ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
Ле мма . |
Элемент Ѳ£ Çlfи имеет следующие КО*-характери- |
||||
стические числа: |
|
О, |
|
||
a) |
5Ш(я4 (т ®С)) [0] = 0, если |
|
|||
b) |
1 [0] Ф О в КО-' (pt) = |
Z2. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть и: TBSUir+2 ~+BSp—отображение, |
|||||
классифицирующее класс ориентации и (у4г+2) 6 |
К 0 8г+Л(TBSUir+2), |
||||
г — большое |
число. Пусть |
b— отмеченная |
точка в BSUir+2 ', |
||
тогда композиция отображении |
• |
|
|||
|
|
/: Ssr+i = Tb с_*. TBSUiT+2— |
BSр |
||
представляет образующий группы nSr+i(BSp) = KOar+i (SSr+i). Так как сфера S8r+i является (8 /- + 3)-связной, то отображение / под
нимается до отображения / в связное накрытие B Sр (8 г + 4, . .., оо) и поэтому имеет вид
/: Ssr+i—'—> B Sp(8r+ 4, 0 0 ) —^ B S p .
Рассматривая |
сферу Sar+i как |
8 г-кратную надстройку над S 4, |
получаем из отображения / отображение |
||
h: S i ^ ^ Q |
SrBSp{8r + 4, . . . . |
0 0 ) — Х й arB Sp —?-+BSp, |
где а — отображение, заданное 7-кратным применением периодич ности. Оба отображения о и Q8rJi индуцируют изоморфизм в гомо топических группах положительной размерности, так что h
является |
представителем |
образующего группы я 4 |
(BSp). Тогда |
|||
гомоморфизм h*: |
H1 (BSp\ |
Z) - у IK (54; Z) является |
изоморфиз |
|||
мом, и |
поэтому |
h*: H* (BSp\ Z) |
Н* (£4; Z) |
— изоморфизм |
||
в размерностях, |
меньших |
8 . Тогда |
отображение |
h |
я* (S‘l) -> |
|
-у я* (BSp) является изоморфизмом в размерностях, меньших 7. Таким образом, /' индуцирует изоморфизм в гомотопических груп пах этих же размерностей, а так как эти размерности принадлежат
стабильной области, то / индуцирует изоморфизм в гомотопиче ских группах в размерностях, меньших 8г + 7. Следовательно,
гомоморфизм |
/*: я* (Sar+i) - у я * (BSp) |
является |
изоморфизмом |
|||||
в размерностях 8 г + 4, |
8 7 *+ 5 и 8г + |
6 . |
|
|||||
Таким образом, |
композиция гомоморфизмов |
Q*r —> ß ® 17 |
||||||
-т- КО~* (pt) является эпиморфизмом в |
размерностях 0, 1 и 2. |
|||||||
Так как |
0 — ненулевой |
элемент группы Qfu = Z2, то это пока |
||||||
зывает, |
что 1 |
[Ѳ] ф 0. |
представлен |
оснащенным |
многообразием |
|||
Далее, так |
как |
0 |
||||||
и числа Sa (я8(т 0 |
С)), п (о) |
> 0 , |
равны нулю для оснащенных |
|||||
многообразий, |
то эти числа |
равны нулю для элемента 0. В |
||||||
Т е о р е м а . (Андерсон, Браун, Петерсон [1].) Два SU -мно гообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же характеристические числа в целочисленных когомо логиях и в ■КО*-теории.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М п — некоторое SU'-много образие, у которого все такие характеристические числа равны нулю. Так как все /-когомологические характеристические числа
равны нулю |
на |
М, |
то |
элемент |
[М] |
имеет |
конечный |
порядок, |
|||||||
и поэтому [М] — Ѳе [А], |
где е = |
1, 2 и N — некоторое SU-uno- |
|||||||||||||
гообразие |
размерности |
8к, |
к ^ 0. |
|
Для |
всех |
ю |
число |
|||||||
Sa (ns (т ® С)) [М ] |
Ç /£0/і"(“>~8Л“Е(pt) |
равно |
нулю, |
но |
|
||||||||||
|
Sa (я6 (т ® С)) [АЛ = |
ом (л5 |
(т ® С)) [А] аг, |
|
|||||||||||
таіс как 1 [G] = а, а все другие |
числа |
элемента Ѳ равны нулю. |
|||||||||||||
Следовательно, |
для |
и ( п (21) |
|
имеем |
(я,8 (т ® С)) [Аг] = |
||||||||||
= тар (1)'і-(, |
где |
та — четное |
число, |
и поэтому |
(еД)& [А] = |
||||||||||
= |
0 (mod 2) для п (<х>) == 0 (mod 2). Таким образом, (Sa (е^)) Д [А] = |
||||||||||||||
= |
0 (mod 2) |
|
для |
всех |
со, |
так |
как |
в |
случае |
п (со) ф |
|||||
ф. |
0 (mod 2) |
характеристическое |
число |
будет четным вследствие |
|||||||||||
того, что А |
есть S //-многообразие. Итак, показано, что [А] пред |
||||||||||||||
ставляет нулевой элемент группы Н ч ( f f |
® Z2) и, следовательно, |
||||||||||||||
нулевой элемент группы Н п (ff), |
откуда [Л'] Çim д. Но умноже |
||||||||||||||
ние на Ѳ аннулирует группу im д, |
и поэтому [М] = |
0. Обратное |
|||||||||||||
утверждение |
теоремы |
очевидно, |
щ |
|
|
|
|
|
|
||||||
Оставшаяся часть структуры кольца Qfü, которую желатель но рассмотреть, представляет собой мультипликативную струк
туру кольца |
по модулю элементов конечного порядка. Резуль |
||||
таты |
о кольце |
QfD’ /Tors Qfü, |
как заметил |
впервые Уолл |
[7], |
могут |
быть получены из уже |
доказанных |
результатов об |
SU- |
|
кобордизмах. Исследование кольца Qfu /Tors Qfü начнем с более детального рассмотрения группы W* (С, 2).
Как уже отмечалось выше, подгруппа f l \ (С, 2) кольца
не является подкольцом. Тем не менее в т7\; (С, 2) можно ввести умножение, определяя его следующей композицией гомоморфиз мов:
*: 7Г, (С, 2) ® |
(С, 2 )c l* |
® Q? -+0% — |
(С, 2). |
|
В кольце |
тогда |
имеет место |
формула |
|
а * b = ab + 2 [И4] да-дЬ.
В частности,
(а * Ъ) * с = abc + 2 [\и \(адЪдс-\-Ъдадс-\-сдадЪ—[СР(і)]дадЪдс),
16*
так как |
|
|
|
|
|
д (а * Ь) = д (ab) = |
adb + Ъда — [CP (1)] дадЬ. |
||
Относительно |
умножения |
* группа |
(С, 2) является ком |
|
мутативным кольцом с единицей. Более |
того, если да = 0, то |
|||
а * Ь = |
а -b, и поэтому, в частности, обычное отображение кольца |
|||
ß f 17 в |
W* (С, 2) |
является кольцевым гомоморфизмом. Отметим |
||
также |
формулу |
д (а * Ь) = а * дЪ + b * да — [CP (1)] * да * дЪ (12). |
||
Т е о р е м а . Относительно умножения * группа W * (С, 2) является кольцом целочисленных полиномов от классов ад, і Ф 2, dim ад = 2і, таких, что S-, (с) [ад] = тіт і-1. Оператор д дей ствует по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
5ад = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
дх2і — Хпі-i, |
і |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
д (а * Ъ) = |
а * db |
b * да — ад * да * дЬ. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
З а м е ч а н и е . |
Если |
і -f- 1 = |
p s для |
некоторого |
простого |
||||||||||||
числа р, s > |
0, то піі |
= |
Р', |
в остальных |
случаях |
mi |
= |
1. |
|
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Из формулы для умножения * сле |
|||||||||||||||
дует, |
что если элемент кольца W * (С, 2), не содержащий слагае |
|||||||||||||||||
мым |
[CP (1)] * [CP (1)], |
|
разложим |
относительно |
умножения |
*, |
||||||||||||
то он разложим и относительно умножения |
• в кольце ß^7; из это |
|||||||||||||||||
го непосредственно следует, что S-число характеризует ^неразло |
||||||||||||||||||
жимые элементы. |
|
|
|
2 |
и т1 = |
2, |
т0 = |
1, поэтому можно |
||||||||||
|
Имеем S x (с) [CP (1)] = |
|||||||||||||||||
положить ад = |
[CP (1)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Изрезультатов |
о кольце ß f u ® ^ |
[ т |
] |
известно, что сущест |
|||||||||||||
вуют |
S ^-многообразия |
Ми |
lMt] 6 ß ff, |
г > |
1, |
S t (с) [Mi) — |
||||||||||||
— 2J’<') тіпіі-і (умножая |
на |
2, можно считать, что / (і |
|
0), кото |
||||||||||||||
рые даютнабор полиномиальных образующих кольца |
|
<g>Z |
. |
|||||||||||||||
Заметим, что |
|
группа QJSU изоморфна группе |
Z |
с образующим |
||||||||||||||
X = 9 [CP (I)2] — 8 [СР (2)], |
имеющим |
числа |
с\ = |
0, |
с2 = |
12 |
||||||||||||
и оР-число 1. Так как |
элемент 2х — д [CP (I)3] порождает образ |
|||||||||||||||||
группы ß f77 и ад * ад = |
|
ад + |
2 [F4] 2 -2, |
то |
в качестве М г можно |
|||||||||||||
взять |
элемент |
2ад*ад. |
|
|
z'zn € W |
(С, 2), п > |
2, |
такие, что |
||||||||||
|
Известны |
также |
классы |
|||||||||||||||
число Sn (с) [z'zn] нечетно, если п ф |
2* или 2’' — 1, и имеет вычет 2 |
|||||||||||||||||
по |
модулю |
4 |
в |
остальных |
случаях. |
Далее, |
S2n (с) [zi,,] = |
|||||||||||
= |
0 (mod m2n), так как |
[z/m] является классом квазикомплексных |
||||||||||||||||
кобордизмов; |
так как |
(2п — 1) + |
1 = 2п, |
то |
т2п_1 = |
1 или |
2, |
|||||||||||
если п не является или является степенью числа 2 соответственно.
Таким образом, число |
S m (с) [z/in] является нечетнократным чис |
лу т2птіп_1. Так как |
Z4 „ _ 2 = 9z/in является классом £Е/-кобор- |
днзмов, то число iS2n_x (с) [z4 n_2 l делится на т2п_г (которое нечет
но), в то время как m2n_і = 1 |
или 2 , если п не является или являет |
|||||||||||||||
ся |
степенью |
числа |
2 |
соответственно. |
Таким образом, число |
|||||||||||
Sn (с) [z2„] является |
нечетнократным числу тптп^ . |
|
|
|||||||||||||
|
Тогда |
|
можно |
найти |
целые |
числа a n, |
ßn, |
где |
ап = 2ап + 1 |
|||||||
(нечетное), такие, что элемент х'п = |
a nz2n + |
2ßn [Мп] имеет 5-чпс- |
||||||||||||||
ло тптп_х. Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2-271 = С^2тг^4п -h 2ß2n [М%п\ “I“ (^2п-1 ' |
^2п) x tz bn—2 Тß2n-l‘^l [-^2n-l] і |
||||||||||||||
x 2 n - l = ^ Z n - l ^ i n — 2 “ Г 2 ß 2 n - 1 ^ ^ 2 n - i • |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
от |
Тогда |
S n (с) [o;n] = S n (с) [я«] = тптп^, |
так |
как |
хп отличается |
|||||||||||
х'п на |
разложимые |
элементы. |
Так |
как |
Z4 n, |
Хі 6 |
W* (С, 2) |
|||||||||
и Z4„_2 , |
M |
Zn, |
M |
2n- i £ ® l SÜ, |
TO |
x n £ f ß \ { C , |
2). Далее, |
|
|
|||||||
|
д%2.п= &2nZin—2 “Г2 (ß2n-i — а2п) Zi n - Z + 2ß2n-lJ^2n-l == ^2 7 1 - 1 • |
|||||||||||||||
|
Таким образом, существует гомоморфизм ср: В = Ж[хі\іф2]-*- |
|||||||||||||||
->-5^* (С, 2). Композиция гомоморфизма |
ср |
с гомоморфизмом |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ф: 7/ЛДС, 2)-*й?-*Й ?® Ж 2 |
|
|
|
|
|||||||
является |
|
кольцевым |
гомоморфизмом (а * b = |
а • b (mod 2 |
)), при |
|||||||||||
котором |
хп переходит |
в z2n + |
(разложимые |
элементы). |
Таким |
|||||||||||
образом, |
ср является мономорфизмом (так как R — кольцо без |
|||||||||||||||
кручения), и подгруппа im ср имеет нечетный индекс. |
|
поэтому |
||||||||||||||
|
Для |
любого |
а 6 |
W* (С, 2) |
имеем |
9 (хгда) = 29а, |
|
|||||||||
(2а — хгда) £ ker 9 |
и, |
следовательно, |
2 (2а — |
ххда) = |
||||||||||||
= |
9 {хг (2а — x-jßa)) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4а = |
2 0 .1 9 а |
+ 29 (о^а), |
|
|
|
|
|
||||
так как дх\ = 0. Таким образом,
11
а= у (д (хіа)) + Y хі да»
где дхга ж да — образы классов ££/-кобордизмов.
З а м е ч а н и е . Каждый элемент вида а + xtb, a, b £ Qf*7, очевидно, принадлежит группе У * (С, 2).
Таким образом, кольцо Ж*(С, 2) cg>Z j^yj является свободным
® Z I^yj-модулем с образующими 1 и хи т. е. |
(С, 2) ® |
<g>Z [ y j =й® и ® TL[y^j (1, о:і}. Гомоморфизм ср индуцирует тогда
гомоморфизм R ® Z |^yj — ® Z j^yj {1, 0 .-J. Представим .т2п £
6 f/’*(C, 2) в виде у |
і/гп+ у ад іп -і, где |
у2„ G&іп и S2n (с) [р2л] = |
|||||||||||||||||||
—- 2iiiZnm2n-i- |
Элементы |
г/2п = 2ж2„ — л'і£2п-іі |
æ2„_i, x'f |
принадлежат |
|||||||||||||||||
кольцу |
R и |
отображаются |
|
в образующие кольца Q^u 0 |
Z [-у ] ; |
||||||||||||||||
таким |
образом, |
кольцо |
R 0 Z | д ] |
— Z [-^] [ж?, ж2п-і» Угті]{1> ^і} |
|||||||||||||||||
при |
гомоморфизме |
ср |
изоморфно |
отображается |
на |
Q* 0 |
|||||||||||||||
0 Z £ 4 j {1, ÆJ . |
Следовательно, |
гомоморфизм |
|
<р: і |
? |
|
(С, 2) |
||||||||||||||
имеет 2-примарное коядро |
и поэтому |
должен |
быть изоморфиз |
||||||||||||||||||
мом. в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя результат |
теоремы, |
легко |
описать все интересую |
||||||||||||||||||
щие нас кольца. Во-первых, |
гомоморфизм д: |
|
|
(С, 2)—>-‘7//’* (С, 2) |
|||||||||||||||||
продолжается.до гомоморфизма 9: W \ (С, 2) 0 |
Z £ 4 ] — 7Г* (С, 2)0 |
||||||||||||||||||||
0 Z j^4j, значение |
которого |
на |
произведении |
элементов выра |
|||||||||||||||||
жается |
прежней |
формулой. |
Если |
9а = О, |
то |
а = у |
9 (.гух), |
так |
|||||||||||||
что |
ker 9 = іпі 9 |
в группе |
|
|
(С, 2) 0 Z £ 4 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Представим |
|
кольцо |
|
|
|
(С, 2) 0 |
Z £ 4 ] |
|
в |
|
|
виде |
||||||||
Z [ 4 ] [^і, хы-і, %гі —у л№г-і] , |
где дх{= 2, |
dxZi-i = 0 ,9 |
[х2і — |
||||||||||||||||||
— 4 ХіХ2і-і j = 0 и d(x‘î) — 0. Из |
такого |
|
представления |
ясно, |
что |
||||||||||||||||
im 9 = ker 9 = Z [ 4 ] [ ‘ТГ. х2і-і, |
^2г — у |
|
|
с: 57'** (С, 2 )0 Z [ 4 ] • |
|||||||||||||||||
|
Применяя этот результат к кольцу |
|
|
(С, 2), |
получаем |
сле |
|||||||||||||||
дующее утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Т е о р е м а . |
Пустъ W* (С, 2) = Z [ац | г Ф 2], |
как и выше. Рас |
||||||||||||||||||
смотрим |
|
2) |
как |
|
подколъцо |
в |
W * |
(С, 2) |
0 |
Z.j^4J = |
|||||||||||
= Z [ 4 |
] [ х і |
\ і ф 2 \ |
и |
|
|
положим |
А = Ъ £ 4 ] |
[ж ?, а -гм . х 2 і — |
|||||||||||||
|
1 |
"1 |
Tогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
•— ^-Гі^гг-і I - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) группа ker 9 = И f) W \ (С, 2) является подмножеством кольца |
||||||||||||||||||||
полиномов |
над |
|
Г 1 1 |
от |
классов |
|
„ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
Z [ у ] |
|
|
7 |
*^2г— iî |
^ 2 і |
2 |
|
1 Î |
|||||||||||||
состоящим |
из |
полиномов |
|
: |
целочисленными |
коэффициентами |
|||||||||||||||
от |
классов XÙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ь) |
группа im д — ^ и ^ А |
4 « p i |
Ç И -S- |
7/ ** ( С |
, |
2)I |
является под- |
|||||||||||||