Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

выбрано именно таким.] Далее, многообразие д (PF,t+1 х УД содержит подмногообразие (—іД) X Уі [J (—В 2) х Уь тогда как многообразие д ((—1)“5 X D) получено из объединения многооб­ разий В X (Уі U У2) и (—l)hdB X D склеиванием вдоль их общей границы, поэтому можно получить .^-многообразие из объеди­ нения многообразий (—1)h В X D и ТУ X Уь отождествляя (—Bj) X Уі с 5 X Уг. Граница построенного таким способом

многообразия имеет две компоненты, одна

из которых М X Уі,

а другая получена из С X Уі U (—1)h dB

X D отождествлением

дВі X Уі с —dB X Уі и дВ2 X Уі с —dB X У2 и поэтому являет­

ся

как раз многообразием У,1+й. Таким образом, при данном выбо­

ре

С получаем, что [У

= [Mh] [У"] в

ц

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я . Пусть М 8 —

многообразие, описанное в лемме 1, и У1 — представитель класса порядка 2 в группе Qjr, который отображается в элемент Ѳ£ Qfb. Предположим, по индукции, что [ys^+i] £ Q|rft+1 имеет порядок 2

и представляет класс кобордизмов [ЛГ8]й-0 в Qgfc+i- Применяя лемму 2 к многообразиям У8,і+1 и М 8, получаем оснащенное мно­

гообразие y8h+B порядка 2 в группе Qgft+9 , представляющее класс

[М8] [y8ft+1] =

[М8],і+1-0 в й|;Ѵ+9 - Это завершает шаг

индукции

и тем самым дает доказательство предложения, щ

 

Используя предложение, можно полностью вычислить образ

группы S.2^ в

s u , который описывается следующей

теоремой:

Т е о р е м а. Гомоморфизм забывания F*: Q*r —>- Q fu является изоморфизмом в размерности нуль; в положительных размерностях образ его является нулевым, за исключением размерностей 8к + 1 и 8к + 2, где образ гомоморфизма F* равен группе Г2 с образую­ щими аф,1-Ѳе, е = 1 или 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, F0: QSß—>QoU = Z. Для

n > 0 группа £2^г является конечной, поэтому образ гомоморфиз­ ма Fn состоит из классов конечного порядка. Таким образом,

іш Fn =

0 для

п,

не равных 8к -|- 1

или 8к +

2,

к ^ 0.

Если

п = 8к +

е, е =

1 или 2, и a Ç im Fn, то все /$ГО*-характеристи-

ческие числа

вида Sa (я), 7Z(со) > 0 ,

элемента

а

равны

нулю,

так как эти классы равны нулю для оснащенных многообразий, и поэтому а ф 0 тогда и только тогда, когда 1 [а] Ф 0. Таким образом, группа im Fn равна либо нулю, либо Z2.

Согласно предложению, [М8]к х Ѳ £іт/''8/ж , и так как 0ÇimEi, то [М8]йѲе£ іт У 8!г+Е. Тогда

1([М8]Й0Ё) = 1([М8]Й) =

= of ([M8]'l)(mod2) =

=(éP [М8])'! (mod 2) =

=1 (mod 2),

и, таким образом, группа im F8k+E не равна нулю и поэтому изо­ морфна группе Z3 с образующими [Ms]h-Ѳ8.

Так как Qf7 = Z ® Z с базой х\ и д (xixk) и так как умножение

на Ѳаннулирует образ гомоморфизма д, то [М8]-0 =

х‘{-0, и, таким

образом, [M8]fe-0E=

.г^,1-ѲЕ представляет собой ненулевой класс

группы im F8h+E. я

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Фактически

для

любого

многообразия

М 8

с нечетным ^-числом имеет место формула

[M8]ft -0Е= х\к-0е.

Действительно,

из

равенства

5(а-1х4)-0 =

0

следует,

что

о? [д (z ^ )] = 0 (mod 2), поэтому

[М8]

= (2р +

1) х* + qd (х^х,).

Таким образом, [і¥8] 0 = .TJ -Ѳ.

 

 

 

 

 

Вернемся к

точной последовательности

 

 

 

o fr

F*

Qsu

n S U ,

f r

 

й

su

 

-^п+1 '

 

■“ 71+ 1

->Qhr— -

 

 

 

71+1

 

 

 

Так как гомоморфизм F* уже вычислен, то среди вопросов, связан­ ных с этой последовательностью и доступных для исследования, остается только вопрос о характере следующего расширения для

группы Q®+’ifr:

0 —> Q rt+i/іш А* £2п+іп —Ö- ^ ker F .- * 0.

Этот вопрос был решен Коннером и Флойдом [8]. Непосредственно из конструкции А'0*-орпентации следует,

что для £ [/-многообразия V с оснащенной границей она дает

элемент

U £ КО* (Ту). Д л я п (ш) > 0 все

АО*-характеристиче-

ские классы <5ш(л) принадлежат группе КО* (BSU , *), и поэто­

му для

(SU, ^-многообразий определены

характеристические

числа в

АО*-теорші.

 

S U

Так как подгруппа элементов конечного порядка в группе £2п+і обнаруживается АО*-характеристическнмп числами и группа im F* обнаруживается числом 1 (л), то образ группы

Tors (ß»+i/im A J в обнаруживается АО*-числами, при­ нимающими значения в Z2. Это определяет расщепление в точной

последовательности подгрупп, связанных с группой Tors Qn+i- Для описания расширения, определяемого свободной частью

групп достаточно заметить следующее: из рассмотрения АО*-характеристических чисел немедленно вытекает, что (SU, fr)- многообразие V имеет те же самые числа Чжэня, что и замкнутое

S ([/-многообразие, тогда

и

только

тогда,

когда

(

Z,

если

dim У =

0 (mod 8),

[V, дѴ\ 6 { 2Zj

если

dim у

_

4 (mod g))

так как все другие соотношения между числами Чжэня, опре­ деляемые КО*-теорией, выполняются для многообразия (F, дѴ).

Можно определить гомоморфизм 3 ': £2п+’1Гг-ѵСі, полагая

3 ' [а] = 3 [а], если dim а ^ 4 (mod 8), и 3 ' (а) = у 3 (а), если

dim а = 4 (mod 8). Заметим, что однородные компоненты харак­ теристического класса 3 делятся на q в размерностях, не деля­ щихся на 4, поэтому гомоморфизм 3 ' является нулевым в этих

размерностях. Гомоморфизм 3 ' переводит Q«+i в Z и опреде­ ляет тем самым гомоморфизм

3 ': ker.F*->-QVZ.

Гомоморфизм 3 ': Qsk+з = kerF8h+3->-Q./Z является в точности инвариантом Адамса е^. Предыдущие результаты об инварианте

3 дают следующее утверждение:

Образ гомоморфизма 3 ': fi^-i-»-Q ./Z состоит из всех целых

1

аи — знаменатель дроби

В

в несократи­

кратных числу — , где

 

мом виде.

 

 

 

Связь с комплексными кобордизмамп

Возвращаясь к связи с кольцом fi*, рассмотрим точную последовательность

••• —»■&nU—

9 и

и, su

n su

— > . . .

,

 

 

 

fi

f i n - 1

 

 

 

в которой гомоморфизм F* уже полностью

вычислен.

Точно

так же, как и

в случае

(О, <S(^-последовательности,

эту

после-

 

 

 

 

 

 

 

S

U

-

довательность можно отождествить с последовательностью fi*

 

бордизмов корасслоения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CP(l)-+CP(oo)-+CP(oo)JCP{î)

 

 

 

 

и, следовательно, представить в виде

(i, 0)

 

 

 

 

 

ïSH

F* 0 п

(0.d)

- 2 Ѳ f

,sи

 

 

 

 

fi.

 

f i n

i n - 4

fi;n—1'

 

 

 

 

Отсюда следует описание структуры группы fi^ ’su. Интерес­ ной частью этой последовательности является последовательность

n SÜ Fsn+2 о O'

n, sn

D S U

F fn + 1

„ у

“ Sn+2----- >“ 8 n + 2

>fi8 n + 2

“ “ 8 n +

1-------- >

^ 8 п + 1

 

 

z!f(n)l

 

0

в которой образ гомоморфизма FSn+2 представляет собой прямое слагаемое, образованное классами кобордизмов, у которых все числа Чжэня, делящиеся на си равны нулю.

Так как Qgn+a = ßfn Ѳ & ы-2 , то расширение должно быть полностью нетривиальным. Классы кобордизмов из группы Qfn+j имеют вид Ѳ-[М8п], и характеристические числа

£(«'.в')(вр)S [М*п] =<Ѵ,и0 (я) (Ѳ• [M8”])Çz2

для

o ' Ç я (п) полностью

обнаруживают эти классы.

Далее,

класс

0 Ç Qj

является образом класса

[.D2] £ Q2’

, представ­

ленного диском D2 с обычным оснащением на границе. [Диск

D2a CP(1)

можно представить в виде

расслоения на

диски

расслоения Xнад СР(0) с касательным расслоением т (D2), инду­

цированным

расслоением

X над CP(1),

имеющим

стандартную

тривиализацию над S1, которая совпадает с обычным оснащением

на S1. Для расслоения Xнад CP(1) класс S (А,) имеет вид 1 +

/са.

Так как

S (т) = S {If = S {Х)~2= 1 —2Ы и S’ [CP(1)] =

—1,

то к =

1/2 и, следовательно, S {[D2]) =

1/2.]

 

 

 

Так

как

характеристический класс

5(М<, М') (е^)

имеет нену­

левые компоненты только в размерностях, кратных 4, и так как

характеристический

класс

S /j+2

делится на сь

 

то можно опре­

делить

числа /ци-.а') (е^) S’ [V]

как инварианты

 

{Sk + 2)-мерных

{U, 5£/)-многообразий и

 

 

 

 

 

 

 

■V,«.') (V) & № X

 

=

*Ѵ . о.') (<Ѵ) & [М'8'1] S’ [D2] =

 

 

 

 

 

= у £ (0/і0О( е ^ [ 7 ¥ 8*],

так что

числа /Дш', <у) (е^) ^

отображают группу

Q.sù+ 2 на под-

группу нечетного

индекса

в

группе

I y Z )

, в то время как

группу

Qsn+ 2 они отображают

в

подгруппу нечетного индекса

в Z'*(n4

Таким

образом,

 

при

помощи набора

многообразий

{D2X М8п} также

можно

 

доказать

полную

нетривиальность

расширения.

Коннер и Флойд [8] заметили, что, используя теорию кобор­ дизмов, можно получить следующий результат Адамса:

Те о р е м а . Гомоморфизм

:Qnr —V (Q./Z

является тривиальным, если п =

8к + 5, и образ его равен Z2 =

= z j - |- } /z { l} , если п = 8к +

1.

Поскольку гомотопический результат об оснащенных кобордизмах доказывается здесь методами только теории кобордизмов, мы воспроизведем доказательство Коннера и Флойда.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — оснащенное (8к + 5)-

мерное многообразие. Так как Qsh+ 5 = 0, то М = дѴ, где У — некоторое б1//-многообразие. Тогда инвариант е^(М) равен при­

веденному mod Z числу <5° [У, М] = S’sk+e (V, М], но характери­

стический

класс éPsh+o делится на

щ и щ (У, М) = 0,

так

как

У является 5 //-многообразием. Таким образом, число

еР[Ѵ,М]

является

целым и

(М) = 0 6 Q./Z.

 

 

Пусть

М — оснащенное (8к +

1)-мерное многообразие.

Так

как 2 [М] = 0 в группе О-ш+і =

то 2М = дѴ, где

У —

некоторое ////-многообразие. Тогда инвариант 2е^ [М]

(2 [М])

равен приведенному mod Z числу с¥\Ѵ, дѴ], которое, как и выше, равно нулю. Таким образом, е^. [М] кратно числу 1/2.

Далее, пусть y 8h+1 — оснащенное многообразие, построенное в предыдущем параграфе, кобордантное [І1/8]ІІ-Ѳ в группе Qfji+ь

и пусть dW = У U (—(М 8)h X S 1).

Обозначим через W многооб­

разие, полученное из несвязного

объединения многообразий W

и (М8)к X D2 отождествлением вдоль (M8)h X S

1. Тогда многооб­

разие

W является

//-многообразием

с границей

У, поэтому

еС

= & W , У] (mod Z). Так как

является инвариантом

(U, 5//)-кобордизма

в размерности

8к + 2,

то

éF\W, У] =

=[(M8)k X D2] = (1/2){èf{M8)}h — 1/2. Следовательно, обра­

зом гомоморфизма е^: Qg/H-i Q/Z является подгруппа Z2 =

= Z{l/2}/Z{l} с= ап. Я

Связь с неориентированными кобордпзмамн

Гомоморфизм забывания F*: Q*0-»-9Î* был вычислен П. Андер­ соном [1], Стоигом [3], [6] и Коннером и Ландвебером [1]. Одно из возможных описаний гомоморфизма F# дается в следующей теореме:

Т е о р е м а .

Можно выбрать

образующие x t

кольца 9Д;,

dim Xi = i,

i Ф 2s — 1, такие,

что:

 

1)

91* =

Z2 [аД;

 

 

 

2)

/У* (И, 2) =

Z2 [xh, x^j I к

не

является степенью двух]-,

3)

существует дифференцирование dp W i (01, 2)

t (IR, 2),

для которого д\ = 0, дщй1і = х2h-i, если к не равно степени двух, др?гі = 0, и образ кольца Q#0 в 91* аддитивно порожден образом

гомоморфизма

и полиномами над Z2 от классов х \t (t — любое

целое число)-,

 

Смотрите также файлы