ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
множеством кольца полиномов над Z |
от классов х\, xZi-i, |
1
х2і — 2 xix2i-i • состоящим из полиномов, которые после умноже-
I
ния на у і , могут бытъ представлены в виде суммы полинома
из того же кольца и некоторого полинома с целочисленными коэффициентами от классов хі.
З а м е ч а н и е . Так как образ группы Qsu в іГ п (С, 2) совпа дает с (ker д)п для п Ф 4 (mod 8) и совпадает с (im д)п для п = = 4 (mod 8), то теорема дает достаточно хорошее описание коль ца Qfc7Tors как подкольца в А. Например, в малых размерностях базис имеет следующий вид:
n |
(ker d)n |
(iinô)„ |
Q^/Tors |
0 |
1 |
2 |
1 |
4 |
r2 |
2x\ |
2x\ |
6 |
•?3 |
x3 |
■гз |
8 |
x\, 2(.r4 —y .TlÆ3) |
2*î, 2 (x4— Y X IX 3) |
xf, 2X4—х 4х3 |
10 |
x\x3, x5 |
x\x3, x5 |
x\x3, x5 |
Исчерпывающее описание мультипликативной структуры кольца Qfü/Tors чрезвычайно сложно, так как, например, квадрат 4-мер ного образующего делится на 4, в то время как произведение 4-мерного и 6-мерного образующих делится на 2.
Следует отметить также, что классы х\ и х \п — х1х2п ^гх2п —
— [х2п — |
|
|
х\х\п-і принадлежат группе |
ker д |
и |
||||
выбирались |
ранее |
в |
качестве |
представителей |
образующих |
||||
кольца (ker ô/im д). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
а) Если и £ А П У1А*(С, 2), то |
|
(С, 2) |
||||||
и ди = 0, так |
что u£kerô; обратно, |
если |
и£УГ*{С, 2) и ди = О, |
||||||
то и £ А. |
и = дѵ, |
|
и £А, так |
|
ди = 0. Далее, |
|
|
||
Ь) Если |
то |
как |
так |
как |
|||||
г>€7>С*(С, 2) и д |
хіU — V\ = 0 , |
то |
|
— и) £Л, |
и |
поэтому |
|||
Y xiu = p + q, P £ 5Г* (C, 2).
Обратно, если u £ A и y U = P + Q, P Çf/Z* (C, 2), q£A, то
11= d [ Y XiU) ~ И) слеД°ватѳльно, uÇimd. ■
Связь с оснащенными кобордизмами
Связь оснащенных кобордизмов с БСАкобордизмами впервые была изучена Андерсоном, Брауном и Петерсоном [1], которые вычислили образ гомоморфизма F*: Q£.r -> Доказательство их результата, приведенное здесь, принадлежит Коннеру и Флойду [8]. Наиболее трудную часть этого результата представляет собой следующее
3 |
П р е д л о ж е н и е . |
Существует класс [APJÇQf^7, такой, что |
||||||
[АР] = 1 |
и класс |
[Ms\n X Ѳ принадлежит образу гомоморфизма |
||||||
*e»+i:Q?n+1^ Q iZ +1- |
|
воспользоваться |
двумя |
леммами. |
||||
|
Для доказательства удобно |
|||||||
|
Л е м м а |
1. Существует класс [М8] ÇQfü, такой, что 3 [АР] = |
||||||
= |
1 и |
[АР] = 2 [Б8] |
в груши й®17’ fr. |
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеет место точная последовательность |
|||||||
|
|
Q f (as Z е |
Z) |
QÎU' (r ->Q^r (= TZi0)-+Qs7u ( as 0). |
||||
(Здесь |
использовано |
то, что |
lim яп+7 (S n) ss Z240-) Обозначим |
|||||
через |
X каноническое |
|
П -ѵ оо |
расслоение над |
||||
кватернионное линейное |
||||||||
HP (п). Для расслоения X над Б4 = IIP (1) касательное расслое |
||||||||
ние пространства дисков D (X) |
изоморфно расслоению |
л* (X) © |
||||||
© |
л* ( T S I ) , |
и так |
как стабильно расслоение л* ( T S -I) |
является |
||||
тривиальным, то многообразие D (X) имеет Sp-структуру, опреде ляемую тем, что его касательное расслоение стабильно изоморфно расслоению л* (X). Стандартная тривиалпзацпя расслоения л* (X) над пространством сферического расслоения S (X) — dD (X) дает многообразие (D (X), S {X)) с (Sp, іт)-структурой.
Напомним, что многообразие HP (2) является пространством Тома расслоения X над HP (1) и расслоение X над HP (2), ограни ченное на D (X), является расслоением л* (X) со стандартной тривиализацией над S (X), где л: D (X) -+НР (1) — проекция расслое ния. Поэтому имеет место формула
3[D (X), S (X)) = 3(Х) [HP (2), рѣ] = 3(Х) [HP (2)].
Чтобы вычислить это число, рассмотрим при помощи канони ческой проекции СР (5) -v HP (2) ограничение расслоения X на пространство СР (5), при котором оно, как известно, расщеп
ляется в сумму Я(£ © канонического расслоения и ему сопря
женного. Тогда |
а |
(—а) |
|
3 (ÀQ © AQ) : |
|||
(в«—1) *(«-«—1) е®+е - а _ 2 |
|||
Н О
|
|
- - * - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
7*2 |
7*4 |
7*6 |
|
|
|
|
|
|
= 2 J 1 -4-—__t-—__Î-—__L_ |
И - |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Г + 2 М 4 ! + 6! 1 ' |
|
||||||
|
|
= |
X |
“ |
'1 2 + 3 6 Ô + • |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому, |
учитывая, |
что а° = 0, |
получаем |
|
|
|
|
|||||
|
|
«2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
еа_і_е-сс_2 ~ |
а2 , ю* ~ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 12' |
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 |
. [За1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12+ W |
|
|
|
|
|
|
Так как отображение когомологий Н*(НР(2); Z) — |
|
5); Z) |
||||||||||
является |
мономорфизмом, |
то <5° (Я) = 1 |
GC |
2 |
и’ |
слеДова" |
||||||
|
- 9 4 0 |
|||||||||||
тельно, |
^ |
[Z> (X), 6" (X)] = 2 ^5 |
* |
|
|
|
|
|
|
|||
Так |
как cf-число |
|
является |
целым |
|
для |
5£7-многообразий, |
|||||
то приведенное выше вычисление показывает, что расширение, определяемое точной последовательностью, является полностью
нетривиальным, |
п поэтому fifü’Гг = |
Z ® Z. |
и |
[б8] = |
||||
= |
Тогда можно |
положить |
[М 8] |
= |
240 [D (A,), S (А)] |
|||
120 [D (A), S (А)], так |
как |
элемент 240 [D (A), S (А)] принадле |
||||||
жит образу группы QsU и имеет of-число 1. ■ |
|
|
||||||
|
Л е м м а 2. |
Пустъ |
[F "]6 ^n — элемент второго |
|
порядка |
|||
и |
[Mh] Ç ü fи — элемент, |
образ |
которого в группе Qf'и' fr |
делится |
||||
на |
2. Тогда существует |
элемент |
[Fn+fe] £ Qn+k второго |
порядка, |
||||
образ которого в группе Q„+k равен [MÄ][F”].
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть B h — некоторое (SU, ^-м но |
|
гообразие, такое, что 2 [В] = |
[М ] в группе |
fr. Тогда из точ |
ности (SU, ^^-последовательности вытекает, что 2 \дВ\ = 0 в груп
пе Q^r и существует компактное оснащенное многообразие Ch, граница которого дСк есть несвязное объединение (дВ)і [J (дВ)2 двух экземпляров многообразия дБ. Пусть Z)n+1 — компактное оснащенное многообразие, граница которого dD есть несвязное объединение (F”)i (J (У")г двух экземпляров многообразия У".
Рассмотрим произведение Ch X Dn+1, которое является осна щенным многообразием с границей, образованной объединением
многообразий |
Wi — [(сШі (j дВ2) X Dn+1] |
и |
W 2 — [(—i)kChX |
||||
X |
(Fi |
U V2)l |
в д о л ь и х |
общих |
границ |
(— |
(дВ{ (J dB2) X |
X |
(Fj |
U F2) и (— l ) fe {дВх |
[J d B о) |
X (F ! U |
F2). Удалив трубчатые |
||
(г!)кСхЦ
окрестности подмногообразий дВ^ X и дВ2 X Ѵ2 в Ch X £>,1+1 и склеив оставшееся вдоль границ этих трубчатых окрестностей (см. рис. 6), получаем многообразие X, две компоненты границы которого имеют вид
( - 1 ) ' > y n + ft= ( 9 B l x H |
) U ( - l ) ' î C X V : ! / |
C- O1B)!l r X ' V ^ - l f ô i n x V i ( с к л е и в а н и е в / ) |
1 |
/ ( — 1 ) " |
1 в В і Х Ѵ і = ( - 1 ) в 0 В 2 Х Ѵ 2 ( с к л е и в а н и е |
И |
|
|
^
в д о л ь о е )
(-i)fty? +ft= (aB2xH)U(-i)Ac x K 1/ (- 1)ï ôf 2XVlsC- 1)!!_' №2xyi |
~ |
ІЕавие D с> _ |
/ ( —і г 1 0 В г Х У г = ( - 1 )В'!і9х Ѵ і |
( с к л е и в а н и е в д о лdьb ) . |
|
Так как оснащение многообразия С X D индуцирует согласован ные оснащения на склеиваемых частях, то на многообразии X
существует оснащение и д (—l),lX = F”+fe [J Vz+h, причем оче видно, что многообразие Ѵп+к = F”+/t изоморфно как оснащенное
многообразие многообразию Ѵ2+Іі.
Таким образом построено оснащенное многообразие Fn+h,
класс кобордизмов которого имеет порядок 2 в группе [Заметим, что многообразие Vn+h зависит от выбора многообразий Chи Dn+1, но любой такой выбор приводит к одному классу кобор дизмов.]
Так |
как [М] = |
2 [В], то |
существует |
оснащенное |
многообра |
зие Ск, границей |
которого |
является |
несвязное |
объединение |
|
дВі [J дВ2, так что многообразие |
|
|
|||
м |
U ( - Bi) и ( ~ в 2) U С/д (~В,) = |
дв и д ( - В 2) = дВ2, |
|||
является границей 5 [/-многообразия Wh+1. [Это налагает условия на С, и поэтому предположим, что в предыдущей конструкции С