ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 179
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
||
р ѵ+ѵ>ф (X® y)) = ß ( w 0 i + i ® w)Aß(x® У) = |
|
||||
|
|
= ß((»AX) ® y + ( - l ) dimïI ® |
(w/\Y)) = |
||
|
|
= ß (Хв (X) ® У + ( - l)dirax X ® F w(У)), |
|||
следовательно, |
Fv+W°ß = ß о [F„ <g>1 -j- sgn о ( 1 |
® X№)]! |
где sgn: |
||
A(F) <S>А (И7) —>-Л(F) ® A (VF) — гомоморфизм умножения каждого |
|||||
пространства А’1 (7) ® Л (VF) на число |
( — l)fe. |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
(Fï+w (ß (А ® Y)), |
ß (Î7 ® У)) = |
|
|
|
|
= <ß(X® У), X ^ ß (U ® V)) = |
|
|
|
||
= <ß (X ® Y), ß [FVU ® У-f (- |
l)dim и U ® FWV]) = |
||||
= <Х, FBU)-(Y, F) + ( —l)dimU(X, U)'(Y, FWV) = |
|||||
= |
<X„*X, Z7> • (У, F) + ( ■- l)dimA(Z, U) ■(F%jY, V) = |
||||
= {ß[F:Z® y + ( - l ) dimA' Z ® F * y ] , |
ß (17 ® F)) |
||||
и, следовательно, F*+woß = ß a[F* <g>1 + sgn о ( |
1 ® Z*)]. |
||||
[Если |
(X, U) Ф О, то dim X = dim [/.] |
|
|
||
Таким |
образом, фв+№°ß = ß ° [фв ® 1 + sgn о (1 ® фц,)]. @ |
||||
С л е д с т в и е . Для любого nÇF имеет место формула (ф0 ) 2 =
=і| у||2 -1 л(Ѵ)*
До к а з а т е л ь с т в о . Допустим сначала, что формула верна для обоих подпространств F и If пространства F ® VF. Тогда
(Ф,+ш) 2 ß (X ® У) = ?D+I1,ß [ф0Х ® У + ( — l)dim А X ® фЮУ] =
|
|
= ß[??X® y + ( - l ) d i m A + 1 ф0 Х ® ФшУ1 + |
|||
|
+ |
( - |
l)dim А ß [Ф„Х ® фцУ + (- l)dim АХ ® фщУ] = |
||
[Заметим, |
что |
элемент |
ф0Х |
имеет компоненты размерности |
|
dimX-f-1 |
и dim X —1, дающие один и тот же знак.] |
||||
|
= ß [ II у ||2Х ® У + ( — l)dim Х + 1 фрХ ® ФшУ+ |
||||
|
|
|
|
+ ( - |
l)dim z фвХ ® ФцУ + Il w ||2Х ® У] = |
|
■ = (I M I a + IMI2 )ß(X® У) = |
||||
|
= IIу |
^ І| 3 |
ß (X ®У), |
||
и, следовательно, формула верна и для пространства F ® W. Таким образом, достаточно проверить этот результат только для пространства F, где dim F = 1. Тогда Л (F) имеет базис 1, о
и V = ко, поэтому
Fa (1) = ко, Fv (о) = О,
(F% (1), сг> = <1, F0 (ст)> = О,
(FÎ (о), 1) = (о, Fv (1)> = (о, ко) = к.
Следовательно,
F*v (1) = О, F% (о) = к.
Таким образом, ср„ (1) = ко, cpD(ст) — к, ж поэтому
Ф» (1 ) = ф„ (ка) = кк = К7с ||2 -1 ,
Ф? (о) = ф„ (к) = кко = = II к К2-а. я
Ле м м a 7. Если g: V V — линейное преобразование, сохра няющее скалярное произведение, то g°cpv = (p?v°g.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что gFv (X ) == g (ѵ Д Z) =
= gvf\gX = Fgvg (Z), поэтому |
gFD= Fgvg или |
F„g- 1 = |
g-xFgv, |
||
и тогда |
|
|
|
|
|
(gFÎX, Y) |
= |
(F*VX, g~*Y) = |
(Z, Fag-'Y) = |
|
|
= |
|
(Z, g-'FgaY) = |
(gX, gg' 1 Fg0Y) |
= |
|
= |
(gX, FevY > = |
(F*gvgX, Y ), и |
|
|
|
Л е м м а |
8 . Для любого v Ç V имеют место формулы |
ф„°р = |
|||
= р°ф„ и ф0оѲ = Ѳ°ф0. |
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ZÇAh(7), то
(xF„Z, У) = (ст, v / \X /\ Y ) =
=( - 1 У1 (о, X /\ѵ f\Y ) =
=( - l ) h(a, X f\FvY) —
=( - 1 ) A<TZ, FDY) =
— ( — l)ft(F*xX, Y).
Следовательно, xFvX — ( — 1)AF^xX. Тогда
xaFVX = X ( - 1)(A+1) A/2 FaX =
=( - i ) kih+1 )/2 ( - î ) kF*xX =
=(_ 1 )й(й-і)/2 в д =
F*xaX,
следовательно, piFv —F^pi. Так как p2 = ( — 1)"(7l-1)/2, T 0
= p2 Zcpp2 = p (pZ„) p3 = pZ*pp3 = /xF*. Следовательно, фвр = рф„.
Кроме того,
QFvX=i<:h+1)h+n' %FVX =
=г(,!+1) Ч-п'£гкр;гХ =
=i i 4 k(k~l)+n'F *xX =
=F*dX
и Ѳ2 = 1, поэтому
FVQ = 92 F„0 = QF%W = 9F£, следовательно, ср0Ѳ = Ѳср0. щ
Обратимся теперь к интересующему нас геометрическому слу чаю. Пусть ! — ориентированное п = 2ге'-мернѳе векторное рас слоение над пространством В с рнмановой метрикой ( , ) и ст: В S (А" (I)) — сечение расслоения сфер, ассоциированного с расслоением Л" (!), определяющее ориентацию расслоения !.
Рассмотрим |
расслоения Лоѵ (!) |
= ф A k (!), Aodd (!) |
= ф Л,1(!) |
|
|
|
|
к ч е т н о |
h н е ч е т н о |
и проекцию |
я: |
Обозначим через |
|
|
|
ср: я* (Леѵ (!) |
® С) |
л* (Aodd (!) ® С) |
|
отображение расслоений, которое в каждой точке е £ Dh, перево дит точку слоя (е, X) в точку того же слоя (е, ср<Д) (из леммы 7 следует, что такое локальное задание ср полностью его опреде ляет). Ограничение отображения ср на расслоение сфер Sh, являет
ся изоморфизмом, так как, |
согласно следствию леммы 6 , ср§ = 1 |
для всех е £ Sh. Таким |
образом, тройка (я* (Леѵ (!) <g> С), |
я* (Aodd (!) <g>С), ср) по известной разностной конструкции Атья1) однозначно определяет некоторый элемент группы К (Z?!, Sh,).
Кроме того, используя результат леммы 4, можно определить
отображение 0 |
расслоения я* (Л (!) (g) С) в себя, такое, что Ѳ2 = |
•= 1. Так как |
Ѳ: A k (h,) ® С —ь A?l-h (h,) ® С иге четно, то ото |
бражение Ѳпереводит каждое из подрасслоений я* (Леѵ (!) <g>С)
и я* (Aodd (I) |
® С) |
в себя |
и, |
согласно лемме 8 , коммутирует |
при этом с отображением ср. |
и |
A t (!) подрасслоения расслоения |
||
Обозначим |
через |
AJ (!) |
||
я* (Ла (!) ® С), где а = еѵ или odd, на которых отображение Ѳ действует как умножение на + 1 или —1 соответственно. Рассмот рим элемент Д (!) = (Л®ѵ (!), A°dd(!), ср)— (Aîv(!), A£dd(!), ср) в группе К (Z>!, 5!). Используя оператор периодичности р, дадим следующее
О п р е д е л е н и е . Классом U (!) расслоения ! называется элемент р~п'А (!) Ç К 2п'• (Dh, Sh,).
!) См. Атья [4] или Ботт [1], Коннер, Флойд [8]. Наиболее подробно свойства разностной конструкции перечислены в работе Пале [1], стр. 22— 24.— Прим, перев.
У т в е р ж д е н и е 1. Лласс U (!) является мультиплика тивным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фактически достаточно проверить это утверждение только для векторных пространств. Отображе ние ß: Л (!) <g) Л (TJ) А (! ф т]) индуцирует изоморфизмы
Леѵ (! Ѳ р) SÉ Лсѵ (!) ® Леѵ (р) ф Aodd (!) ® Aodd (TJ),
Aodd (!© T ])s Aodd (!) ® Aev (ri) Ф Aev (!) ® Aodd (rj).
По лемме 6 |
эти разложения пространств Леѵ (! ф р) |
и Aodd (! ф р) совместимы с действием отображения ф. Исполь-' зуя лемму 5, получаем, что имеют место изоморфизмы
л+ (! ф р) = л + (!) ® л+ (р) ф л_ (!) (g л_ (р),
л_ (! ф р) “ л_ (!) о л + (р) ф А+ (!) ® л_ (р),
которые также совместимы с разложениями пространств
Аеѵ (! ф р) и Aodd (! ф р). Суммируя эти факты и учитывая знаки, получаем формулу А (! ® р) = Д (!) -Д (р). Окончатель ный результат следует теперь из того, что оператор периодично сти Ботта также является мультипликативным, в
У т в е р ж д е н и е 2. Пустъ ! — комплексное линейное рас слоение над В , рассматриваемое как ориентированное расслоение.
Тогда Д (!) = л*! — л*!, где расслоения л*! и л*! отождествле ны над S I при помощи стандартной тривиализации их над <5!.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — одномерное комплексное векторное пространство со скалярным умножением [ , ], и пусть u Ç F — единичный вектор. Тогда пространство F, рассматри ваемое как вещественное векторное пространство, имеет скаляр ное умножение ( , ) = Re [ ., ] и ориентированный ортонорми рованный базис {у, £у} .
Таким образом, Л (F) имеет базис {1, ѵ, іѵ, и}, а — ѵ /\іѵ , образованный мономами, поэтому непосредственно из определеник получаем
|
ті = |
а, |
ту = |
іѵ, |
тіѵ — —у, та |
= 1 . |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ(1 ® 1) = |
а |
® і, |
0 (у ® 1) |
= |
іѵ <g> i, |
|
||
|
Ѳ(іѵ ® 1) = |
—у <g> г, |
Ѳ(а ® 1) = |
—1 ® |
і- |
||||
Таким |
образом, |
пространство |
А+ (F) |
|
имеет |
базис |
|||
{(1 ® 1 + |
а ® i)> |
(у ® 1 + іу ® £)}, а A_ (F) |
имеет |
базис |
|||||
{(1 ® 1 — а ® і), (ѵ ® 1 — іѵ ® і)}. Тогда отображения
V —»-A+d(У): X —>■X ® 1 -)- іх ® і,
F-vA!.dd(F): Х- +Х&1 — і х ® і
являются соответственно антюшнейным и линейным.
Таким образом, если £ — комплексное линейное расслоение, то
|
|
|
Л + (!) = 1, |
A f d(Ê) = n*i, |
|||
|
|
|
л - ( £ ) = * , |
A - d ( Ê ) = n * | . |
|||
Чтобы вычислить отображение ср*, представим х в виде х = |
|||||||
= (а + |
ßi) ѵ; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Fx (1) = X, |
Fx (v) = X Д V = |
— ß<r, |
|||
и |
|
Fx (iv) = X Д iv = аи, |
Fx (a) |
= 0 |
|||
(Flv, |
i) = (v, |
x ) = a = (a-i, |
1), |
|
|||
|
|
||||||
|
. (F%iv, |
1) = {iv, |
x) = ß = <ß-l, |
1), |
|
||
|
(Fla, |
v) = {a, |
xf\v) = — ß = < — ßy + aiv, v), |
||||
|
(F$o, iv) ~ (o', |
xf\iv) = a — ( — ßy + aiu, iv). |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
||
F2(l) = 0, |
F%(v)^=a, |
F% (iv) = ß, |
FZ(o) = { — ß + ai)v = ix. |
||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф.-с (1 <S>1 + ° |
<S>0 = X ® 1 -f- ix lg) i, |
||||
|
|
фж (1 <S>1 — CT(g) i) — X <g>1 — ix ® i, |
|||||
и если Æ Ç IS(F), |
т о ф | = 1, поэтому отображение ф индуцирует |
||||||
стандартную тривиализацию |
расслоения £, переводя вектор ze Ç. |
||||||
€я* (£)е в z (или в z для сопряженного расслоения |). Ш
Сл е д с т в и е . Пустъ £ — расслоение, сопряженное с кано ническим расслоением над СР (п — 1). Тогда U (£) = р _1(ё — I) €
6К (СР (п))..
До к а з а т е л ь с т в о . Отождествляя СР (п) с простран ством Тома Т (£), легко видеть, что расслоение £ над СР (п) полу чается из расслоения я * |, где я: D (|) -*■ СР (п — 1), при помощи
стандартной тривиализации его над »S’ (£).
С л е д с т в и е . Пустъ £ — ориентированное 2п-мерное век торное расслоение над В с классом Понтрягина <§ (|) =