Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

спаривание в нем равно нулю на всех парах базисных векторов, за исключением пар (.г, ® yj, х* <g>у*) и (х* ® у*, xi <g>yj), на кото­ рых оно принимает значение (— 1)*, где t = (2k—s)(m—s). Таким образом, матрица спаривания разлагается в прямую сумму матриц

, /0 1\

спаривания (—1) L ^ «ортогональных» двумерных подпро­

странств s-ro пространства. Так как сигнатура этой (2 х 2)-матрицы равна пулю, то вклад каждого s-ro подпространства в сигнатуру многообразия Р равен нулю.

Таким образом, сигнатура многообразия Р в точности равна сигнатуре спаривания на пространстве Нт /2 (М; ІЯ) ® ^ Я П/2 (N ; Я).

Если оба числа т и п делятся на 4, то, выбирая базисы в про­

спаривания также диагональна. Из рассмотрения ее диагональ­

выбрать базис в Н т/2 (М ; Я), относительно которого матрица спа­

пространств с такими матрицами спаривания, получаем четырех­ мерное пространство со спариванием, матрица которого в инду-

I {Р) = 0 = 1 (М) ■I {N).

Утверждение с) впервые было доказано Томом [1]. Допустим,

щая коммутативная точная «лестница»:

Hr (W) — І-Г (М) -> Я г+1 (W, М) -> Н г+1 (W )

. . . ^ H n+i_T{ W , M ) ^ H n- r ( M ) - ! ^ H n_T{W)-+Hn-r{W, М )-* . . .

где /: М — W — вложение и все группы рассматриваются с ве­ щественными коэффициентами.

Положим А г = im (/*)г и Кп_г = ker (/*)п_г.

(а и Ь, [М]> = </* (а U Р), 9 [W, М[) =

= <0/* (а и P), [W, М]) = <0, [W, М}) — 0.

Так как гомологии и когомологии рассматриваются с коэф­ фициентами в поле, то по теореме об универсальных коэффициен­ тах имеет место изоморфизм Нг (М) ^ Hi {М), и гомоморфизм /* является двойственным к отображению /*, т. е. диаграмма

# П_Р( И 0 ^ —

Наконец, из свойств а) — d) сигнатуры следует, нто она опре­

деляет кольцевой гомоморфизм I: Q*0 ->■ Z, переводящий все классы кобордизмов [СР (2к)] в 1. Так как любой кольцевой гомо­ морфизм в £ или СЪ должен аннулировать все подгруппы конеч­ ного порядка и так как классы [Ci3 (2к)) мультипликативно порож-

дают (над СЪ) все кольцо Sо ® Съ, то любой гомоморфизм пол­

Так как сигнатура определяет гомоморфизм Q®0 в '£, то должно существовать выражение для сигнатуры ориентированных тг-мер- ных многообразий в виде линейной комбинации с рациональными коэффициентами от чисел Понтрягина. Точное выражение сигна­ туры через числа Понтрягина дает теорема Хирцебруха о сигна­ туре (Хирцебрух [5]):

SO

Т е о р е м а . Гомоморфизм сигнатуры I: Q* -*- £ задается вычислением L-класса, т. е. для каждого замкнутого ориентиро­ ванного многообразия имеет место формула I (М ) — L (т) [М1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть L'\ Q®0 —*-Q. : [М1 -*■ L (т) [М] — гомоморфизм, заданный вычислением L-класса. Согласно формуле для диагонали. AL = L ® L, откуда непосредственно следует, что L' является кольцевым гомоморфизмом. Теперь для того, чтобы доказать равенство I = L', достаточно проверить,

2яі у (tanh z)2,!+1Zh i