ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
нить при помощи любого класса из |
группы <5Sq2H‘in(I)~^ (BSO; Z), |
|||||||
и поэтому |
существует |
поднятие /, |
такое, что /* (я4п(І)) = Wi- |
|
||||
Это завершает доказательство предложения, я |
получаем сле |
|||||||
Обращаясь к случаю Spin- и Э ртс-расслоений, |
||||||||
дующее |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е . |
Пустъ |
у — универсальное |
расслоение |
над |
||||
В Spin или |
над В Spin0. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
a) класс |
Яд(у) для |
разбиения І = |
(і1, . . . , г г), |
где |
1 |
для |
||
всех і , имеет фильтрацию в |
кольце |
КО (В Spin), в |
точности |
|||||
равную |
|
|
|
|
|
|
|
|
4п{1), если число п(І) четно,
4п(/) —2, если число п(І) нечетно.
B ) класс Я д ( у ) ® С для всех разбиений I имеет в кольце KU (В Spin0) фильтрацию 4п(І).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как индуцированный гомомор физм из Н* (BSO; (Q.) в Н* (В Spin; Q) или в Н * (В Spin0; Q.) является мономорфизмом, то утверждение непосредственно сле дует пз предыдущего, если п (I) — четное число; если же число п (/) нечетно, пока можно только утверждать, что класс я^ (у)
имеет фпльтрацпю не больше 4п (I). Для полного доказательства здесь нужно проверить, что класс <рг (у) не делится па 2 в группе Р<5 (#* (В Spin; Z)).
Всвязи с этим докажем сначала такую лемму:
Ле м м а. Пустъ ѵ оі Ç II* (BO; Z2) — класс By. Тогда ѵ ^і является неразложимым, и класс Sq1vi)i принадлежит идеалу,
порожденному (как Jt ^-модуль) классами гщ и іѵ3.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть К — каноническое линейное расслоение над пространством RP (оо). Так как w(2lX) = (1 -f а)21 =
= |
1 |
+ |
а 2\ то и (2% |
= (1 + |
а + а 2 + . . . + |
а 2І + |
. . .)2І = |
= |
1 |
+ |
а21 + (члены более высокой размерности). Таким образом, |
||||
класс |
і>2і (2!Х) = а 2* |
является |
ненулевым, в то |
время |
как все |
||
разложимые классы размерности 2г принимают нулевое значение на расслоении 2гХ; следовательно, класс ѵпі неразложим.
Для вычисления класса Sq1v2i, i ^ 2, рассмотрим некоторое многообразие М п. Для любого х Ç II* (Мп; Z2) имеем
(£д1у2» и х) [М ] = [б'д1 (ѵ2і U i) + v2iSq1x] [М] = = [(щѵ.гі U х) -)- Sq2lSq1x] [М\ =
|
= 1( ^ 0^ U.r) |
(S^Sq21- 1+ Sq'Sq?1) x] [M\ = |
|||
|
= [(щу2і U x) -\-{v2Sq'l'~ix + viSqllx] [M] = |
||||
|
— 1(щѵ2і U x) + vlvzSq2%- 2x + |
||||
|
|
|
Sq1v2‘Sq2l~2x-\-ViSg2lx] [М]. |
||
Так как |
правая часть соотношения |
|
|||
a-Sqjb [M] = Sc/ (a-b) [M] + |
j |
{Sq,a>Sqi~lb)[M] = |
|||
S |
|||||
|
|
|
j |
t=i |
|
|
|
|
(5g*a Sgî_<b) [M] |
||
|
= |
(üja) Ь [ЛГ] + |
E |
||
|
|
|
«=( |
|
|
содержит |
слагаемые |
с множителем |
только для / с</, то, |
||
применяя его ин /ктивно к правой части предыдущего равен ства для пониже шя показателя j у класса Sqlx, можно получить
равенство |
(Sqlviix)[M\ = X-x[M\, где |
X |
принадлежит |
идеалу |
в кольце |
Н* (ВО; Z2), порожденному |
(как |
.^-модуль) |
элемен |
тами |
и Sqlvz = Sq1(w2-\-w'ii) = u>3JrW2wl. [Заметим, что |
|||
если элемент а принадлежит этому идеалу, то ему принадлежат также элементы Sq'a и Vja.]
Таким |
образом, |
выражение (Sqlv2i — X), |
г!> 2, |
обращается |
|
в нуль |
на |
всех многообразиях М. Положим |
M = RP (21+1) "г . |
||
Так как |
"w (М ) = [] (1 + аД2І+1+1 = [] (1 + а7- + |
а2і+1), |
то класс |
||
гои (М) |
является |
Je-й элементарной симметрической функцией |
|||
от a.j для всех Je< 2* + 1, и поэтому гомоморфизм т*: Н* (ВО; Z2)
—>- H * (M; Z2) |
является мономорфизмом в |
размерностях, |
не пре |
|||||
восходящих 2г + 1. Следовательно, Sq1v2i = X, |
где X принадлежит |
|||||||
идеалу, порожденному (как ^-модуль) элементами |
и Sq^v2. |
|||||||
[Так как Vi — Wi, v2 = wz -{-w\ и Sq1v2 = w3-\r w2wi, |
то для г < 2 |
|||||||
утверждение |
леммы очевидно, |
а |
из |
доказанного |
выше |
следует |
||
тогда, что оно верно для всех г.] ■ |
|
|
|
|
|
|||
Лемма . |
Н (Н* (В Spin; Z2); Q0) = |
Z2 [w\p н2і ] | / не является |
||||||
степенью числа 2, г>1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так |
как |
ѵ2і — неразложимый |
элемент, |
|||||
то Н* (В Spin; Z2) = Z2 [w2j, QaW2j, |
ѵ2і | / |
не |
является |
степенью |
||||
числа 2, t > l ] . Так как Q0v2i = 0, то, применяя теорему Кюннета
к кольцу Z2 [ш2і-, (?0ш2г] |
0 |
Z2 [у2і], получим утверждение леммы. ® |
С л е д с т в и е . Все |
|
элементы конечного порядка в группе |
Л* (Л Spin; Z) имеют порядок 2.
1 9 — 0 1 0 2 4
Вернемся |
теперь |
к |
доказательству |
предложения. Пусть |
|||||||||
t = (h, |
|
i j > 1, n(I) = |
l(mod 2). Допустим, |
что |
p<, ( f r) = |
||||||||
= 2p(?(a;). Тогда ^ j = 2a: + a, |
где |
a — элемент конечного |
порядка, |
||||||||||
и, следовательно, |
a = öß. |
Из |
этого |
|
следует, что wti = PziWi) ~ |
||||||||
= p2(a) = Sg1ß. |
Так |
как |
v2i = w2і |
по |
модулю разложимых эле |
||||||||
ментов, |
то можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V 2 l = W Z i + / ( ^ 2 / 0 + |
|
|
2 W j C j , |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j н е ч е т н о |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я<2г |
|
|
||
где / — полином |
от четномерных |
классов |
w2n, 2А :<2\ |
Тогда |
|||||||||
|
vli = wli + f(w lh)+ |
S |
|
|
Sq1 (wj-iwicl)- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
j н е ч е т н о |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3<21 |
|
|
|
|
||
Таким |
образом, кольцо Z2 [w^h \ к Ф |
|
1] мономорфно |
отображается |
|||||||||
в кольцо H (Н* (В Spin; Z2); Ç0), и поэтому ве может |
выполняться |
||||||||||||
соотношение «;|J = 5g1ß. Следовательно, |
р ^ ^ Д )^ 2р<г(а;) и элемент |
||||||||||||
л£(у) имеет фильтрацию 4п(І) — 2. ■ |
|
|
|
|
|||||||||
З а м е ч а н и е . |
Последовательности |
I, |
содержащие |
единицы, |
|||||||||
не рассматриваются, |
так |
как |
класс |
|
|
приводится но модулю 2 |
|||||||
к классу w\, который равен нулю для универсального расслое ния над пространством В Spin.
Лемма . |
Н (Н* (В Spin0; Z2); Q0) = 7L2 [w\., v2i | j не |
является |
||||||
степенью |
числа 2, |
і ^ І ] . |
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
H* (ßSpinc; Z2) = Z2[wzj, QüW2j,v2i\, где |
|||||||
QoV2i = 0. |
Применяя теорему Кюннета к кольцу Z2 [w2j, Qüw2j] CE) |
|||||||
® і -2 [ѵ2і}, |
получаем доказательство утверждения. ■ |
|
||||||
С л е д с т в и е . |
Все |
элементы |
конечного порядка |
в группе |
||||
Н* (ВSpin0; Z) имеют порядок 2. |
|
|
||||||
З а м е ч а н и е . |
f2 = w |
2 |
= P2 |
£Pi и кольцо Z2 [р2£рг] мономорфно |
||||
отображается |
в кольцо H (H* (В Spinc; Z2); Q0). |
|
||||||
Теперь можно доказать такую лемму: |
|
|||||||
Лемма . Пусть £ есть |
п-мерное векторное расслоение над |
|||||||
клеточным комплексом X |
и |
U Ç KGn (ТВ) — его ориентация. Эле |
||||||
мент aÇjKG* (X) |
имеет |
|
фильтрацию к тогда и только тогда, |
|||||
когда элемент я* (a) U —Фи (а) имеет фильтрацию п-\-к. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как ограничение расслоения £ |
|||||||
на клетки комплекса X |
|
является |
тривиальным расслоением, то |
|||||
пространство имеет клеточное разбиение, в котором (п + г)- мерный остов пространства Т \ совпадает с пространством Тома Т (£ |^г), где Х тесть r-мерный остов комплекса X. Далее, ограни
чение U на T (s|zr) является ориентацией, поэтому имеет место
изоморфизм Фи: KG* (Хг) ■—> KGn+* (Т (£|А,,-)). Следовательно, ограничение элемента а на остов Х г дает нуль группы KG* {Х г) тогда и только тогда, когда ограничение элемента Ф17 (а) на остов
(Г£)"+г дает нуль группы |
KGn+* {{TQn+r).и |
|
|
|
|
||||||||
З а м е ч а н и е . |
Пусть /: X-+BG{k, |
. . . , оо) — поднятие |
для |
||||||||||
элемента |
а |
и |
Û: |
T\-*- BG (га, |
оо) — поднятие |
для |
класса |
||||||
ориентации |
U |
(п — четное |
число, |
если |
G = 17, и п = О |
(mod 8), |
|||||||
если G = 0). Тогда |
отображение |
|
|
|
|
|
|
||||||
Tf: n ^ X |
/ \ n - ^ B G |
( k , |
оо)ДЯС(га, |
оо) Л |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~*-BG {п-\-к, |
. . . , оо) |
|||
является |
|
поднятием |
для |
элемента |
Фи (ос) |
и |
Tf* {хп+и) = |
||||||
= я*/* {х) • U', где |
U' — класс Тома |
расслоения |
Это непосред |
||||||||||
ственно |
следует из |
того, |
что ß* (хк+п) = хь. ® хп. |
[Если G = 0, |
|||||||||
n = 8l, |
k = 8t-'r 2, |
то |
ß* (v8i+8i+4) = vat+i (g) xsi, |
так |
как |
оба |
эле |
||||||
мента |
Vgi+s/+i |
и v8t+4 |
(g) Xgi |
являются базисными, |
и вычисление |
||||||||
характера Чжэня канонических расслоений над обоими простран
ствами дает |
требуемое равенство.] |
|
Пусть у обозначает каноническое 8га-мерное векторное рас |
||
слоение над |
В Spin87l; тогда для всех |
последовательностей I, |
у которых |
классы |
|
я* К |
(7))U (?) д а 8” (тв Spin8n) s |
KO {TB Spin8n) |
имеют фильтрацию 8га+ 4га(/) или 8п + 4п{1) — 2, когда п{1) соответственно четно или нечетно. Выбор поднятий для этих классов определяет отображение
Tf: ТВ Spin8n |
П 50(8n + 4re(/) —2, . . . , о о ) х |
||||
|
|
|
п ( Г ) н е ч е т н о |
Г] |
|
|
|
|
X |
.ВО(8га+ 4га( / ) , . . . , оо), |
|
|
|
|
n ( I ) |
ч е т н о |
|
где p2Tf* {х8п+іп{1)) = (wlj + SqZSq1^ ) - !!, |
Sq2Tf* {x8n+in{i)-z) = |
||||
и, таким |
образом, |
определяет гомоморфизм |
|||
(Tf)*: ( |
® |
{A2/A 2Sq3) ^8n+4n(I)-2) 0 |
|
||
п ( І ) н е ч е т н о |
|
|
|
||
0 ( |
т |
{A2/A 2S ^ + A 2Sq‘i)x 8n+in(1))->-H* {TBSpin8n; Z2). |
|||
n (/■ "' ч е т н о