ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
образом элемента из K Sp (X ) как класс вида —р (1)21ф (я| (g ® С)) и элемента из КО (X ) как класс вида я ^ (£) ® С. Это позволяет получить следующую теорему:
Т е о р е м а . Пустъ |
М |
— квазикомплексное |
многообразие, |
Sa (е^) и S 6 H* (М; G) |
— |
характеристические |
классы, задан |
ные симметрической функцией S(ü от переменных ехі + e~Xj — 2
и произведением функций ——— соответственно, где с (М) = е*і-1
= I] (1 + Xj) в записи через формальные переменные xj. Тогда число (Sa (e^j) S) [М] является целым. Это число четно, если М
есть SU -многообразие и либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
dim М = |
4 (mod 8), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо |
dim М = |
0 (mod 8) и |
а |
не |
имеет |
вид |
(ю', |
со'). |
|
||
2) |
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
ch (я3(т)) |
является |
j-й |
||||||
элементарной |
симметрической |
функцией |
от |
переменных |
ех + |
||||||
4- е~х — 2, |
то |
характеристический |
класс |
iSra (е^) = ch Sa (я) |
|||||||
является характером Чжэня симметрических функций S Q о т клас сов Понтрягина в if-теории. Таким образом, с точностью до опе ратора периодичности, число (S0 (е &) [М] совпадает с характе
ристическим числом £щ(я) [М] в if-теории и, следовательно, явля
ется целым. |
^-многообразие. Вложим МІГ |
||||
Пусть |
|
M tr — некоторое |
|||
в сферу S8k с iSCZ-нормальным |
расслоением ѵ и обозначим через |
||||
с: S8b-^-Tv |
каноническое факторотображение, а через р: ѵ-*-М — |
||||
проекцию |
расслоения. Тогда |
|
|
|
|
|
|
(5И(ef ) S) [М] = ch с* (р*5ш(я) Ü (V )) [S8*]. |
|||
Если |
dim М = 4 (mod 8), то |
это |
число |
равно |
|
|
|
сЬфс* (p*Sa (я^) и (ѵ)) [S8b], |
|||
но с* (p*Sa (я^) u(v)) £K 08b~iT (S8b), |
где |
8к — 4г = 4 (mod 8), и, |
|||
следовательно, характер Чжэня имеет четное значение. |
|||||
Если |
dim М = 0 (mod 8) и |
со ф (со', ев'), то S w принадлежит |
|||
идеалу, порожденному числом 2 и элементарными симметрически ми функциями нечетной размерности. [Чтобы убедиться в этом, отождествим, как обычно, кольцо Н* (BO; Z2) с кольцом симмет рических функций над Z2. Идеал, порожденный нечетномерными функциями, совпадает с ядром гомоморфизма, переводящего wt
в S u’iu;i-.7 >который индуцирован классифицирующим отображе
нием расслоения у ф у. При этом гомоморфизме функция S (a переходит в нуль, если со Ф (со', со'), а если со = (<о\ со'), то S(ù отображается в б^-.] Это можно выразить следующим образом:
5м(л)= — 2 |
аю;л2і+1-5и,(я)-і- 2 У, Ьх5>.(л), |
|
7, |
|
|
где аш., bxd £- Тогда |
число (S^ (е^) 3 ) [М\ задается формулой |
|
ch фс* (р* |
У] |
я |j+iaa Sa (я^) и (ѵ)) [6,8fa] + |
7, |
|
|
-f- 2 ch с* 12 bi_S}_(я) U (v)) [58h]l. |
||
Последний член формулы дает четное число, так как он является удвоенным характеристическим числом в /^-теории. Первый член формулы является суммой членов вида ch ф (х) [£8h], где х £
Ç КОШІ (Sah), и поэтому также дает четное число. S
Теорема позволяет получить следующий результат, которого не хватало для второго доказательства равенства Ѳ3 = 0 из лем мы 3:
С л е д с т в и е . Целое число 3[М] для любого 4-мерного SU - многообразия М является четным.
Далее, заметим, что для 4г-мерного £ ^-многообразия М имеет место формула
(я8(т® С)) [М] = ßcr,
где о Ç КО* (pt) — стандартный образующий z£p (l)-s, е = 0, 1, раз мерности 4/г (со) — 4r = Ss—4е и ߣZ. Применение гомоморфизма ch ф дает формулу
ß - ( ( - i r (CX { е ^ З m ) ^ r -
Необходимо также отметить, что здесь рассматриваются только S ^-многообразия размерности кратной 4. Классы Sa (е^) имеют
ненулевые компоненты только в размерностях кратных 4, а для класса 3 имеет место
П р е д л о ж е н и е . |
Класс оТ |
совпадает с классом е-сі/2П, |
|||
поэтому |
все классы Зц+ 2 делятся на Сі. В |
частности, класс 3 |
|||
совпадает |
с классом А для |
SU-многообразий. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
||
|
х _ р—х/2 |
|
х |
_ р-х/2 |
х№ |
|
ех — 1 |
gx/2_е-ж/2 |
sinh {х/2) |
||
поэтому 3 = e~cl/2Â. g
Чтобы использовать і£0*-характеристические числа, необхо димо знать, какие значения они могут принимать. Для этого определим гомоморфизм
Р(я): £2* ->Z [а,-]: [М] ->■2 (Sa (е^) ) [М] аш
и обозначим через ра (я) приведение гомоморфизма р (я) по моду лю 2.
П р е д л о ж е н и е . |
р2 (я) (z') |
= 1 и р2 (я) (z/,n), |
п ^ |
2, име |
||||
ет наибольший моном вида |
|
|
|
|
|
|||
1) сс„, если п не является степенью числа 2, |
|
|
|
|||||
2) |
(a2S-i)2, если п = 2s, s > |
0. |
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
z' = [CP (1)], |
так |
что |
число |
|||
£ш(е^)[20] равно нулю, |
если |
п(со)>0, и поэтому |
р(я)(г') = |
|||||
= ^ ([С Р (1 )])= - 1 . |
какого |
s, |
то z/,n является классом кобор- |
|||||
Если п ф 2“ ни для |
||||||||
дизмов подмногообразия в CP (1) X CP (2Р) X СР (2р+1д), двойствен |
||||||||
ного |
классу |
ai -f-(2p-{- î)a 2-\-(2p+1q-{-1) а 3, где |
2п = 2Р (2q-\- 1). |
|||||
Тогда |
S n (е^) |
[zïin] ^ S n {<{?) [zin] = S2n (c) [z;in], и это S-число, как |
||||||
известно, не равно нулю для данного z\n.
Если п= 2s, s > 0 , то zln является классом кобордизмов под
многообразия в |
CP (1) X CP (2s) X СП (2s), |
двойственного классу |
||||
a t 4-(2s-j- l)(a2 -j-a3), и, как |
уже |
отмечалось, Z4 „ = |
[CP (2s)]2 + с, |
|||
где с принадлежит идеалу, |
порожденному |
числом |
2 и элемен |
|||
тами Ь2г-і> которые дают образующие в кольце |
Q* (gi Z2. Имеем |
|||||
р2 (я) (CP (2s)) = a 9S-i-f (младшие |
члены относительно S-чисел), |
|||||
и рг(я)(2) = 0, |
Рг (ть) (Ь2і_і) = 0 |
для £ > 1 , |
так |
как в качестве |
||
b2t_ 1 может быть взято SH-многообразие, а (2*—1) не делится
на 8. Наконец, рг (я) (&і) = 1, так как 2>i = z', поэтому если a£Qv- содержит множителем blt то dim р2 (а) ■< dim а. Учитывая все это, получаем, что старший моном элемента p2(z4 n) равен (a2s-i)2. щ
Лемма . (Коннер и Ландвебер [1].) Гомоморфизм р2(я) пере водит образ гомоморфизма рд: W \ (С, 2)-^-W^ (С, 2) в нуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как группа im pd состоит из классов кобордизмов S t/Чйногообразий, то достаточно рассмотреть случай классов [М ] = р<9 L/V], где dim М = 8к. Тогда, так как
[М] 6 Q*SU, то |
по лемме 1 |
имеем рд [М X CP (1)] = 2 [М], |
|
и, следовательно, класс а = |
2 [ІѴ] — \М X CP (1)] размерности |
||
,8к + |
2 принадлежит ядру гомоморфизма рд. Как уже отмечалось, |
||
все |
компоненты |
характеристических классов Sö (е^) с5° размер |
|
ности 8к + 2 делятся на cit и поэтому соответствующие им числа
для элемента |
а равны |
нулю. Тогда |
|
|
|
|||
|
- р |
(я) [М\ = |
Р (я) \М X CP (1)] = |
2р (я) [Я] |
||||
и, |
следовательно, р2 (я) [М] = 0. |
щ |
|
|
|
|||
2 |
Так как гомоморфизм р2 (я), очевидно, равен нулю на группе |
|||||||
\ (С, 2), то, применяя лемму, |
получаем, |
что он |
индуцирует |
|||||
гомоморфизм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 (я): Я* (5Г <g>Z2) |
Z2 [аг]. |
|
||||
Тогда р2(я)(Л2) = 1, |
н |
элемент |
р2(я)(/г8п) |
имеет |
наибольший |
|||
моном а'п, если п не |
является степенью числа 2, и имеет наи |
|||||||
больший моном (a2s-i)4, если п —2s, |
s2>0. [Заметим, что h8n = |
|||||||
— (Z/,«)" “г z2 z4 n-2 z4 n, но р2 (я) (z4л_2) = 0, так как 3z4n = z471_2; таким образом, р2 (я) (/г8,г) = р2 (я) (Zj?l)2.] Так как эти классы hi имеют различные наибольшие мономы, то имеет место
П р е д л о ж е н и е . Элемент а Ç Нп (W ® Z2) равен нулю тогда и только тогда, когда р2 (я) (ос) = 0.
З а м е ч а н и е . Это является аналогом результата в ориенти рованных кобордизмах, согласно которому числа Sa (§>) (mod 2) определяют группу кег <9/іш д, в то время как, согласно предло жению, в 5 U-кобордизмах эту группу определяют числа S a (я) (mod 2).
Т е о р е м а . Все соотношения между числами Чжэня п-мерных SU-многообразий вытекают из следующих соотношений:
a) |
с{са [М] = 0 для |
всех (в; |
|
||
B) |
Sш(е) 3 [М] ÇUL |
для |
всех со; |
||
c) |
если |
;z=s4(mod8), |
то |
(Sa (е^>) 3 ) [М] Ç 2Z для всех со. |
|
Д о к а |
з а т е л ь с т в о . |
Все эти соотношения, как показано |
|||
выше, выполняются для б'Я-многообразий. Пусть а 6 Я„ (BU ; Cl).
Если СіСи [а] = |
0, |
Sa (е) of [а] £ Z п для всех я = 4 (mod 8) |
имеем Sa (е^) 3 |
[а] |
6 2Z, то из результатов о кольце Q* следует, |
что элемент а представлен комплексным многообразием, у кото рого все числа Чжэня, делящиеся на Cj, равны нулю. Таким
ооразом, |
а 6 |
. |
|
|
|
|
Если |
пф. 4 (mod 8), |
то из |
этого уже |
следует, что |
. |
|
Если п == 4 (mod 8), то |
класс |
элемента |
а определяет |
нулевой |
||
элемент |
в группе Я* (W ® Z2), а так как Sa (е^) 3 [а] = |
0 (mod 2) |
||||
для всех со, т о и нулевой элемент в группе Н#(¥Г)- Таким обра
зом, элемент а принадлежит группе В {7Гп (С, 2) рд) и, следоваСП-
тельно, группе xß„ . ■1
1б—01024