Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

^ і ^ (п — 1)], то гомоморфизм ff, ір„ является мономорфизмом. Покажем, что ft \рп является эпиморфизмом, используя индукцию по п. Для а — 1 пространство BSOx является точкой, для п = 2 имеем B S0 2 — BU\ = СР (оо), и поэтому кольцо кого­ мологий Н* (BS0 2; Z2) является кольцом полиномов, порожден-

которая в когомологиях дает следующую коммутативную диаг­ рамму:

О <—Я* ( B S O ^ ^ - H 1 (BSO„) < - Я ип (BSOn)

4-х t 4"n t

^-I-P(BOn) < - Hi~n (BOn) <— 0

где когомологии пространств Тома заменены когомологиями баз при помощи изоморфизма Тома. [Последовательности короткие, так как гомоморфизм s является эпиморфизмом. Вследствие того что /£_і — эпиморфизм, гомоморфизм г также является эпимор­ физмом.] Используя также индукцию по і, можно считать, что

f n n является эпиморфизмом, а так как /,\_ і — эпиморфизм, то

и fn — эпиморфизм. Следовательно, и ft — эпиморфизм. Шаг индукции завершен.

З а м е ч а н и е . Этот результат объясняет, почему все Z 2-KO- гомологпческие характеристические числа ориентированных мно­ гообразий должны совпадать с числами Штифеля — Уитни.

Лемма. В кольце Н* (ВО] Z2) имеет место формула

S q 1 W i — w p v i + ( i + 1) W i + 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя принцип расщепления, представим класс wt в виде і-го элементарного симметри­

моном встречается столько раз, сколько существует способов

Адема) Sq^Sq1 = 0. Таким образом, операция Sq1 является диф­ ференцированием, квадрат которого равен нулю, и поэтому можно рассмотреть гомологии относительно операции Sq1.

Л е м м а. Группы гомологий относительно операции Sq1 сле­ дующие:

H (Н* (ВО; Z2), S q ^ ^ l ß w l ß

является тензорным произведением колец полиномов следующего вида:

Z2 1ш2і-, б'д1^ ] и Z2 [шД,

замкнутых относительно действия Sq1. Применяя теорему Кюннета, получаем, что кольцо гомологий кольца Н* (ВО) является тензорным произведением колец гомологий сомножителей, изо­ морфных Z2 [w\j\ и Z2 соответственно.

Для колец H* (BSOn; Z2) данное вычисление полностью при­

чение в группе H* (BSOn; Z) является 2-примарным. Если бы неко­ торый элемент конечного порядка в H* (BSOn; Z) имел порядок 2fe,

0 +-H* (BSOn Z2) -Ч- H* (BSOn; Z2) ч- H* (TBSOn; Z2) ч-0,

в которой класс Тома отображается в wn и когомологии про­ странства Тома можно отождествить с идеалом в H* (BSOn; Z2),

порожденным классом wn. Так как Sqhon = wxwn = 0, то опе­ рация Sq1 аннулирует класс Тома, и поэтому ядро гомоморфизма V содержит группу ji^Sq1.

Пусть gn: ВОп_і ->- BSOn — отображение, классифицирующее

ff* (BOn-L; / 2), порожденный классом гнп-і> получаем, как уже

отмечалось выше, что гомоморфизм Л 2 —>■Н* (ТВ О; Z2): a^ - a(U) является мономорфизмом в стабильной области. Таким образом,

ченный вычислением действия операций на классе Тома, является

(U <g>х) = (Sq1!!) ® X -f (члены, делящиеся на a:2),

Sq^q 1 (U ® a;) = Sq1 (U ® x2) = (Sq1!!) ® a;2.

Так как элементы Sq1!! линейно независимы над Z2, то элементы (Sq1!!) ® X и (Sq1!!) ® а:2 также линейно независимы, и поэтому гомоморфизм вычисления на U ® х является мономорфизмом.

Как уже отмечалось выше, S 1 является группой, что позволяет превратить В В і2) в JT-пространство. Поэтому в кольце ff* ( T B R {2); Z2) существует структура коалгебры, коединицей которой является класс Тома. Применяя теорему Милнора — Му­

ра, получаем, что кольцо Н* (Т B R (2); Z2) является свободным ,?#2-модулем. s

З а м е ч а н и е . Из результатов следствия и того, что кого­ мологии пространства ВО эпиморфно отображаются на когомоло­ гии пространства В В і2), можно вывести, что кольцо W \ (Я, 2) мономорфно отображается в 91*, и фактически вывести все резуль­ таты о структуре кольца (Я, 2).

Отсюда можно получить также следующий результат Уолла:

Т е о р е м а . Как модуль над алгеброй Стинрода, группа

H*(TBSO; Zo) является прямой суммой экземпляров Л 2 и Л АЛ ^Sq1. Более того, существует отображение спектра ТВ,SO в произве­ дение спектров типа К (Z) и К (Z3), которое является 2-примар- ной гомотопической эквивалентностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим Т = Н* (TBSO; Z2). Взяв приведенное произведение спектра T B S O с корасслоением S1 -ѵ RP (2) S 2 и применяя функтор 2 2-когомологий, получаем

точную последовательность

О -+-Т+-Т{х, х2}+ -Т< - О

морфно отображается на дополнительное слагаемое к л (ker Sq1).

и так как операция Sq1 аннулирует пространство К , то он инду­

Так как / — эпиморфизм, то и Е также является эпиморфизмом.

F

Поскольку композиция гомоморфизмов (L ® х) 0 (К ® я) —►

Поскольку образ элемента m в Т/Т' не равен нулю, ибо он отобра­ жается в дополнение к п Т' , то элемент m 0 х2 £ IT SË А 2 ® М 0 х не равен нулю. Таким образом, естественное отображение U’ -*■ Т/Т1 должно иметь нензміевое ядро в размерности і + 2, и, сле­

= 2 Q-ßi "T / j b j k j ,

где l'iÇ_L’, kjÇ.K и a,, b j ^ A z- Применяя гомоморфизм я к обеим частям равенства и используя независимость групп M, V и К ,

Sqhn = Sq1 ( S ad'i) + Sq1 (У, bjkj).

следовательно, и тѣ', и ш" оба равны нулю, что противоречит