Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

нин имеет место изоморфизм кег Sq1/im. Sq1->- кег Sq1/J/- ,2Т групп, каждая из которых изоморфна К. Так как Sq^-U — 0, то изомор­

физм Тома индуцирует изоморфизм колец H* (H* (T B S O ; Z«), Sq!) и Н * (Н* (BSO; Z2), Sq1), переводя группы ker Sq1 и im Sq1

можно взять пространство, порожденное классами w\aU, которые

спектров К (Z) и К (Z2), индуцирующее изоморфизм г 2-когомоло- гий и, таким образом, являющееся 2-примарной гомотопической эквивалентностью. 9

З а м е ч а н и е . Этот результат был уже получен в начале главы геометрическими методами. Приведенное доказательство его, основанное только на когомологических методах, по сущест­ ву принадлежит Уоллу [3].

ГЛАВА X

СПЕЦИАЛЬНЫЕ

УНИТАРНЫЕ

КОБОРДИЗМЫ

Имея уже разработанный механизм для изучения специаль­ ных унитарных кобордизмов, которые являются «ориентирован­ ным» аналогом комплексных кобордизмов, можно довольно легко получить многие результаты об их структуре. Новым в методах этой главы будет только использование Д’О-характеристических

1 іт я п+2г(ТБ5С/г, оо).

г—+00

В первую очередь для изучения этих групп необходимо знать структуру пространства BSU. В когомологиях эта структура описывается следующей леммой:

Л е м м а . Кольцо когомологий H* (BSU n; Z) является кольцом целочисленных полиномов от классов Чжэня сг (у"), 1 < і ^ п, где у” — универсальное ориентированное комплексное п-мерное векторное расслоение над BSUn.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть fn: BSUn BUn — класси­ фицирующее отображение расслоения уп. Тогда гомоморфизм

fn- H* (BUn; Z) Z {ct 11 < і < п] H* (BSUn; Z)

/£: Лі = г[сі|1 < і< п ]-» -Я * (Я 5 г7 „; Z).

Покажем, что этот гомоморфизм является мономорфизмом. Рассмотрим отображение gn: BUn_i~^- BSUn, классифицирующее

ориентированное расслоение yn_1 © det у"-1. Тогда класс gnfh (сг)

индукцию по п, точно так же, как это было сделано при вычисле­ нии кольца H* (BSOn; Z2). Для первых шагов индукции заметим, что BSUi является точкой, а В SU 2 = BSpi — HP (оо) является бесконечномерным кватернионным проективным пространством, для которого результат леммы хорошо известен. ■

цо Q^u ® О- является кольцом полиномов над Cl от классов х2і размерности 2і, і > 1 .

совпадает с подгруппой элементов конечного порядка группы ß ^ .

Для исследования нечетно-примарной структуры заметим сначала, как всегда, что кольцо H* (TBSZT] Zp) является связной коалгеброй над Zp с коединицей U 6 Н° (T B S U ; Zp). Так как

все группы когомологий четномерны, то H* (T B S U ; Zp) является А Р/(*?о)-модулем и имеет место

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя отображение gn: BUn_i ->-

BSUn, можно отождествить группу H* (TBSUn; Zp) с подгруп­ пой gn {H* (BSUn\ Zp))-cn_iCi с= H* (BUn_û Zp). Известно, что

честве одного из образующих этого модуля можно взять элемент сіс„_і, и поэтому гомоморфизм v является мономорфизмом. ■

З а м е ч а н и я . 1. Можно получить другое доказательство следующим образом. Так как симплектическое расслоение являет­ ся .^-расслоением, то существует отображение h: BSp ->- BS U, классифицирующее универсальное расслоение. Гомоморфизм (27г)*ѵ, как показано в предыдущей главе, является мономорфиз­ мом, поэтому и V — также мономорфизм.

является прямой суммой нескольких экземпляров групп A 2/{Sql)

торых все числа Чжэня, делящиеся на си равны нулю. Так как

торого все числа Чжэня, делящиеся на сь равны нулю. Рассмот­ рим подмногообразие Nn cz Мп X CP (1), двойственное классу с, (М п X CP (1)) (или расслоению det т). Многообразие N n явля­ ется ^^-многообразием со следующим полным классом Чжэня:

с/уѵ _ сЩ)(1+а)*_

'І + Сі (М) + 2а

Следовательно, его характеристические числа имеют вид

[/V] = (cffl (M)+awm+ (Ci(M)+2a)Km (с1(іІГ)+2а)ІУ¥X СР(І)]

=сш(М)[М] •2а[СР(1)] = = 2 са Ш1, ■

где иа и ѵа —.полиномы от сг (М ) и а. [Все дополнительные члены

обращаются в нуль, так как а? = 0 и все числа Чжэня многообра­ зия М, делящиеся на сь равны нулю.] Таким образом, 2 [М] =