ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
Чжэня S ^/-многообразий следуют из условия обращения в нуль чисел, содержащих с{, и из соотношений, даваемых К-теорией для квазикомплексных многообразий. Описание мультипликативной структуры основано на следующем предложении:
П р е д л о ж е н и е . Пустъ р — нечетное простое число. Тогда существуют SU-многообразия M f Ç ОІГ, і>-2, такие, что элемент
рр (т (Mf)), являющийся |
приведением |
по |
модулю |
р элемента |
|||||||||
(т (Mf)) = 2 |
Sa (е) |
[М\ аа, имеет |
наибольший моном вида |
|
|||||||||
1) |
ai, если і ф р 3, ps— 1 |
ни |
для |
какого |
s, |
|
|
|
|||||
2) |
cXps-i, |
если |
і = ps |
для некоторого s, |
|
|
|
||||||
3) |
apS-i_1, если |
i = p s— 1 |
для некоторого s. |
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
каждого |
квазикомплексного |
||||||||||
многообразия |
М обозначим |
через |
дМ с |
М |
подмногообразие, |
||||||||
двойственное классу сь которое является |
S ^-многообразием. |
= |
|||||||||||
Докажем |
часть |
1). |
Если |
dim М |
= |
2і, |
то |
S i (e)S’[M) |
|||||
= Si (с) [М ], |
поэтому достаточно найти |
разбиение |
со Ç я (і + |
1), |
|||||||||
для которого Si (с) [дСР (со)] ф |
О (mod р). Выберем такие разбие |
||||||||||||
ния |
со следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a) |
г, г -р 1 =zfeO(mod р): со = |
(1, 1, і — 1); |
іф р* — і: |
|
|||||||||
b) |
і-'Г 1 = p r(ри + ѵ), |
r > |
0, |
0 < v C p , |
|
||||||||
(1)0: со = (prv, р г+1и),
(2) и = 0: со = |
( р г, р Г(у — 1)); |
c) і=^рг(ри-\-ѵ), |
г > 0, 0 < ѵ < р , і ф р в: |
(1)н > 0 : со = (1, р Тѵ, р г+1и),
(2)и = 0: со = (1, рг, рт(ѵ— 1)).
|
Докажем |
часть 2). |
Для |
i = ps положим |
Mi = д (CP (1) х |
|||
X CP (ps_1) X |
. . . X CP (ps~1)), |
где взято произведение p экзем |
||||||
пляров |
пространства .CP (ps_1). Полный класс |
Чжэня |
многообра- |
|||||
|
М і |
|
|
|
П (і+ ^ )р5_1+1 |
|
|
|
зия |
имеет вид (І + г)2— — --------------= |
Xj |
, и |
многообра- |
||||
|
|
|
|
l + 22:-j-(ps-:t-)-l) |
|
|
||
зие |
Мі |
двойственно |
классу |
2x + (ps-1-l-l) S |
|
Вычисления |
||
будем проводить по модулю р. Члены 2 х} вносят в характе ристические числа сумму р одинаковых чисел, поэтому характе ристические числа mod р не изменятся, если вычисления проводить
для полинома с (Mf) = [] (1 -j- xj)p |
+1 и многообразия M f, |
двой- |
|||
|
|
5—1 |
|
Чжэня mod р у такого |
много |
ственного классу 2х. Но числа |
|||||
образия M f |
будут |
точно |
такими же, как и у многообразия |
||
2СР (ps-1)p. |
Для |
со Ç л (і) |
имеем Sa (е) àf [Mf] = Sa (с) [Mf] = |
||
= 2 5 ш(С)( [С Р (^ 1)]Р)=25и(е)^([С Р(^-1))Р), и так как Рр[СР ( р ^ ) ] имеет наибольший моном вида ctpS-1 , то часть 2) доказана.
Докажем часть 3). Для i= p s— 1, s> -1, положим М = М і = = ô (ЯР (р5'-1) х ••• X C P (ps_1)), где взято произведение р экзем пляров пространства CP (рй-1), и обозначим через Я с—CP (ps-x) X
X . . . |
X ЯР (ps-1), |
как и в гл. VII, подмногообразие, двойствен |
|||
ное |
расслоению |
<g>■■• 0 |
£р- |
[Многообразие |
М двойственно |
расслоению (£t 0 |
... ® |
^ .] |
Полный класс |
Чжэня много- |
|
образия |
М имеет |
вид |
ѵ |
(і j-х лр5-1"^“^ |
|
|
||||
ТТ — - |
-■j -----==— , и оно двойственно |
|||||||||
классу |
(ps_1 + 1 ) 2 Xj, |
в |
то время |
как |
полный |
класс Чжэня |
||||
Л |
|
ZT |
|
|
тт |
(1+яД |
+ |
двойственно |
||
многообразия |
п |
имеет |
вид I I |
- —1—-!=------ , и оно |
||||||
|
|
|
|
|
|
ä=i |
1 + s ^ |
|
|
|
классу |
y\xj. |
Таким образом, |
для |
2 имеем c!ù(M) = ctù(H)-\- |
||||||
-Т ps_1y<o, где |
ѵш— симметрическая |
функция от xj, т. е. ѵа = |
||||||||
= a 2 |
1 • • • xf |
1-1 ■• • xpS г- Умножая |
ca (M) на |
(ps_1-h 1) |
||||||
и вычисляя значение на фундаментальном классе произведения
многообразий СР(р*~г), |
получаем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
сш(М) = |
(ps_1 + 1 ) сю(Я )(mod р2). |
|
|
|
|
||||||||
|
Как и в предыдущей главе, можно показать, что для любого |
||||||||||||||||
многообразия V |
размерности |
ps — І и |
числа |
k ^ p s— p-j-1 |
имеет |
||||||||||||
место формула Sß (е) 3 [V] = |
У, |
сш[F], где |
|
р Ç я (к), |
аш, |
ba Ç Z |
|||||||||||
и |
ba ф 0 (mod р2). |
Поэтому |
(е) 3 |
[М] = |
(р5"1 + 1) |
(е) <5° [Я] |
|||||||||||
(mod р). |
Таким |
образом, |
многообразие |
М |
имеет |
такой же |
|||||||||||
наибольший |
моном, |
что- |
и |
многообразие |
Я, |
у |
которого этот |
||||||||||
моном, |
как |
известно, равен |
|
|
Для |
s = 1 |
имеем ca (М) = |
||||||||||
= |
0 (mod р) |
(вследствие |
симметрии |
по переменным х{), |
поэтому |
||||||||||||
Sp. (е) 3 |
[М] = У \'т ^c<L[Щ = 0 (mod р), |
где |
р £ я (к ), |
к > |
0 (так |
||||||||||||
как в этом случае ЬафО (modp)). Таким образом, требуется
показать только, |
что 3 [М]=^0 (modp). Имеем |
|
||||||
г |
) 2(е2І"Ч -1) [СР{ 1)]р = |
|
|
|||||
3 \М\ = п (■ |
|
|
||||||
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ez—ip |
l |
|
^ |
|
dz |
Л р - |
|
|
|
\ 2пі У |
|
(ez— I)2 ) |
|
||||
4 т+ Х- ГГ |
/ |
' |
~ |
г |
Г п Г Т г ) * |
(u = «* — !) |
||
и2 (іг -{- 1) |
|
V 2ltî |
J |
u2 (n -(-l) / |
|
|||
15—01024
=1 - ( - 1 ) Р =
=2 0 (mod р). ■
С л е д с т в и е . |
Кольцо Й*и <g>Z ["g-J |
является кольцом поли |
|
номов над Z I ^ J |
от классов |
і > 1 . |
|
З а м е ч а н и я . |
1. Многообразия М f, |
описанные в предложе |
|
нии, дают набор образующих кольца Qfy (x)Z7,.
2. Нечетно-примарную структуру кольца й®и впервые вычис лил Новиков [2], используя метод спектральной последователь ности Адамса.
Вычисление 2-прнмарной структуры было проведено впервые Коннером и Флойдом [6], методы которых мы будем использовать ниже.
Имеют место точные последовательности
Q f |
------1— Q f |
\ |
/ |
ô\ |
Л р |
» \(C , 2)
и
О- 7ГЛС, 2 ) Д й ? Л й ? -
-> 0 .
Так как |
7/Л-і (С, 2) с: й2з-_і = О, то |
это |
дает |
точную |
после |
|
довательность |
su |
-,su |
|
|
||
|
|
1->0. |
|
|||
О -> QÎÏ- і -> Off Л W‘2J(С, 2)-> Q.ÎÏ- 2 -> Й| |
|
|
||||
Л е м м а |
2. Имеем QQ^ ^ Z , Qfp = |
Z2 |
и |
|
= |
Пустъ |
ÔÇQf*7—ненулевой класс-, тогда Ѳ2 является ненулевым клас-
r>su |
• |
|
|
|
|
сом в У2 |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим точные последовательности |
||||
|
0 - > 5 Г о ( С , 2 ) Д й ^ ( = г ) Л й ^ 4 ( = 0 ) - > 0 , |
||||
|
0 -» 7 Г 2(С, 2)—>Й^( = г ) Л й ^ 2( = 0 ) ^ 0 . |
||||
Тогда гомоморфизмы QQV |
9К0(С., 2)-4-Йо ( = 2) являются изо |
||||
морфизмами. Так |
как |
группа %Г2(С, 2)^sZ порождена много |
|||
образием |
CP (1) |
и |
дСР (1) = 2, то коядром |
гомоморфизма |
|
Z = 7#‘2(C, 2 )Д QoU = Z является группа Z2 ^ |
и с образующим |
||||
Ѳ= £(1). Так как гомоморфизм д является мономорфизмом
на группе #*2(С, 2), то гомоморфизм V. ßfu -> ß fü также является изоморфизмом. Так как гомоморфизм t есть умножение на класс
Ѳ= £(1), то образующим группы ß 2u = Z2 является элемент Ѳ2. ■
П р е д л о ж е ни е. Все элементы конечного порядка в ß®ü имеют порядок 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как гомоморфизм t: ß f/^ - ^ ß lb - i является эпиморфизмом и задается умножением на класс Ѳ,
то группа состоит только из элементов порядка 2. Под группа элементов конечного порядка в группе ß 2f является ядром
композиции гомоморфизмов ß 2f -Д- |
( С , |
2)—t ß 2;, но |
—моно- |
||
морфизм, |
следовательно, |
Tors (ß2j ) — ker р = im £, т. |
е. также |
||
состоит из элементов только порядка 2. |
|
|
|||
Л е м м а |
3. ßf° = 0. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
(Дано Лашофом |
и Ротенбергом.) Рас |
|||
смотрим гомоморфизм забывания *5*: ß*r—>ß®ü, индуцированный вложением у: S —>-T B SU . Так как гомоморфизм ]*:Н* (Т В SU ; Z)->-
-+H*(S; Z) является изоморфизмом в размерностях, меньших 4, и эпиморфизмом в размерности 4, то гомоморфизм Д = S+ гомо топических групп является изоморфизмом в размерностях, мень
ших 3, и эпиморфизмом в размерности 3. Пусть a Çß ftr — такой элемент, что £*(а) = Ѳ. Так как 2а —0, то 2ос3 = 0, и так как
ß 3r = Z24, то a3 = 2ß. Таким образом, Ѳ3 = S* (а3) = 2.S* (ß), но все
|
|
|
|
|
имеют порядок 2, так что |
||
2iS,H:(ß) = 0. |
Наконец, |
гомоморфизм |
t: ß fu —> ßfü является |
эпи |
|||
морфизмом. |
Из |
Ѳ3 = 0 |
следует, что |
£Ѳ2 = 0, |
поэтому ß fü = 0. ■ |
||
З а м е ч а н и е . |
Другое доказательство леммы можно дать |
||||||
следующим образом. Из точной последовательности 0-+ W 4(C, 2)->- |
|||||||
ß f ( = IL ® Z) |
ß^ ( = Z) -> 0 следует, что |
(С, 2 ) ^ Z c |
обра |
||||
зующим, |
представленным |
многообразием |
9(ТР(1)2 — SCP (2), |
||||
у которого с\ = 0, с2=12 |
и of-число равно |
1. Для 4-мерных |
|||||
^^-многообразий |
of-число |
должно |
быть четным (это следует |
||||
из рассмотрения КО-чисел, которое будет приведено ниже), так
что гомоморфизм |
р: ß fy-*- |
( С , 2) не является |
эпиморфизмом. |
|
Тогда гомоморфизм д: З Г 4 ( С , 2 )- ^ ß ft/ = Z2 |
является эпиморфиз- |
|||
мом, и поэтому |
гомоморфизм |
t: ß 2 —*■ß 3 |
есть |
одновременно |
эпиморфизм и нулевой гомоморфизм, следовательно, ß fC7= 0. ■
Рассматривая точный треугольник
|
Qs u ---- |
L_* QW |
|
\ |
/ |
|
е\ |
^ р |
|
5Г* (С, 2) |
|
как |
точную пару 1*), получаем производную пару |
|
|
im t |
і |
|
> im t |
|
|
\ |
/ |
|
a' \ |
^ p' |
|
H (7F) |
|
где |
H (IF) — гомологии группы |
I I \ (С, 2) относительно диффе |
ренциала pö: IF* (С, 2)-ѵ?#’И: (С, 2). Это дает точную последова тельность
(йад-і) Л t (Qff) Л Н2] (IF) Л t (QfT-з) Л t (QfF_2 ) -V ... .
Теперь Q ffi — f(Qff-2 ), так как if— эпиморфизм, поэтому образом
гомоморфизма |
t: |
t |
SU |
su |
является |
su |
), |
(Q2 j-i)-> f (^2 j ) |
группа f3(Q2j - 2 |
||||||
но f3 = 0, так |
как |
Ѳ3 = 0. |
Таким |
образом, |
последовательность |
||
расщепляется в короткие последовательности вида |
|
||||||
|
О |
1(Qff) |
HZj (IF) |
1(Qff.s) ->■ 0 |
|
||
|
|
|
0su |
|
o su |
|
|
|
|
|
^2j+l |
|
^2}-3 |
|
|
Как показано в гл. VIII, ker (рд) = Q*sü, a согласно лемме 1,
имеем 2QjSC7 c: im (pd), поэтому группа II2j {IF) является Ж2-век- торным пространством, и рассмотренные выше короткие точные последовательности расщепляются, давая следующий результат:
Л е м м а 4. |
II2j ( I F ) s * Qff+i 0 Оад-з- |
и |
|
Так |
как подгруппа элементов конечного порядка группы Q^u |
||
|
|
SU |
|
полностью определяется группами £22і+і , то вычисление группы |
|||
H t ( I F ) |
должно |
дать полное вычисление |
группы TorsQ*17. |
Приступим к вычислению группы Я* {IF)- Рассмотрим точную последовательность
О I F * (С, 2) Л J F * (С, 2)-»- Ж* (С, 2) ® Z2 -ѵ О,
1) Изложение теории точпых пар можно найти, например, в гл. VIII книги Ху Сы-дзяна «Теория гомотопий», «Мир», М., 1964.— Прим, перев.