ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 0
п
= П (1 + х\), и пустъ Фн: Н* (ТІ; О) Н* (В; Q ) — изомор-
і=і
физм Тома, определенный классом ориентации расслоения Е- Тогда
ФÏïch(£/(E)) = П ((ехі - е - хі)/Хі).
і=і
|
З а м е ч а н и е . |
Функция |
(ех — е~х)Іх = ( |
2 |
хЧ]\ — |
|
— 5 |
J (— х 3) / ] \ ) і х = ( 2 |
S |
x]/j\)/x является степенным рядом от |
|||
|
|
j н е ч е т н о |
|
|
|
|
X2. |
Поэтому Фя сЬ(£7(Е)) |
является |
степенным рядом |
|
с рацио |
|
нальными коэффициентами от классов Понтрягина расслоения Е-
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так |
как гомоморфизм Тома Фя |
и класс U мультипликативны, то |
следствие достаточно доказать |
только в случае, когда Е является расслоением, сопряженным
каноническому расслоению |
над |
СР (п — 1). Пусть а = |
Ci (Е) 6 |
|||||||
бЯМ СІЧвД |
Z ) _ H |
U (t) = р - Щ - Ъ ) е К (СР (п)У, |
тогда |
|||||||
ch U (Е) = еа — е~а. Так |
как классом ориентации расслоения Е |
|||||||||
является |
а, |
то |
Фн ch U (Е) = |
(е® — е~а)/а. |
и |
|
|
|||
Теперь можно получить теорему целочисленности. |
|
|||||||||
Т е о р е м а . |
Пустъ |
М 2п — ориентированное |
многообразие и |
|||||||
б (т) Ç H* (М; ОС) — полином от касательных классов Понтрягина |
||||||||||
многообразия М, |
такой, |
что есЛи формально записать |
£р (т) = |
|||||||
П |
|
|
то б (т) |
|
П |
(x£/tanh (хг-/2)). Тогда для |
любого |
|||
= П (1 + |
х?), |
= |
[] |
|||||||
І = і |
|
|
|
|
|
І= 1 |
|
|
|
|
xÇ K 3(M) |
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ch (х) -б (т)} [М ] |
|
|
|
|||
является |
целым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как я* (х) и U ( т |
) £ К 3+2п ( D T , S T ), то |
||||||||
{л* (х) и |
U (г)} [£>т, 5т] = |
сЬ [я*х- U (т)] -П ( D T ) [D T , 5т] • р (1) _п"і/2- |
||||||||
Поэтому |
ch [я*х-£/ (т)]-П ( D T ) [Z)T, 5т] ÇZ. |
Так |
как |
C ( D T ) ~ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
( D T ) = |
= с(я*т ® С) = я*с(т <g>С) = я* |
[] (1 - f X i ) (1 — Хі), |
то |
||||||||
|
|
|
|
|
|
І—1 |
|
|
|
|
= я* ( [J ( X i / ( e x i |
— 1)) ( — X i / ( e ~ X i |
— 1))) и |
|
|
|
|||||
г=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch [n*z • U ( T ) ] - |
( D T ) = |
|
|
|
|
|
|
|||
= (Фя)-! (ch X- il |
((exi - e ~ Ki)/Xi) '(xi/(e*«-l))( -x //(e _*i -1 ))). |
|||||||||
Имеем
еУ— е-Ѵ |
у |
|
|
е Ѵ — е - У |
У |
{еУ — 1 ) |
(е~У — 1)- = |
У ((еи—Щ І —е-ѵ) |
|
но |
|
|
|
|
и —и ~ і |
т —1 |
tf+'i |
yV2_|_[/-va |
|
( U — 1 ) ( 1 — £ / ~ i ) |
( U — l ) 2 |
U — 1 |
[ / i / 2 _ , [ / - 1 / 2 ’ |
|
поэтому
J |
еУ — е - У |
\ |
l e v/2 + e ~ v / 2 \ |
1 |
У \ ( e V — î ) ( i - e - V ) l = У \ ev ß _ _ e - v ß ■) " |
t a n h ( y / 2 ‘) ' |
|||
Таким образом, число
(фн)-і (ch (x)-ô (т)) [DT, 5T]
является целым, а так как ориентированные расслоения имеют естественные мультипликативные классы ориентации в цело численных когомологиях, то оно совпадает с числом {ch (х) Ô(т)} [М]. ■
З а м е ч а н и е . Поскольку
z/tanh (х/2) = X (е^ 2 + е~х12 )1(ех12 — е~х/2) =
= |
х ( 2 |
+ 2 (х/2 )2 /2 ! + ... )/(х -[- 2 (х/2)3 /3! + ... ) = |
= |
2 |
... , |
П
то класс Ô ( T ) = [J (xj/tanh (х,7 2 )), очевидно, не является стабиль- і=і
иым. Для того чтобы исключить степени числа 2, которые создают здесь трудности, введем следующее
О п р е д е л е н и е . Пусть ! — вещественное векторное рас-
71
слоение с классом Понтрягина (!) = П (і + х\), dim Хі — 2 ,
i = l
в формальной записи. Тогда классом Хирцебруха L (!) расслое ния ! называется характеристический класс, задаваемый фор мальным произведением
71
L ( Q = П (Zi/tanh(xi)).
І—і
З а м е ч а н и е . Класс L (!) является стабильным Классом и тесно связан с классом ô. Действительно, формальный ряд, задающий функцию 2 y/tanh у, отличается от формального ряда для функции y/tanh (у/2 ) множителями 2 к у коэффициентов при
іД Поэтому
П
2п1 (г) [М2п\ = { П (2x,/tanh-æi)j27l [М2п\ =
П
=2П{ П Xi/tanh (хі/2)}2п [М2п]
=2nô (т) [М2п].
Следовательно,
L (т) [М2п] = Ô(т) [М2п].
Для того чтобы найти достаточный набор классов х £ К (М), можно использовать классы Чжэня в Х-теории расслоения т ® С. К сожалению, оператор комплексного сопряжения в Х-теории достаточно сложен, и поэтому приходится использовать несколько видоизмененные характеристические классы в Х-теории.
Пусть £ — вещественное 2га-мерное векторное расслоение над пространством В. Определим классы Понтрягина в Х-теории
я*(|) £ X (В) следующей формулой:
2 |
s v (I) = л« (£) = 2 tl'pl (Vi (5 ® с)) = |
|
= V a -t) (£ ® С — 2 п0 ), |
где s — t — t2. |
[Заметим, что класс л г (|) является полиномом |
с целочисленными коэффициентами от классов Чжэня и, следо вательно, принадлежит кольцу X (X).]
З а м е ч а н и е . Если т) — комплексное линейное расслое ние, то
К(T) ® c—2) =к (TJ © Tî —2)=
= (1 + u r \ ) (1 + 141])/(1 + и)2,
поэтому
X(/(i_i) (T) <g) C — 2)
1 |
1 |
1 — t |
1 — i |
=( 1 — t + ІТ)) ( 1 — t + 4|) =
=[i -h ^ (4—1 )] [î-MCn —1 )] =
= 1 + 1 (Л + 'Л — 2 ) + 12 ( 2 — Tl —il),
так как т)т| = 1 .
Если |
когомологический класс |
Понтрягина расслоения £ пред^ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
ставить |
в |
формальной |
записи |
как |
П ( 1 |
+ *!), |
то. с(Ё®С) = |
|||
п |
|
|
|
|
|
5 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= [] (1 + Æj)(l — Xj), |
И поэтому |
|
|
|
|
|
||||
і= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch S |
*У Ы Ё ® C))= П {i + t(exi + e - xJ - 2 ) + t* (2 - e x3 - e - xi)). |
|||||||||
Следовательно, |
i=l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
chns(£) = |
[] ( 1 -ir s(exj-\- e xi — 2 )), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
и ch пг(|) |
является t-й элементарной |
симметрической функцией |
||||||||
от переменных ехЗ-\-е~хз— 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
О п р е д е л е н и е . |
Пусть £ —вещественное векторное |
расслое- |
||||||||
|
|
|
В, и пусть в |
|
|
|
|
П |
|
|
ние |
над |
|
формальной |
записи |
(£) = П |
(і+ *?). |
||||
Тогда характеристическим классом |
Sa(e |
|
3 = 1 |
|
||||||
(|) Ç Н* (В ; <&) назы |
||||||||||
вается симметрическая функция Sa от переменных ехЗ-\-е~хі — 2 .
П р е д л о ж е н и е . Пусть М — ориентированное многооб разие. Тогда для всех х £ К* (М)
{ch. (х) L (т)} [М] € Z [ І - ] .
В частности,
{S» (e#) L (т)} ІМ) 6 Z [ 4 ]
для всех разбиений со.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Это будет немедленно следовать из тео ремы, если доказать формулу £(т) = сй(ц)0(т), где u£K(M)<gi
® z [ т ] ■Положим ш |
= ѴШГ(ТІ2 ) - |
а = + в~*- 2 и Ь = в*; |
||
тогда |
|
|
|
|
|
tanh (х/2) |
|
|
|
V = |
---7----Г ---- ~ — |
|
|
|
|
tanh X |
|
|
|
|
(ех—1) (1 —е~х) I е*— е~* _ |
|
||
|
e.ï — g-х |
J ех+ е-х |
|
|
~ |
( Ь — 1 ) ( 1 — 6 - 1 ) (Ö + 6 - 1 ) ь ц |
|
||
( 6 —6 -1 ) 2 |
' 62 _ |
|
||
_ |
(6-1)2(62 + 1) |
62+ 1 6-1 |
_ |
|
— (62—1)2 — (6 + 1 )2 * 6 - 1 —
Ь + Ь-1 |
а+ 2 |
6+ 2+ 6-1 ~ а + 4
а+ 4
1
- ‘ - т [ ‘ - т + ( т ) * — • ] -
- т + т ( т ) - т ( т ) * + т ( т ) * - |
6 |
|
|
6 Z[-i-][e> + e - » - 2 1 . |
|
Таким образом, класс ~ ~ принадлежит кольцу ch ( К( М) [ ± ] \ ,
так как он выражается симметрической функцией от неремен ных ехі-\-е~хі — 2 с коэффициентами в Z Гі ] -
Для того чтобы оценить выражения S a ъеп) L, можно восполь-
зоваться следующей леммой: |
|
|
|
|
Л е м м а . |
Если | — комплексное |
п-мерное векторное расслое |
||
ние, то |
|
|
|
|
|
s <0 (ер) т = S2(ù(в) (g) + |
2 |
(е) (g), |
|
где га (Я,) > 2 |
тг(ю), a^TL. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
|
eÄ+ e-3C— 2 = (ех—1 ) ( 1 — е-х) = |
|
|||
|
= (6 *— I ) 2 |
е~х = |
|
|
|
— (ех I ) 2 |
1 + (е.х_ 1-)= |
||
|
= (6 * —1 )а-(е * —1 ) 8 |
+ (е*—I)4— . .. . |
||
Таким образом, симметрическая функция Sa от переменных ех +
+ е~х — 2 |
имеет вид |
|
|
^ 2 ш(е) + |
S ах$х (е)і |
где a^ÇZ, |
п (Я) > 2 п (ы) и |
(е) — симметрическая функция Sß |
от переменных (ех — 1 ). в