 

поэтому

L{x)

 

1 + а,

где а — симметрическая

функция поло-

 

& Ш)

 

 

от

переменных

е х ‘ — 1 с

коэффициентами

жительной

степени

вZ [-1 ] . ш

Вкольце H* (BSO; Q.) запишем универсальный класс Понтря­

гина формально как [] (l + æf), dima:; = 2, и определим классы

і=і

Sa (<g>) и (е^) как симметрические функции Sa от перемен­ ных х) и exi -f- e~x-i— 2 соответственно. Определим также универ-

сальный

71

хі

 

 

класс L как функцию Д

Ч а п Ъ Ч » - )

• Т о г д а А 5 ш

=

=

2

< Ѵ ( 8 > ) ® S^( f ) , А £ „ , ( « ? ) =

2

( C j , ) ® 5 Ш- ( в р ) и

AL = L <g L.

(û'Uûl"=û)

 

 

 

 

Q, [ß;]:

 

Рассмотрим кольцевые гомоморфизмы р: H ie{BSO\ QI)

2 - v 2 { ‘5,o)(eja)^}[z]-ßcoHp': H*{BSO- Q.)->-Q,[a;]: z-*- 2£ш(Ъ°)[2]аш.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B n= { z Ç H n {BSO; < Q )|p (z)ez[i-]

[ß,], р '(z) ÇZ [а*]}

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ * = 0

BnczH+ÇBSO-, а ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для каждого

нелетного простого р введем гомоморфизмы

р;):

 

 

,

полагая

элемент

рр (z)

равным

элементу

p(z),

приведенному

по модулю р

( y Ç Z pj , и

р': !?*->-Z2[a;], пола­

гая

элемент

рДг)

равным

 

элементу р '(z), приведенному по мо­

дулю 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда имеет место следующая

 

 

 

 

 

 

Лемма . Дл я

всех простых р

и целых чисел і существуют

квазикомплексные многообразия М2,- размерности Ai, такие, что

a) для нечетного р элемент рр [xMzi] имеет наибольший моном

следующего

вида-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ß;-, если 2 і -|- 1 Ф р* для любого s,

 

 

 

 

 

2) [ß(ps-i_1)/2

]P> если

2 i - \ - l —ps для

некоторого s;

 

b) Рз [хМ\;] имеет наибольший моном аі.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

В

2-примарном

случае

имеем

 

tCP (2i)] =

2i + 1, поэтому положим М \і — CP (2i). В слу­

чае

нечетного простого p

в качестве М \і возьмем многообразие

Mzi из гл. VII. Так как

все М \і

являются квазикомплексными

многообразиями, то можно использовать результаты предыдущих

лемм. Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Sa (вр) L) [М] = (52ш(б) &) [М] + 2

ах (S%(е) #>) [М\,

 

где a ^ Ç Z ^ y J , п(Х)>2п(а>). Таким образом, для

многообразий

 

результаты о наибольших мономах следуют

из

вычислений,

.проведенных в гл. VII. я

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а ,

а) Кольцо

Q®°/Tors является кольцом полиномов

над

TL от классов хі размерности Ai-, классы х-, характеризуются

условием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т)) [®і] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

+

1,

если 2 1 Д \ ф р *

ни

для какого простого

р и целого s,

“ I ± р ,

если 2 і 4-1 = ps для

некоторого простого

р

и целого s.

j 3 — 0 1 0 2 4

b) Г о м о м о р ф и з м з а б ы в а н и я

F s Q^->Qso/Tors

я в л я е т с я э п и м о р ф и з м о м .

c) В с е с о о т н о ш е н и я м е ж д у ч и с л а м и П о н т р я г и н а о р и е н т и р о ­

в а н н ы х м н о г о о б р а з и й с л е д у ю т и з т о г о , ч т о ч и с л а П о н т р я г и н а

ц е л ы е ,

и

и з у с л о в и й

в и д а

{Sa (е^,) L} [ х М ]

Ç Z

J, к о т о р ы е

з а д а ю т с я

К - т е о р и е й .

И н а ч е

 

S о

=

5*.

 

 

г о в о р я , тЙ*

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В обозначениях

гл. VII п о л о ж и =

— В *,

<5%= тЕ*й^ с; В*

н cf = тЕ* [ М ^ ] .

 

Тогда методом

гл. VII,

используя

результат

последней леммы,

получаем,

что

тВ^Й^ =

= тй^

= В

іе.

Если

М — квазикомплексное

многообразие

и di mM = 4i,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5(і>((?) [M] =

{5(i)(V )L} [М ] .-=

 

 

 

 

 

 

 

=

{5,21, (в)

[М } =

 

 

 

 

 

 

 

 

= S(zi) (с) [М\.

 

 

 

 

 

Поэтому условия на характеристические числа 5 (і) образующих x t

непосредственно следуют из условия для образующих коль­ ца й^. В

З а м е ч а н и е . Использовать класс Хпрцебруха L и соот­

ношения, возникающие так же, как в теореме Атья — Зингера об индексе, посоветовал мне Хаттори (в личной беседе). Отметим,

что можно было бы, как в работе Стонга [2], использовать А-класс,

П

задаваемый функцией JJ siii’h^-r,■/'■’) ' Приведем рассуждения (при-

і — 1

надлежащие Д. Андерсону), показывающие, что применение А-класса дает эквивалентные результаты. Положим

 

 

х/2

_

X

 

sinh (х/2)

Utanh х ’

тогда

 

 

 

 

 

l a n h o :

___

 

е х — е х

2 sinh (.т/2) — (e3=_j_e-.ï) (еж/2 _ е-.х/2^•

Возводя обе части

равенства

в квадрат, получаем

 

9

еі х -)- c- 2 ï — 2

U

= (е2.х

е-2 х + 2) (ех + е~х — 2) '

Положим

а =

е х + е~х —

2, е х + е х = а + 2; тогда

 

2

(а + 2)2—4

а2-)-4а

U

~

(а+ 2)2-а

~ а ( а + 2)2 ^

=

( 1 + т ) ■ ( 1- т + ( т )

'

Таким образом, и2 является степенным рядом над Z

J от пере­

менной а со свободным членом 1. По формуле бинома

 

ft= 0

Таким образом, и является степенным рядом над Z j^yj со сво­

бодным членом 1. Следовательно,

i = (ch|)-L,

где | £ К (BSO) — обратимый элемент.

Ориентированные бордизмы

Как уже отмечалось выше, интерес к теории ориентированных бордизмов во многом связан с задачей реализуемости целочислен­ ных гомологий. Основное исследование групп ориентированных бордизмов было проведено Коннером и Флойдом [3].

Т е о р е м а .

Д л я

л ю б о й

п а р ы

к л е т о ч н ы х к о м п л е к с о в

(X, А)

г р у п п а

Qf° (X, /1) <g> Cl я в л я е т с я с в о б о д н ы м

Q?° ® Cl- м о д у л е м , и з о -

м о р ф н ы м ^м о д у л ю H * (X, А ;

О.)

 

so ® Cl).

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Гомоморфизм

Гуревича

я*((ХА4) Д

Д T B S O ) -^>-H * {{ХІА) / \

T B S O ;

Z)

является

изоморфизмом

по модулю

класса Серра конечных

групп. ■

 

 

 

Л е м м а. С у щ е с т в у е т 2 - п р и м а р н а я г о м о т о п и ч е с к а я э к в и в а ­

л е н т н о с т ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/: T B S О - * - К (Q*0).

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

отображение

спектра

T B S O

в произведение спектров К

(Z, я (со)), реализующее классы

ЧРДЧІ),

и

отображение

в

произведение

спектров

К

(Za, П і ).

реализующее

классы

когомологий,

двойственные

к

элементам

конечного порядка в Q®0. Эти два отображения и определяют отображение /. Из доказанных выше результатов следует, что

гомоморфизм в гомотопических группах, индуцированный отобра­ жением /, является мономорфизмом и в каждой размерности имеет конечное коядро нечетного порядка. щ

Т е о р е м а . Для любой пары клеточных комплексов (X , А) существует изоморфизм по модулю класса Серра конечных групп нечетного порядкаі

/*: Q f № А)~^Н, (X , А\ Q f).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предыдущей лемме, индуци­ рованный гомоморфизм

/*: <((Х/А) Л ТВ80) - +пЦ(Х/А) Д К (Q*0))

является изоморфизмом по модулю класса Серра конечных групп нечетного порядка. ■

Т е о р е м а . Пустъ (X, А) — некоторая пара клеточных комп­

лексов.

Для каждого класса с £ Н п (Х,А',

Z) существует

целое

число

к, такое, что класс. гомологий

(2к -Г 1) с имеет

вид

g* ([М п, (ЭЛТ"]), где g: (М ' д М ) —>- (X, Л) — представитель некото­ рого элемента группы ориентированных бордизмов пары (Х,ѵ4)(10).

Доказательство . Гомоморфизм вычисления еп' Q®°(X, А )—>- ->-Нп (X, A; 7L) индуцирован композицией отображений TB S O

-*-К (Q®0) К (Qf°) = К (Z), где я —проекция. По предыдущей теореме coker еп является конечной группой нечетного порядка, в

Для исследования р-примарной структуры группы Q* (X, А), где р —нечетное простое число, рассмотрим гомоморфизмы

Q S P ( X J А) QU( х > а) Qso {Х: А)і

композиция которых является изоморфизмом по модулю конечных 2-примарных групп.

Т е ор е м а . Если

целочисленные

гомологии

пары

(X, А)

не имеют кручения, то группа

(X, А')

является

свободным

0,^°-модулем, изоморфным модулю

ff* (X, А; Z) <g) Q*0.

В

частно­

сти, гомоморфизм вычисления е: Q®°(X, А)-+НЩ(Х, A; Z) является

эпиморфизмом. Если {а;;}— однородный

базис группы H * (X, A; Z)

и /•;: (М і, дМі)-+(Х, А) —отображения

ориентированных

много­

образий в (X, А), такие, что /;* ([Мь дМД) = xt,

то

Qf°(X, А)

является свободным

-модулем от классов кобордизмов

много­

образий (Мі, fi).

 

 

 

 

 

 

 

До ка зательство .

Гомоморфизм е':

(X, A)-+Hç(X, А; £)

является эпиморфизмом, следовательно, и е—эпиморфизм. Выбе­

Смотрите также файлы