Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

просто короткие точные последовательности

О

Я 2;і (W) -у I-hk {W ® Z2)-> Я 2Ь_2 (7Я) -> 0.

Из результатов гл. VIII получаем такое

У т в е р ж д е н и е . Кольцо 5Я* (С ,

2) <g Z2

является кольцом

полиномов над Z2 от классов z2n для ?г^=2.

Граничный

гомо­

морфизм д

действует по формуле

dz2 = 0,

3z4n = z4Jl_2,

если

порожденный

элементом z2, замкнут относительно действия д.

Из короткой

точной последовательности

О-*- W -+

(С , 2) ® Z2-+ W '{ = (7Я* (С , 2) ® l 2)/W " )^ 0

О -> Я , (W")

Я* (W ® Z2) -> Я Л W ) -> 0.

Из рассмотренной выше

формулы d(z2x) = z2dx следует, что

Я* (IF") = я2Я* (W ®7L2).

Таким образом, имеет место

Л е м м а

5.

Группа

Я* (W ® Z2)

является кольцом полино­

мов над

Z 2

с

образующими }ц

(представитель z2)

и

hBn, п ф 2

{представитель (z| + z2z4n-2 z4n)).

Возвращаясь теперь к группе W*. (С, 2),

заметим,

что

обра­

зующие

z2n, п ф 2,

кольца

(С, 2) ® Z2

представлены

клас­

сами

z2n 6 ЗГ* (С, 2),

такими,

что

р <9z4n= Z4 „_2,

если

п > 2 ,

и pdz2 = 2.

Используя умножение B Ö J I расширение

отображе­

ния рЗ до аддитивного отображения 3' кольца Q*, получаем для

любых элементов а, &6 W* (С, 2) формулы

и

Ф(аЪ) = аЬ+ 2 [F4] д'ад'Ъ

д' (ab) = а (д'Ъ) + (д'а) Ь — г'я (д'а) (д’Ь),

где

[F4]

совпадает

с

классом

кобордизмов

z'2 — [СР (2)].

Если все числа Чжэня многообразия М, содержащие класс щ,

равны нулю

(д' [ А Л

=

0) и X

— некоторое квазикомплексиое

жащие

класс Cj,

равными

нулю

(с2 = 0, с2=12), поэтому он

является циклом в группе W \( С, 2). Этот элемент представляет

элемент

z\ в кольце

(С, 2) <g>Z2

и, следовательно, класс

(Іц)2

в кольце Я* (W ® Z2).

Для п > 2 имеем

d'O(z'à) = д' ( Z & + 2 [F4] (3'z4„)2) =

=

(2Z/inZ4n_2

Z2Z(Pii—2) -j- 23 [F4] Z4n—2 —

— 2z4n• Z4n_2 •

Z2Z4„ -2,

так как

3' [F4] = 0,

потому что 3 '[F4] является 2-мерным

клас­

сом с Сі (3 '[F4]) = 0.

Имеем также

З'Ф (z’2zin) = 3' (z'z'4n-f 4 [F4] z4n_2) =

= z'z4 n - 2

+ 2z4n—2z„ziin-2 “h 43* [F4] z4n_2 = 2z4n — zaz4n_2.

является циклом (d'z4n_ 2 = 0),

приведение которого по модулю 2

дает класс

(z4n-t-z2z4„_2Z4n) €

(С, 2) <g) Z2,

являющийся

пред­

ставителем

класса

гомологий

К8 п ^ Н ^ { Ж

® Z2).

Таким

образом,

кольцо

Я* (7Г) отображается на указанное

подкольцо

в Я* {Ж ® Z2)•

Используя

точность

последователь­

ности 0 -ѵ Я* (F*) ->- Я* (#" ® Z2) ->• Я* (7Г)

0,

подсчетом

раз­

Вернемся

к изоморфизму

Н2п (Ж) = &іп+і Ѳ

Так

как

Я 8)і+2 (Ж) ^

Я 8/1+с (7/-) ^ 0,

то

Qs/f+.i =

Й8 ^ + 7 = 0.

Так

как

Нт+і {Ж) —H 8h {Ж) (изоморфизм

задается

умножением на

с4),

Т О Qfh+1 ® Qsh- 3

=ßfft+5 ®

И Л И ^8й+5 — ^8ft—3• ПриМѲНЯЯ

индукцию

по к,

начиная с группы

получаем, что Qffc+ 5 = О

для всех к.

Тогда fifh+i = Я 8ь (7F), и мы приходим к следующему

результату

Коннера и Флойда

[6],

18.3:-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как Ii8if{W) является кольцом

полиномов над Z2 от классов

с8у, к >-2,

и сJ и имеет место изо­

морфизм Qsh+i = П8и(Ж),

то нечетномерные группы

t:

удовле­

творяют

условиям

теоремы.

Так

как

гомоморфизм

и для

->-Tors (Qf,P) является изоморфизмом,

то

это

же верно

подгрупп

TorsQ®^. я

Вернемся к точной последовательности

O-vQff-i

fiff Д

Ж2) (С, 2) Л

Qf/La Л

ß SÜ

О;

21—1'

имеет место следующая

Те о р е м а . Образ гомоморфизма

р:

Qfj7

Ж%і (С, 2)

совпа­

дает с

группой циклов

Z {W2j (С, 2), рд),

если

2/ ф А (mod 8),

;/. с группой границ B (W 2j( С, 2), рд),

если

2j = 4 (mod 8).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если 2/ =é=4(mod8),

то

2/ — 2=^8А:-і-2.

Поэтому

группа

не имеет кручения и отображение

р: £22]Д

Ж чі- ч (С, 2)

является

мономорфизмом.

Тогда

ker (д: Ж2І{С, 2)-*Q f£.2) = ker (рд:

Ж 2І (С, 2)

Ж ^ 2{С, 2)) =

= Z(W u{C, 2), рд).

эпиморфизмом,

тогда

как

отображение

р: Qfj^ - 2

-*■ W ij-z (С, 2)

имеет

ядро,

изоморфное

группе H2j-i ЦИГ) = Нц (#'*)■ Тогда

((kerp0)/kerd)2j^ H 2j(fr)

и pQf^ = f i ( ^ ( C , 2), рд). ■

С л е д с т в и е .

Пустъ

д': ß*7—»-ßj7 — гомоморфизм, переводя­

щий

многообразие

М

в подмногообразие

N c zM ,

двойственное

такие, что

(im F*)/(im ô') ^ Z2 [РУ8Й]. Каждый

элемент

конеч­

ного порядка

группы ß fy можно единственным

образом

пред­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подмногообразие N c zM , двойственное

расслоению

detTju, допускает StZ-структуру,

поэтому

im д1cz

er im F*. Согласно предыдущей

теореме, группа

іш і7* =-pßfu сг

с:

(С, 2) с= ßj7 совпадает с группой Z{W )

(или

В(7Р‘),

если

dim ( ) = A(mod 8)), в то же время im д' = В (“7//‘). Поэтому

группа

((im ,T*)/(im д'))п изоморфна группе

Н„(7К),

если

77^4(m od8),

и

является

нулевой,

если

п = 4 (mod 8),

следовательно,

(ітГ ’ДДіт д') ^ Z2 [РУ8*].

Конечная

группа

Qss+i

изоморфна

группе tQsh,

и оператор t аннулирует элементы

из ішд,

тогда

как

^

Tors (Qfft+2 ),

что дает

искомое

описание

группы

Torsßfü. в

чтобы исследовать

структуру

группы

ß f17

более

Для того

1)

симплектическим, если J 2 = —1,

2)

вещественным, если J 2 = 1.