ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
рем набор отображений (Mi, fi), описанный выше, и определим гомоморфизм
ю: Я* (X, А ; I) ® Q®û-*-Qf0 (X, А);
рассмотрим композицию /* °m: Я* (X, H; Z) <g>й®°-»-Я„ (X, /1; Qf°). По теореме об универсальных коэффициентах группу Я* (X, Л; й®°)
можно представить |
в виде Я* (X, И; Z) ® й^° (так как |
|
Я* (X, А; '£)■—свободная абелева группа), и тогда |
° ш (ж, <g>1) = |
|
— xi® 1. В таком представлении гомоморфизм /*т |
есть просто |
|
гомоморфизм |
|
|
1 ® /#; Я* (X, А; '£) ® Q™-+Hm(*> A; Z) ® fif',' |
||
где /# — гомоморфизм |
гомотопических групп, индуцированный |
|
отображением /. Из построения и результатов об отображении /
вытекает, что /#, а следовательно, |
m и m являются мономорфиз |
|
мами с коядром конечного нечетного порядка. |
||
Пусть ge. (Nt, dNі) |
(X, И) — представители элементов комп |
|
лексных бордизмов, такие, что |
gі* (ІЯІ7 <97Ѵг]) = xt. Используя |
|
эти отображения, определим гомоморфизмы, связанные коммута
тивной |
диаграммой |
|
|
|
|||
|
|
|
Я* (X; А; Z) ® ß* — ^ |
Я* (X, И; Z) ® ß f |
|||
|
|
|
|
Й*(Х,И) |
------0*°(Х,Л) |
||
Предположим, |
что гомоморфизм ш является эпиморфизмом |
||||||
на группу |
SO(X, И) для ]< .п. Тогда, так как гомоморфизм |
||||||
имеет |
2-примарное |
коядро, существует целое число к, такое, |
|||||
что |
2fta 6 im |
ci im m для |
всех a £ ßf°(X, А). В частности, для |
||||
всех |
і, |
таких, |
что |
dim Хі = га, |
|
||
|
|
|
|
’ |
2k ([Ml, f l]) = 'Z[NJ,gj]Pj, |
||
где |
Pj = |
|
SО TT |
|
|
||
|
• Применяя гомоморфизм е, немедленно полу |
||||||
чаем, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2* ([Ми /,]) = 2h ([Nh gi]) + S [Nj, gj] Pj, |
||||
где |
|
|
—элементы положительной размерности. Из индуктив |
||||
ного предположения тогда следует, |
что 2h[Ni, gHÇimm. В част |
||||||
ности, |
для |
любого aÇQf°(X, А) получаем, что |
|||||
2*а=5І[Я,, g]]RJt
где RjÇSçQ^ и dim N j ^ . n . |
Таким |
образом, |
2Л(2fta) Ç im m. Так |
как гомоморфизм m имеет |
конечное |
коядро |
нечетного порядка, |
то из этого следует, что aÇiintn. Таким образом, шаг индукции завершен и m является эпиморфизмом, в
Т е о р е м а. Пустъ (X, А) — пара конечных клеточных комп лексов, для которой конечная частъ группы Я* (X, А; Z) являет
ся 2-примарной. Два класса бордизмов совпадают в й®° (X, А) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые Z- и Z2- когомологические характеристические числа.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Группа ,й®° (X , ^4) не имеет нечет ного кручения, так как она с точностью до 2-кручения является
прямым слагаемым в группе й* (X, А). Группа Я* {X, А; й*°) не имеет нечетного кручения ввиду теоремы об универсальных коэф
фициентах. Следовательно, й®° (X, А) ^Н Д Х, А; й®°), и поэтому все
элементы конечного порядка в группе й* (X, А) имеют порядок 2. Если все Z-когомологические характеристические числа элемен та а равны нулю, то a имеет конечный порядок и, следовательно,
2а = 0. Если все 2 2-когомологические |
характеристические числа |
|||||||||
элемента а также равны нулю, то a |
отображается в нуль группы |
|||||||||
ІІ \ (51, 2) (X, А) |
и, следовательно, |
a |
= |
2ß. Так |
как |
ß — эле |
||||
мент конечного порядка, то 0 = 2ß = a. |
в |
|
|
|
||||||
Применяя |
рассуждения, |
связанные |
с группой |
й^ (X, Л), |
||||||
получаем также следующую теорему: |
|
|
|
|
|
|||||
Т е о р е м а. Для |
любой пары конечных клеточных комплексов |
|||||||||
(X, А), целочисленные |
гомологии которой |
не имеют 2-кручения, |
||||||||
не существует 2 -примарных соотношений между L-характеристи- |
||||||||||
ческими числами |
элементов |
группы |
й^ |
(X, А). |
Если |
группы |
||||
Я* (X, A; Z) |
не |
имеют р-кручения |
для |
нечетных |
простых р, |
|||||
то все р-примарные соотношения между L-характеристическими числами элементов группы й®° (X, А) следуют из соотношений
{Г C h (*) Sa (ер (т)) L (т)} [М, дМ] 6 Z [ | ]
(где/: (М , дМ)-^~ (X, .4)) для всех разбиений си и всехх £ К* (X, А), в
Связь с оснащенными кобордизмами
П р е д л о ж е н и е . Каждое оснащенное многообразие поло жительной размерности является границей ориентированного
многообразия, т. е. гомоморфизм Fn: й£ й®°, индуцированный функтором забывания, является нулевым, если п > 0. Кроме того,
гомоморфизм Fq: й^г—*■й®° = Z является изоморфизмом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Класс ориентированных кобордизмов определяется своими Z- и / 2-когомологическими характеристи ческими числами, которые, очевидно, равняются нулю для осна щенных многообразий положительной размерности. Заметим, что доказательство этого утверждения можно получить также из того,
что гомоморфизм Fn разлагается в композицию Fn: Q,f,r ->• —*■
-ß f . В
Образовав группы относительных кобордизмов Q* {F) =
= lim л*+г (TBSOr, S r, оо), можно рассмотреть соответствую-
Ѵ-гоо
щую точную последовательность, которая распадается на корот кие точные последовательности
для п — 1 > 0 и
£>
|
10 |
>Й1 |
|
(F)-+ Й?->Qo°-»-0
II
0
II |
II |
|
о |
N |
II
J.
Основными вопросами, возникающими здесь, являются исследо вание расширения, определяемого короткими точными последо вательностями, и получение инвариантов оснащенных кобордиз мов при помощи характеристических чисел.
Рассмотрим сначала подгруппу элементов конечного порядка
вчп. Так как элементы конечного порядка определяются своими
числами Штифеля — Уитни, то эта подгруппа и ее образ в |
(F) |
выделяются прямым слагаемым. В частности, она может |
быть |
исследована при помощи отображения рассматриваемой последо вательности в относительную последовательность, связывающую оснащенные и неориентированные кобордизмы. Единственным инвариантом оснащенных кобордизмов, который дают числа Штифеля — Уитни, является 2-нримарный инвариант Хопфа, полученный вычислением класса Штифеля — Уитни старшей размерности на фундаментальном цикле относительного многооб разия. [Так как wx (ѵ) = 0 для ориентированного многообразия с оснащением на границе, то этот инвариант не равен нулю только в размерностях п = 2, 4 или 8.]
Чтобы показать, что в данном случае нельзя получить допол нительной 2-примарной информации, рассмотрим отображение
S r TBSOT П К (Z, * + г) X П К (Z2, * + г),
где / г — построенное выше отображение, являющееся в стабиль ных размерностях 2-примарной гомотопической эквивалентностью. Дополнительной 2-примарной информацией, полученной при помощи ориентированных кобордизмов, могла бы быть лишь та,
которую дает отображение S r К (£, г), реализующее фунда ментальный класс. Но так как гомоморфизм в £ 2-когомологиях, индуцированный отображением К (I, г) ->- К (/.3, ?•), соответст вующим отображению T B S O - + T B O , является эпиморфизмом, то новая информация не может быть получена.
Займемся свободной частью группы й®°. Рассмотрим ориенти рованное многообразие F" с оснащением на границе. Вложению
Ѵпс:-+Н п+Г соответствует нормальное отображение ѵ: (F, <9F) —>- ~^(BSOr, *), в котором оснащение на границе интерпретируется как деформация нормального отображения в точку. Тогда можно определить характеристические числа Понтрягина многообразия (F, дѴ), которые будут принимать целые значения. Так как не су ществует 2-примарных соотношений между Z-когомологическими характеристическими числами ориентированных многообразий, то относительная точная последовательность расщепляется, если учитывать в ней только 2-примарные расширения, и, следователь
но, |
Z-когомологические |
характеристические |
классы |
не |
дают |
||||||||||
2-примарной информации об оснащенных кобордизмах. |
|
|
дѴ\. |
||||||||||||
|
Обратимся к характеристическим |
числам |
Sa (ер) L (T)[F, |
||||||||||||
Определен |
класс |
U (т) £К* (Dx, Sx) |
и для каждого |
х£К*(Ѵ,дѴ) |
|||||||||||
получаем, |
что |
я* (х) • U (т) б К* ( D T , |
|
dDx). |
(Заметим, |
|
что |
||||||||
dDx Ф Sx.) |
В |
частности, |
ch {х) ô (т) [У, дѴ\ |
является |
целым |
||||||||||
числом для всех х£К* (V, дѴ). Так как |
(т ® С— |
ÇK (F, дѴ), |
|||||||||||||
то |
Sa (ер) (т) б ch К (F , |
дѴ), |
если |
|
п (со) > 0 , |
и |
|
L (т) = |
|||||||
= |
( ( у ) ”/2 -j- ch (Ѳ)j ô (т), где |
Ѳ6 K (F, dV) |
. Таким |
образом, |
|||||||||||
Sa (ep) L (T ) |
[F, dV] Ç Z Г 11 |
для |
всех |
со |
тогда |
и |
только |
тогда, |
|||||||
когда L (т) [F, дѴ] б Z |
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как для замкнутого ориентированного многообразия М |
||||||||||||||
имеет место формула |
L (т) [М] |
= |
ô (т) [М] б Z, то это приводит |
||||||||||||
к следующему результату: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Т е о р е м а . |
Для |
того чтобы |
ориентированное многообразие |
|||||||||||
с оснащением на границе имело те же числа Понтрягина, что и замк нутое ориентированное многообразие, необходимо и достаточно,
чтобы |
его L-род Хирцебруха был целым числом. |
З а |
м е ч а н и е . Если класс L (£)471 представить в виде цело |
численного полинома с взаимно простыми коэффициентами от клас сов Понтрягина, деленного на целое число р (Ьіп), то число р (Ьіп) будет нечетным. Это непосредственно следует из отсутствия 2-при марных соотношений (11).
Так как гомоморфизм L' : (F) —>• <0. переводит |
Q^° в L , |
то он индуцирует гомоморфизм L": Q^r->-Q./Z. Имеет |
место |