Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Используя алгебру Стинрода Jbv, можно тогда повторить для ориентированных многообразий почти все конструкции, которые применялись в 2-примарном случае для теории неориентирован­ ных кобордизмов.

Пусть М п — замкнутое ориентированное многообразпе. Из тео­ ремы двойственности Пуанкаре и теоремы об универсальных коэф­ фициентах следует, что спаривание

IP (М; Zp) 0 Яп_і (М; Жр) - + lp: a 0 b -► {а и Ъ) [М\

является обычным двойственным спариванием. Тогда существуют единственные классы By щ 6 Я “і(р~11 (М; Жр), такие, что

(&1а) [М] = (щ и а) [М\

Т е о р е м а . Пустъ М п — замкнутое ориентированное мно­ гообразие. Тогда класс Qi совпадает с приведенным по модулю р классом S /р-1 р_п (Т (т)), т. е. если касательный класс Понт-

\’ ' '' 1 2 '

рягина многообразия М п формально представитъ в виде Ц (1 + а:))>

сом Бу и касательными классами Штифеля — Уитни, достаточно рассмотреть результат действия операции &г па классе Тома

U £ Я* ( TB S02k\ Z ) . Используя принцип расщепления, класс U можно представить в виде произведения х1 . . . xh 2-мерпых классов, так что элемент П‘г (хг . . . xk) равен сумме всех мономов

приведенной по модулю р. Покажем это. По предыдущей теореме

Тогда имеет место (mod р)-аналог теоремы Дольда:

Т е о р е м а . Все соотношения между числами Понтрягина

ориентированное п-мерное многообразие Мп, такое, что ср (а) =

является свободным J-.pH.Qa)-модулем, и из результатов о гомото­ пических группах спектров с такими когомологиями непосредст­

венно следует, что образ группы я* (T B S O ) в Я* (T B S O ; Zp) в точности состоит из элементов, аннулируемых элементами груп­

пы J vIi* (T B S O ; Zp). Используя теперь метод доказательства теоремы Дольда, нетрудно получить доказательство теоремы. ■

З а м е ч а н и е . Этот результат и его аналог для комплексных многообразий (который доказывается точно так же, с использо­

ванием того, что группа Я* {TBU; Zp) является свободным ^р/(<2о)-м°дулем) впервые был получен Атья и Хирцебрухом [3]. Так как все р-примарыые соотношения между Z-когомологиче- скими характеристическими числами следуют из Х-теории, то и со­ отношения By должны вытекать из соотношений, даваемых Х-теорией. Предлагаемый ниже вывод соотношений By также был получен Атья и Хирцебрухом.

Т е о р е м а . Для каждого разбиения со обозначим через Ѳм Ç 6 Я* (В SO; 31) класс, полученный из S a (е^) L умножением каж­

дой компоненты размерности (2і -)- Ап (со)) на ql, где q = р1/<р_1>. Тогда каждая компонента класса Ѳш может бытъ представлена в виде произведения некоторой степени числа q на рациональный полином от классов Понтрягина со знаменателем, взаимно простым с р, так что для класса Ѳю имеет смысл приведение по модулю р 1), и, следовательно, определен класс рр (Ѳш) 6 Я* (BSO; Zp). Факти­

где правая частъ равенства сравнима с нулем по модулю р, и, сле­ довательно, соотношения Бу {$>т* (Ъ) — ѵх* (b)} [М ] = 0 для всех Ъ 6 Я* (BSO; Zp) вытекают из соотношений, даваемых К-теорией.

*) Заметим, что кольцо целых р-адическпх чисел Zp замкнуто относи­

тельно извлечения корня степени (р — 1), поэтому g Ç Zp и 0О g В* (ВSO; Zp).

Обратим внимание, что ниже все вычисления будут проводиться в поле р-адических чисел; по модулю р будут приводиться элементы, принадлежащие кольцу Zp CZ С5,р.— Прим, перев.

тогда и только тогда, когда к является степенью числа р. По тео­

=(x) & - 1 (x) =

=cP 1 (x2) (mod p).

Обозначим через сршфункцию, полученную из Sa (е^) умножением

то L* г= у (mod р). Тогда

Это дает равенство

(g>) v - S a ( f )} [M] = ~2n(“)} {Sa ( e # ) L - S a ((?)} [M\

по модулю p. Так как числа iS(a(e^)L[M] и Sa (<j?)[M] принад­

лежат кольцу Z [ 1 ] , то правая часть равенства сравнима с нулем

Ъѵ — &b = &~1 (&b)v — (&b)= S K {'9v_1Sa(k®)y—<Sffl(^)} = 0(mod p).

Следовательно, соотношения By вытекают из соотношений, давае­ мых /С-теорией. g

З а м е ч а н и е . Можно использовать тот же метод и в случае комплексных кобордизмов. Действительно, если каждую компо­

(с) и и тем самым все соотношения By опять будут выте­ кать из соотношений /іГ-теории. Этот метод проходит и для р = 2,

так как в этом случае члены, содержащие 2р;_1, не возникают

и[е)ПМ] в Z.

Для полноты исследования р-примарной ситуации приведем еще один результат, получаемый так же, как и в 2-примарном случае.

Т е о р е м а . Пустъ р — нечетное простое число. Д ля каждого оснащенного многообразия М п рассмотрим ориентированное мно­ гообразие Fn+1, дѴ = М. Тогда (mod р)-инвариант Хопфа гомо­

топического класса отображения 5Л+ТІ S N, N ^ п>представи­ телем которого является М , равен

Sfy-i p -i^(f (ѵ)) [F, Ж],

где 2i (p — 1) = n + 1, и является единственным инвариантом оснащенных кобордизмов, который можно получитъ таким спосо­ бом при помощи Zp-когомологических характеристических чисел.

З а м е ч а н и е . Из работы Люлевичуса [1] о разложимости операций бРг известно, что (mod р)-инвариант Хопфа, соответст­

вующий операции éP\ может быть ненулевым только для £ = 1 х). Для п = 2р — 3 имеем

Н Р(\М]) = Ç, ( V ) [7, М] = щ ( V ) [У, М] - - у, (т) [У, М\ -=

= —pL(р-1 )/2 (х) [У, М] = —рес [М] (mod р).

Таким образом, если инвариант Адамса в£ ([іѴЛ) представить в виде

( y j + , где а, Ь, с Ç Z и с взаимно просто ср, то Н ѵ([М ]) ===

= —а (mod р). Таким образом, инвариант Адамса определяет (mod р)-ииварпаит Хопфа в точном смысле этого слова.

2-примарные результаты

Для полноты изложения, по-видимому, желательно привести основные результаты о 2-примарной структуре пространства ВSO из тех, которые не использовались при выбранным выше методе исследования кобордизмов.

Т е о р е м а . Кольцо когомологий H* (BSOn\ Z2) является

кольцом полиномов над Z2 от классов Штифеля— Уитни иц (у71) для 1 <; і ^ п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим отображение BSOn ->■ ВОп, классифицирующее расслоение у". Тогда гомоморфизм

fl: Н* (ВОп; Z2) = Z2 [іщ | 1 < £ < ni H* (BSOn; Z2)

переводит w-t в wt (y"). Так как wx (yn) = wx (det y") = 0 вслед­ ствие тривиальности расслоения det yn, то определен гомоморфизм

ІпРп = Z2 ІШі I 1 < i < 711 H* {BSOn‘, Z2).

Покажем, что он является мономорфизмом. Пусть gn: ВОп^х

все эти элементы алгебраически независимы в кольце Z2 [іщ | 1 ^

*) Методы А-теорпи позволили дать простое решение задачи об инва­ рианте Хопфа 1 п о (mod р)-йнварнаите Хопфа. Первым такое решение получил Дайер (Dyer, Chern characters oî certain complexes, Math. Z., 80

(1963), 363—373). В настоящее время существует очень много вариантов решений, основанных на различных результатах из А-теоріш. См., например, работы: Adams J. F., Atiyah М., А-theory and Нор! invariant, Quart. J. Math.,

17 (1966), 31—38; Бухштабер ß. M., Модули дифференциалов спектральной последовательности Атья — Хирцебруха, II, Машем, сб., 83, № I (1970), 61—76.— Прим, перев.