Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а 1. (Л£д)* (Е/,) = £/< + £а- і -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

{RSqx)* (Ей) {SqJ) = Eh {Sq^q') =

==a(2 h- 1,.. i)> где SqISql =

2 <XjSqJ, но элемент а (2ь-і.......і)Х2* =

когда он равен х2

. Таким образом,

(RSq1)* (Еа) = 0, если

і > 1 ,

и (RSq1)* (Eh) (Sq1) = 0, если

только

І Ф ( 2Ä_1, .. ., 2).

Далее,

?ft_i {‘SQ1) — (LSq1)* (Ці_ і) = 0, если в последовательность

/

входит

нечетное число,

и элемент

(LSq21')* (^\_ Д равен

элементу

Таким образом, (RSq1)* (Eh) = і%_ѵ ■

(RQo)* (іа) =

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а 2.

Ij^j,

(Д(М*(Ы = ^ _ 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое равенство

следует из

того,

что (RQ0)*^(R Sq1)*. Так

как (RSq2)* (Eh) = 0, то (ДДД* (Eh) =

В с п о м о г а т е л ь н а я л е м м а 3.

Я ((% (A2/J2Sq1+ JzS q 3))*-,

RQÏ) = 2 2 [SJ],

H ((x (d 2 /^2 S q 4

J 2Sq2))*;

ÂÇ*) = Z2[iî],

Я ((XW

4 2Sq*))*- RQl) = Eî • Z2 [Eî ].

Д о к а з а т е л ь с т в о . (х(42ІdzSq1 + d 2Sq3) ) * = ^ 2 [Ц, ЩЛз> •••]

и (Я<?о)*(^) = (й<?о)*(Е|) = 0.

в то время как

(RQ0)* (Іь) = Щ_ ,

для fc>3. Таким образом, ker (RQ0)* = Z2 [ЕД ЕД

• • -Ь и группа

іт(Д<2о)* является'идеалом, порожденным кольцом Z2 [Е|, ЕД • ■

Рассмотрим кольцо (х (ЛгІЛг^Ч1 + <42Sq2))* = Z2 [Е?, ЕДІз, • • ■]•

Здесь кег (Я(?0)* == Z2 [EÎ, i j , Ёз ! •••] и

im (RQ0)*

является идеа­

лом, порожденным кольцом Z2 [ЕД Щ,

Имеем {% Ш Л £ф ))* = 1-г[Ъ\, Е|, Із, ■■■] {U Іі, Ц, |? +

la, Ш .

где (RQ0)* (1 ) = 0

, (RQo)* (Іі) = 1, (RQo)* (I?) = 0, (RQo)* (Ê? +

la) = 0,

(Л<?о)* (Іііг) = I?-f laТогда пусть

a = a + ßEi+ ï l ? + 6 (Ef+I2 ) +

+ еЕіЕгИмеем

(RQo)* (a) = (RQo)* a + [(RQ0)* ß] Ei +

[{RQo)* ѴІI? +

+

[{RQo)* ô] (Ц + 6 2 ) +

l(RQo)* e] (lila) + ß+ e (E? + la)-

Следовательно,

aÇker(jRÇo)* тогда и

только тогда,

когда

$ = (RQo)* а, {RQo)* ß = 0 , {RQo)* Y = 0

, (RQo)*ö = s,

(ЯД0)*е = 0 ,

НО

(RQo)* [c& -I- 0 Ш = {(RQoT «I Іі +

[(Д<?оГ à] ( Ш + а + ÔЩ + 12) =

— а + ß^i -f- 6

+ ^2 ) +

если а 6 ker (BÇ0)*. Таким образом, ker (RQ0)*/іт (RQ0)* —

= (ker (RQo)* Ц /іт (RQ0)* Ц) -Щ- ■

Итак, группа H ((Л21Лг^Чх Ф<Аг&Чъ)\ Qo) изоморфна группе Z2

в каждой четной размерности и

является нулевой в каждой

нечетной

размерности.

Это определяет класс a.zn ^ ( d zJJ-zSqXj[-

<ß(?)-äi, такой, что

Qüazh = 0 и

%(a2h) принимает значение 1

на Щк.

Ясно,

что элемент

ѵ(а2ь)бЯ* (ТВ Spinc; Z2) принадлежит

и QoU2k = 0, поскольку Q0U = 0.

[Так как Q0U = Q\U = 0, то изо­

морфизм Тома индуцирует изоморфизм групп Çi-гомологий.]

У т в е р ж д е н и е . Если, к = 2s, то элемент uZh неразложим.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно записать %(а2и) = 2 o.jSqJ, где

J — допустимая последовательность

и

элемент ('5]cijSqJ) прини­

мает

значение 1

на

но

%fk ( 2

o-jSqJ) xih = (Jj djSqJ) (z2h)

и SqJx2k= 0, если J Ф(2к), так как

к является степенью числа 2.

Таким

образом,

%(о^и) = Sq2h+

S

uj.SqJ' == 5#2,!-j- (разложимые

элемент SqlU

— wt (2S+1A.) U равен нулю для і ф 2t+1 и Sq2S+lU ф

ф 0, так что

для этого расслоения a 2hU — w2hU. Так как все

ем расслоения 2S+1À, то класс иг^ неразложим. ■

u2$\j не

Таким

образом,

Я* (В Spin0; Z2) = Z2 [w^, QoWZj,

является

степенью

числа 2, s> -l], где ÇoU2s = 0, и,

следова­

тельно, Я (Я* {В Spin0; Z2); Qo) — Т-г \w\p и2«1- Далее>

класс

Z2 [^і]

мономорфно

отображается в

кольцо

Ço-гомологий

(класс

(p2s переходит

в (н2* + разложимые элементы)2), так что

кольцо

Я (Я* (В Spin0; Z2); Qo) является

свободным

Z2 [(?г]-моду-

Введем

частичное упорядочение в базисе {n*(ffUS)t^} группы

Я (Я* (ТВ

Spin0; Z2); Q0), считая, что я* (g>,us) U < я* (<(?i>us>) U,

У т в е р ж д е н и е .

(Tf)* (a2k <g> xlin{1)) =

я* (fpis) U 4-

(tPi'Us’) U, где dim Г >

dim I и S = (2S1, . . .,

2s") является

2 а'я* (<tpj)a"U с deg а ' > 0 , где каждое

слагаемое а'я* (§>7) a"U

имеет в разложении по базису группы

Н* (ТВ Spin0; Z 2) боль­

ший квадратный множитель. Таким образом, можно записать

2 а'я* (4?j) a U = 2 я* (^i»us»)• Ü + Q0VU.

члена

обязательно dim Г > dim 7.

Таким образом, достаточно рассмотреть только элемент a^kU,

а так как для степени

2/с каждое

слагаемое вида я* (tÿi'Us’) U

имеет

квадратный член

больший,

чем

у

слагаемого

я* (us) U,

то достаточно доказать,

что коэффициент

при я* (us) U не равен

нулю.

отображение v :J i2jJl:2Sqx-'r J:2Sq2->

Для этого заметим,

что

->-77* (ТВ Spin0; Z2) является

гомоморфизмом коалгебр,

индуци­

рующим гомоморфизм коалгебр Н ( ; Qo).

Двойственной к фор­

муле

умножения

является

формула

А(а2и) —

член (u2S1 ® ..

<&u2Sn)U, и,

следовательно, коэффициент

при

я* (us) U в V (а2!і) не

равен нулю. ■

Это доказывает,

что

гомоморфизм (Tf)* индуцирует изомор­

физм групп Н (

; Qo)

в

случае пространства ГБ Spin0. В случае

пространства ТВ Spin

можно

теперь несколько упростить

дока­

зательство.

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а

А.

Л (II* (В Spin; Z2); (Ѵ0) =

= Z2 [IÜ|

Wgs I j

не является степенью числа

2, s > l ] , и гомо­

морфизм,

заданный вложением спектров Т В

Spin с —> ТВ Spin0'

Я* (Т В Spin0; Z2) -*■ Н * ( Т В Spin; Z2)

индуцирует эпиморфизм

на группах

Н ( ; Q0). Далее, группы

Н ( Н * ( Т В

Spin;

Z2); Q0) и

H ( Н * ( В О ;

Z2); Q0) имеют одинаковый

ранг в каждой

размерности, где

ВО обозначает

произведение

модифицированных спектров В О ,

используемое для

реализации

отображения Tf.

является

эпиморфизмом и переводит

и2

в

нуль,

поэтому

Н* (В Spin; Z2) = Z2[u?2;-, Q0w2j, u2S| s > l ] ,

где Q0u2S = 0. Из такого

представления кольца

Н* (В Spin; Z2) легко

вычислить

группы

гомологий

Н ( ; Q0) и

доказать эпиморфность

индуцированного

доказательство

последнего утверждения. ■

Рассмотрим

теперь

отображения

ВО (Sn 4-Ап (I),

. .. ,

сю)—=>-

—> BU (8п -I- 4п (I), .

.,

оо)

и

ВО (Sn 4 - An (I) — 2,

. . . ,

оо)

-+BU(8n + 4n(I), ..

, оо), классифицирующие расслоение у ® С,

где

^4 п(/)+8 п,

если

число

п(І)

четно,

( # 4 я (/) -|-8 л ) —

h *

Щп(7 )+8 п,

если

число

п (I ) нечетно.

Пусть

BU = Д BTJ (Ап (/),

. .. , оо) — спектр,

используемый

в реализации

отображения Tf

для

спектра ТВ Spin0, и ВО —

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а

5.

Функтор